最新版高中数学课件3.1.1变化率与导数
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在(2)题中，ΔΔxy＝fxx22－－xf1x1＝f44.1.1－－4f4，它表示抛物 线上点 P0(4,39)与点 P2(4.1,40.92)连线的斜率．
[点拨] 求函数 f(x)的平均变化率的步骤是： (1)根据 x1 和 x2 值写出自变量的增量 Δx； (2)由 Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)计算函数增量；
练 3 求函数 y＝2x2＋4x 在 x＝3 处的导数．
[解] 法一：Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3) ＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx ＝2(Δx)2＋16Δx， ∴ΔΔxy＝2Δx2Δ＋x 16Δx＝2Δx＋16. y′|x＝3＝Δlixm→0ΔΔxy＝Δlixm→0(2Δx＋16)＝16.
中，平均速度是( )
A．4
B．4.1
C．0.41
D．－1.1
解析： v ＝ΔΔst＝8＋2.21.21－－28＋22＝2.102－.1 22＝4.1， 答案：B
3．函数 f(x)在 x＝x0 处的导数可表示为( ) A．f′(x0)＝Δlixm→0fx0＋ΔΔxx－fx0 B．f′(x0)＝ lim [f(x0＋Δx)－f(x0)]
(1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0；
(3)取极限，得导数 f′(x0)＝Δlixm→0ΔΔxy.
3．对导数概念的理解 某点导数即为函数在这点的瞬时变化率，含着两层含 义：
(1) Δlixm→0ΔΔxy存在，则称 f(x)在 x＝x0 处可导并且导数即为 极限值；
＝12[f′(x0)＋f′(x0)]＝f′(x0)．
[点拨] 在导数的定义中，增量 Δx 的形式是多种多样 的，但不论 Δx 选择哪种形式，Δy 也必须选择与之相对应的 形式．利用函数 f(x)在 x＝x0 处可导的条件，可以将已给定 的极限式恒等变形为导数定义的形式．概念是解决问题的重
要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延， 才能灵活地应用概念进行解题．
解法二：(导函数的函数值法) ∵Δy＝x＋4Δx2－x42＝－4xΔ2xx2＋x＋ΔxΔx2 ， ∴ΔΔxy＝－x422xx＋＋ΔΔxx2. ∴y′＝Δlixm→0ΔΔxy＝－Δlixm→0x422xx＋＋ΔΔxx2＝－x83. ∴f′(2)＝y′|x＝2＝－1. [点拨] 根据导数的定义求导数是求函数的导数的基本 方法．
练 2 以初速度 v0(v0>0)竖直上抛物体，t 秒时的高度为 s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻 t0 的瞬时速度．
[解] 因为 Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－(v0t0－21gt20)＝ (v0－gt0)Δt－12g(Δt)2，所以ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt，当 Δt 趋近于
当 Δx＝12时，平均变化率的值为 8＋2×21＝9.
瞬时速度 例 2 一质点的运动方程为 s＝8－3t2，其中 s 表示位移， t 表示时间． (1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度； (2)求质点在 t＝1 时的瞬时速度．
[分析] 先求出 Δs，再求ΔΔst，就得到了平均速度；当 Δt 无限趋近于 0 时，ΔΔst的极限即为所求的瞬时速度．
[分析] 给出某抽象函数在某点 x0 处可导的条件，求另 一抽象函数在某点 x0 处的导数，或求另一抽象函数在某点 x0 处的极限．
[解] (1)原式＝Δlixm→0fx0－－Δ－xΔ－xfx0 ＝－-lΔixm→0fx0－－ΔxΔ－x fx0(Δx→0 时，－Δx→0) ＝－f′(x0)．
(2)原式＝lhi→m0 fx0＋h－fx02＋hfx0－fx0－h ＝12[lhi→m0 fx0＋hh－fx0＋lhi→m0 fx0－－hh－fx0] ＝12[f′(x0)＋l-him→0 fx0－－hh－fx0]
答案：A
4．已知函数 y＝f(x)＝－x2＋x 的图象上一点(－1，－2) 及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔΔxy＝______.
解析：Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋ Δx)－(－2)＝－(Δx)2＋3Δx，所以ΔΔxy＝－ΔxΔ2x＋3Δx＝3－Δx， 故应填 3－Δx.
§3.1变化率与导数 3.1.1～3.1.2变化率问题 导数的概念
1.通过实例，领悟由平均变化率到瞬时变化率刻画现实 的过程．
2.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数． 3.体会导数的思想及其内涵，并能运用.
1.平均变化率
fx2－fx1
函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为①____x_2_－__x_1___，
答案：3－Δx
5．求函数 y＝x2 在点 x＝1 处的导数．
解：Δy＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2， ∴ΔΔxy＝2＋Δx.y′|x＝1＝Δlixm→0(2＋Δx)＝2.
1.函数的平均变化率的理解
定义中的 x1，x2 是指其定义域内不同的两个数，记 Δx ＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则当 Δx≠0 时，fxx22－－xf1x1＝ΔΔxy 称作函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率，理解平均变化率 应注意以下几点：
法二：f′(x)＝Δlixm→02x＋Δx2＋4xΔ＋xΔx－2x2＋4x ＝Δlixm→04x·Δx＋2ΔΔxx2＋4Δx ＝lim(4x＋2Δx＋4)＝4x＋4，
Δx→0
∴y′|x＝3＝f′(3)＝4×3＋4＝16.
导数的简单应用
例 4 设函数 f(x)在点 x0 处可导，试求下列各极限的值． (1) Δlixm→0fx0－ΔΔxx－fx0； (2) lhi→m0fx0＋h2－hfx0－h.
(1)函数 f(x)在 x1，x2 处有定义； (2)x2 是 x1 附近的任意一点，即 Δx＝x2－x1≠0，但 Δx 可正可负；
(3)注意变量的对应，若 Δx＝x2－x1，则 Δy＝f(x2)－f(x1)， 而不是 Δy＝f(x1)－f(x2)；
(4)平均变化率可正可负，也可为零．
2．根据导数的定义，求函数 y＝f(x)在 x0 处的导数的步 骤
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
解析：分别写出 x＝x0 和 x＝x0＋Δx 对应的函数值 f(x0) 和 f(x0＋Δx)，两式相减，就得到了函数值的改变量 Δy＝f(x0 ＋Δx)－f(x0)，故应选 D.
答案：D
2．若一质点按规律 s＝8＋t2 运动，则在时间段 2～2.1
(1)求当 x1＝4，且 Δx＝1 时，函数增量 Δy 和平均变化率ΔΔxy； (2)求当 x1＝4，且 Δx＝0.1 时，函数增量 Δy 和平均变化率ΔΔxy； (3)若设 x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．
[解] f(x)＝2x2＋3x－5，
∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1) ＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2·x21＋3·x1－5) ＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx ＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
[解] (1)质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度为 ΔΔst＝8－31＋ΔtΔ2t－8＋3×12＝－6－3Δt. (2)由(1)知ΔΔst＝－6－3Δt，当 Δt 无限趋近于 0 时， lΔitm→0ΔΔst＝－6，所以质点在 t＝1 时的瞬时速度为－6.
[点拨] 本例引导学生理解瞬时速度是物体在 t 到 t＋Δt 这段时间内的平均速度ΔΔst当 Δt 趋近于 0 时的极限，即为 s 对 t 的导数．对于作匀变速运动的物体来说，其位移对时间 的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数，速度对时间 的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数 的物理意义，利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理 问题．
(1)当 x1＝4，Δx＝1 时，Δy＝2＋(4×4＋3)×1＝21， ∴ΔΔxy＝211＝21； (2)当 x1＝4，Δx＝0.1 时， Δy＝2×0.12＋(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92，
∴ΔΔxy＝10.9.12＝19.2；
(3)在(1)题中ΔΔxy＝fxx22－－xf1x1＝f55－－4f4，它表示抛物线 上 P0(4,39)与点 P1(5,60)连线的斜率．
3．函数 f(x)在 x＝x0 处的导数 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的③__瞬__时__变__化__率___称为函数 y＝
fΔΔ(xyx＝)在④x_＝_Δlix_xm→_00_处f_x_的0_＋_导_Δ_数Δx_x_，－_记_f_作x_0_f.′(x0)或 y′|x＝x0 ，即 f′(x0)＝Δlixm→0
简记作：ΔΔxy.
2．瞬时变化率
函数 f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是
lim
Δx→0
ΔΔxy＝②__Δli_xm→_0_f_x_0_＋__Δ_Δx_x_－__f_.x0
思考探究 1. 物体在运动过程中，不论从哪一时刻起，当 Δt 相同 时，平均变化率一定相同吗？
提示：不一定．平均变化率等于在时间段内速度的变化 除以时间的变化，所以在匀速运动中，当 Δt 相同时，ΔΔvt 一 定相同，但在变速运动中却不一定，因为 Δt 相同，Δv 不一 定相同．
练 4 如下图，函数 f(x)的图象是折线段 ABC，其中 A， B，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 f[f(0)]＝____2____； Δlixm→0f1＋ΔΔxx－f1＝__－__2__.(用数字作答)
[解析] 由图及题中已知可得折线的方程为 f(x)＝－x－22x，－22<x，≤06≤. x≤2， f(0)＝4，f[f(0)]＝f(4)＝2， ∵直线 AB 和 BC 的斜率分别为－2 和 1， ∴Δlixm→0f1＋ΔΔxx－f1＝－2.
思考探究 2. 在匀速运动过程中，物体在任一处的导数有什么关 系？
提示：相等．令 v＝3t，在任一时刻 t0 处， f′(t0)＝lΔitm→0ΔΔxy＝lΔitm→03t0＋ΔΔtt－3t0＝3. 所以在匀速运动中，在任一时刻 t0 处的导数都相等．
1.函数 y＝f(x)的自变量 x 由 x0 改变到 x0＋Δx 时，函数 值的改变量 Δy 为( )
Δx→0
C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0) D．f′(x0)＝fx0＋ΔΔxx－fx0
解析：考查导数的定义，B 中 f′(x0)＝Δlixm→0[f(x0＋Δx)－ f(x0)]，右边的式子表示函数值的变化量的极限．C 中 f′(x0) ＝f(x0＋Δx)－f(x0)，右边的式子表示函数值的变化量；D 中 f′(x0)＝fx0＋ΔΔxx－fx0，右边的式子表示函数的平均变化 率．故应选 A.
(3)求出比值ΔΔxy就是函数 f(x)由 x1 变化到 x2 时的平均变 化率．它的几何意义是过图象上两点 P1(x1，f(x1))、P2(x2， f(x2))的直线斜率．
练 1 求函数 y＝2x2＋5 在区间[2,2＋Δx]上的平均变化 率；并计算当 Δx＝21时，平均变化率的值．
[解] 因为 Δy＝2×(2＋Δx)2＋5－(2×22＋5)＝8Δx＋ 2(Δx)2，所以平均变化率为ΔΔxy＝8＋2Δx.
(2) Δlixm→0ΔΔxy不存在，则称 f(x)在 x＝x0 处不可导．
注意：令 x＝x0＋Δx，得 Δx＝x－x0，
于是
f′(x0)＝
lim
x x0
fx－fx0 x－x0
与定义中的 f′(x0)＝Δlixm→0fx0＋ΔΔxx－fx0意义相同.
函数的平均变化率 例 1 已知函数 f(x)＝2x2＋3x－5.
0 时，ΔΔst趋近于 v0－gt0，故物体在时刻 t0 的瞬时速度为 v0 －gt0.
导数的概念 例 3 求函数 y＝x42在 x＝2 处的导数．
[分析] 通常以某一具体函数为载体，利用求导的“三 步曲”，进行计算．
[解] 解法一：(导数定义法) ∵Δy＝Δx＋4 22－242＝Δx＋4 22－1＝－ΔΔxx2＋＋24Δ2x， ∴ΔΔxy＝－ΔΔxx＋＋242. ∴Δlixm→0ΔΔxy＝－Δlixm→0ΔΔxx＋＋242＝－1.
[点拨] 求函数 f(x)的平均变化率的步骤是： (1)根据 x1 和 x2 值写出自变量的增量 Δx； (2)由 Δy＝f(x2)－f(x1)＝f(x1＋Δx)－f(x1)计算函数增量；
练 3 求函数 y＝2x2＋4x 在 x＝3 处的导数．
[解] 法一：Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3) ＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx ＝2(Δx)2＋16Δx， ∴ΔΔxy＝2Δx2Δ＋x 16Δx＝2Δx＋16. y′|x＝3＝Δlixm→0ΔΔxy＝Δlixm→0(2Δx＋16)＝16.
中，平均速度是( )
A．4
B．4.1
C．0.41
D．－1.1
解析： v ＝ΔΔst＝8＋2.21.21－－28＋22＝2.102－.1 22＝4.1， 答案：B
3．函数 f(x)在 x＝x0 处的导数可表示为( ) A．f′(x0)＝Δlixm→0fx0＋ΔΔxx－fx0 B．f′(x0)＝ lim [f(x0＋Δx)－f(x0)]
(1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0；
(3)取极限，得导数 f′(x0)＝Δlixm→0ΔΔxy.
3．对导数概念的理解 某点导数即为函数在这点的瞬时变化率，含着两层含 义：
(1) Δlixm→0ΔΔxy存在，则称 f(x)在 x＝x0 处可导并且导数即为 极限值；
＝12[f′(x0)＋f′(x0)]＝f′(x0)．
[点拨] 在导数的定义中，增量 Δx 的形式是多种多样 的，但不论 Δx 选择哪种形式，Δy 也必须选择与之相对应的 形式．利用函数 f(x)在 x＝x0 处可导的条件，可以将已给定 的极限式恒等变形为导数定义的形式．概念是解决问题的重
要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延， 才能灵活地应用概念进行解题．
解法二：(导函数的函数值法) ∵Δy＝x＋4Δx2－x42＝－4xΔ2xx2＋x＋ΔxΔx2 ， ∴ΔΔxy＝－x422xx＋＋ΔΔxx2. ∴y′＝Δlixm→0ΔΔxy＝－Δlixm→0x422xx＋＋ΔΔxx2＝－x83. ∴f′(2)＝y′|x＝2＝－1. [点拨] 根据导数的定义求导数是求函数的导数的基本 方法．
练 2 以初速度 v0(v0>0)竖直上抛物体，t 秒时的高度为 s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻 t0 的瞬时速度．
[解] 因为 Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－(v0t0－21gt20)＝ (v0－gt0)Δt－12g(Δt)2，所以ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt，当 Δt 趋近于
当 Δx＝12时，平均变化率的值为 8＋2×21＝9.
瞬时速度 例 2 一质点的运动方程为 s＝8－3t2，其中 s 表示位移， t 表示时间． (1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度； (2)求质点在 t＝1 时的瞬时速度．
[分析] 先求出 Δs，再求ΔΔst，就得到了平均速度；当 Δt 无限趋近于 0 时，ΔΔst的极限即为所求的瞬时速度．
[分析] 给出某抽象函数在某点 x0 处可导的条件，求另 一抽象函数在某点 x0 处的导数，或求另一抽象函数在某点 x0 处的极限．
[解] (1)原式＝Δlixm→0fx0－－Δ－xΔ－xfx0 ＝－-lΔixm→0fx0－－ΔxΔ－x fx0(Δx→0 时，－Δx→0) ＝－f′(x0)．
(2)原式＝lhi→m0 fx0＋h－fx02＋hfx0－fx0－h ＝12[lhi→m0 fx0＋hh－fx0＋lhi→m0 fx0－－hh－fx0] ＝12[f′(x0)＋l-him→0 fx0－－hh－fx0]
答案：A
4．已知函数 y＝f(x)＝－x2＋x 的图象上一点(－1，－2) 及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔΔxy＝______.
解析：Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋ Δx)－(－2)＝－(Δx)2＋3Δx，所以ΔΔxy＝－ΔxΔ2x＋3Δx＝3－Δx， 故应填 3－Δx.
§3.1变化率与导数 3.1.1～3.1.2变化率问题 导数的概念
1.通过实例，领悟由平均变化率到瞬时变化率刻画现实 的过程．
2.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数． 3.体会导数的思想及其内涵，并能运用.
1.平均变化率
fx2－fx1
函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率为①____x_2_－__x_1___，
答案：3－Δx
5．求函数 y＝x2 在点 x＝1 处的导数．
解：Δy＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2， ∴ΔΔxy＝2＋Δx.y′|x＝1＝Δlixm→0(2＋Δx)＝2.
1.函数的平均变化率的理解
定义中的 x1，x2 是指其定义域内不同的两个数，记 Δx ＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则当 Δx≠0 时，fxx22－－xf1x1＝ΔΔxy 称作函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率，理解平均变化率 应注意以下几点：
法二：f′(x)＝Δlixm→02x＋Δx2＋4xΔ＋xΔx－2x2＋4x ＝Δlixm→04x·Δx＋2ΔΔxx2＋4Δx ＝lim(4x＋2Δx＋4)＝4x＋4，
Δx→0
∴y′|x＝3＝f′(3)＝4×3＋4＝16.
导数的简单应用
例 4 设函数 f(x)在点 x0 处可导，试求下列各极限的值． (1) Δlixm→0fx0－ΔΔxx－fx0； (2) lhi→m0fx0＋h2－hfx0－h.
(1)函数 f(x)在 x1，x2 处有定义； (2)x2 是 x1 附近的任意一点，即 Δx＝x2－x1≠0，但 Δx 可正可负；
(3)注意变量的对应，若 Δx＝x2－x1，则 Δy＝f(x2)－f(x1)， 而不是 Δy＝f(x1)－f(x2)；
(4)平均变化率可正可负，也可为零．
2．根据导数的定义，求函数 y＝f(x)在 x0 处的导数的步 骤
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx C．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)
解析：分别写出 x＝x0 和 x＝x0＋Δx 对应的函数值 f(x0) 和 f(x0＋Δx)，两式相减，就得到了函数值的改变量 Δy＝f(x0 ＋Δx)－f(x0)，故应选 D.
答案：D
2．若一质点按规律 s＝8＋t2 运动，则在时间段 2～2.1
(1)求当 x1＝4，且 Δx＝1 时，函数增量 Δy 和平均变化率ΔΔxy； (2)求当 x1＝4，且 Δx＝0.1 时，函数增量 Δy 和平均变化率ΔΔxy； (3)若设 x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义．
[解] f(x)＝2x2＋3x－5，
∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1) ＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2·x21＋3·x1－5) ＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx ＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
[解] (1)质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度为 ΔΔst＝8－31＋ΔtΔ2t－8＋3×12＝－6－3Δt. (2)由(1)知ΔΔst＝－6－3Δt，当 Δt 无限趋近于 0 时， lΔitm→0ΔΔst＝－6，所以质点在 t＝1 时的瞬时速度为－6.
[点拨] 本例引导学生理解瞬时速度是物体在 t 到 t＋Δt 这段时间内的平均速度ΔΔst当 Δt 趋近于 0 时的极限，即为 s 对 t 的导数．对于作匀变速运动的物体来说，其位移对时间 的函数的导数就是其运动的速度对时间的函数，速度对时间 的函数的导数就是其运动的加速度对时间的函数，这是导数 的物理意义，利用导数的物理意义可以解决一些相关的物理 问题．
(1)当 x1＝4，Δx＝1 时，Δy＝2＋(4×4＋3)×1＝21， ∴ΔΔxy＝211＝21； (2)当 x1＝4，Δx＝0.1 时， Δy＝2×0.12＋(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92，
∴ΔΔxy＝10.9.12＝19.2；
(3)在(1)题中ΔΔxy＝fxx22－－xf1x1＝f55－－4f4，它表示抛物线 上 P0(4,39)与点 P1(5,60)连线的斜率．
3．函数 f(x)在 x＝x0 处的导数 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的③__瞬__时__变__化__率___称为函数 y＝
fΔΔ(xyx＝)在④x_＝_Δlix_xm→_00_处f_x_的0_＋_导_Δ_数Δx_x_，－_记_f_作x_0_f.′(x0)或 y′|x＝x0 ，即 f′(x0)＝Δlixm→0
简记作：ΔΔxy.
2．瞬时变化率
函数 f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是
lim
Δx→0
ΔΔxy＝②__Δli_xm→_0_f_x_0_＋__Δ_Δx_x_－__f_.x0
思考探究 1. 物体在运动过程中，不论从哪一时刻起，当 Δt 相同 时，平均变化率一定相同吗？
提示：不一定．平均变化率等于在时间段内速度的变化 除以时间的变化，所以在匀速运动中，当 Δt 相同时，ΔΔvt 一 定相同，但在变速运动中却不一定，因为 Δt 相同，Δv 不一 定相同．
练 4 如下图，函数 f(x)的图象是折线段 ABC，其中 A， B，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则 f[f(0)]＝____2____； Δlixm→0f1＋ΔΔxx－f1＝__－__2__.(用数字作答)
[解析] 由图及题中已知可得折线的方程为 f(x)＝－x－22x，－22<x，≤06≤. x≤2， f(0)＝4，f[f(0)]＝f(4)＝2， ∵直线 AB 和 BC 的斜率分别为－2 和 1， ∴Δlixm→0f1＋ΔΔxx－f1＝－2.
思考探究 2. 在匀速运动过程中，物体在任一处的导数有什么关 系？
提示：相等．令 v＝3t，在任一时刻 t0 处， f′(t0)＝lΔitm→0ΔΔxy＝lΔitm→03t0＋ΔΔtt－3t0＝3. 所以在匀速运动中，在任一时刻 t0 处的导数都相等．
1.函数 y＝f(x)的自变量 x 由 x0 改变到 x0＋Δx 时，函数 值的改变量 Δy 为( )
Δx→0
C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0) D．f′(x0)＝fx0＋ΔΔxx－fx0
解析：考查导数的定义，B 中 f′(x0)＝Δlixm→0[f(x0＋Δx)－ f(x0)]，右边的式子表示函数值的变化量的极限．C 中 f′(x0) ＝f(x0＋Δx)－f(x0)，右边的式子表示函数值的变化量；D 中 f′(x0)＝fx0＋ΔΔxx－fx0，右边的式子表示函数的平均变化 率．故应选 A.
(3)求出比值ΔΔxy就是函数 f(x)由 x1 变化到 x2 时的平均变 化率．它的几何意义是过图象上两点 P1(x1，f(x1))、P2(x2， f(x2))的直线斜率．
练 1 求函数 y＝2x2＋5 在区间[2,2＋Δx]上的平均变化 率；并计算当 Δx＝21时，平均变化率的值．
[解] 因为 Δy＝2×(2＋Δx)2＋5－(2×22＋5)＝8Δx＋ 2(Δx)2，所以平均变化率为ΔΔxy＝8＋2Δx.
(2) Δlixm→0ΔΔxy不存在，则称 f(x)在 x＝x0 处不可导．
注意：令 x＝x0＋Δx，得 Δx＝x－x0，
于是
f′(x0)＝
lim
x x0
fx－fx0 x－x0
与定义中的 f′(x0)＝Δlixm→0fx0＋ΔΔxx－fx0意义相同.
函数的平均变化率 例 1 已知函数 f(x)＝2x2＋3x－5.
0 时，ΔΔst趋近于 v0－gt0，故物体在时刻 t0 的瞬时速度为 v0 －gt0.
导数的概念 例 3 求函数 y＝x42在 x＝2 处的导数．
[分析] 通常以某一具体函数为载体，利用求导的“三 步曲”，进行计算．
[解] 解法一：(导数定义法) ∵Δy＝Δx＋4 22－242＝Δx＋4 22－1＝－ΔΔxx2＋＋24Δ2x， ∴ΔΔxy＝－ΔΔxx＋＋242. ∴Δlixm→0ΔΔxy＝－Δlixm→0ΔΔxx＋＋242＝－1.