微分方程模型

微分方程模型
重点：
车间空气清洁问题、减肥问题、单种群增长问题与多物种相互作用问题等数学模型的建立过程与所使用的方法
要求： 1．进一步理解建模基本方法与基本建模过程，掌握平衡原理与微元法在建模中的用法．
所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.就象中学的数学应用题中等量关系的发现是建立方程的关键一样.
微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时，经常考虑它在时间或空间的微小单元变化情况，这是因为在这些微元上的平衡关系比较简单，而且容易使用微分学的手段进行处理．这类模型基本上是以微分方程的形式给出的．
例1 设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量的规定为不超过80%(mg/ml). 现有一起交通事故,在事故发生3个小时后,测得司机血液中酒精含量是56%(mg/ml), 又过两个小时后, 测得其酒精含量降为40%(mg/ml),试判断: 事故发生时,司机是否违反了酒精含量的规定? 解：模型建立
设)(t x 为时刻t 的血液中酒精的浓度, 则依平衡原理时间间隔],[t t t ∆+内, 酒精浓度的改变量t t x x ∆⋅∝∆)(, 即
t t kx t x t t x ∆-=-∆+)()()(
其中k >0为比例常数, 式前负号表示浓度随时间的推移是递减的, 遍除以t ∆, 并令0→∆t , 则得到
,d d kx t x
-= 且满足40)5(,56)3(==x x 以及0)0(x x =.
模型求解
容易求得通解为kt c t x -=e )(, 代入0)0(x x =,得到
kt x t x -=e )(0
则)0(0x x =为所求. 又由,40)5(,56)3(==x x 代入0)0(x x =可得
17.040
56e 40
e 56
e 25030=⇒=⇒⎩⎨⎧==--k x x k k
k 将17.0=k 代入得 25.93e 5656e 17.03017.030≈⋅=⇒=⨯⨯-x x >80 故事故发生时,司机血液中的酒精浓度已超出规定.
2．理解种群的相互关系模型的建立原理与结论． ∙ 马尔萨斯模型 模型假设
（1）初始种群规模已知（设为N 0），种群数量非常大，世代互相重叠，因此种群的数量可以看作是连续变化的；
（2）种群在空间分布均匀，没有迁入和迁出（或迁入和迁出平衡）；
（3）种群的出生率和死亡率为常数，即不区分种群个体的大小、年龄、性别等. （4）环境资源是无限的. 确定变量和参数 :t 自变量，t t N :)(时刻的种群密度， :b 出生率，:d 死亡率.
模型的建立与求解
由上述假设，单种群增长模型与马尔萨斯人口模型极为类似，于是使用完全相同的建模过程易得
)(:)()(d )
(d t rN t N d b t t N =-= （3.1） 满足初始条件0)0(N N =的解为
.e e )(0)(0rt t d b N N t N ==-
于是有
,)(lim ,,0+∞=>>+∞
→t N d b r t 则有即
,)(lim ,,00N t N d b r t ===+∞
→则有即
,0)(lim ,,0=<<+∞
→t N d b r t 则有即
在种群生长的初期，种群规模较小，有足够的生存空间、足够的食物，彼此间没有利益冲突.但随着种群规模的逐渐扩大，对有限的空间、食物和其他生存必须条件的种内竞争越来越激烈，这必然影响种群的出生率和死亡率，从而降低实际增长率，因而在上述模型中假设出生率、死亡率为常数，资源无限不尽合理.
∙ 罗捷斯蒂克模型
完全类似于人口模型的分析知道，种群的增长模型为
⎪⎩
⎪
⎨
⎧=-=,)0(),1(0N N K N rN dt dN
（3.2） 其中r 是种群的固有（N =0时）增长率，K 是环境的最大容纳量.
方程（3.2）既是变量可分离方程，又是贝努利型方程.容易求得其解为
00
)()(N e N K KN t N rt +-=
- （3.3）
3．会建立较为简单的相关实际问题的数学模型．
例2 在凌晨1时警察发现一具尸体, 测得尸体温度是29︒C, 当时环境温度是21︒C .
一小时后尸体温度下降到27︒C , 若人的正常体温是37︒C , 估计死者的死亡时间.
解 运用牛顿冷却定律T ')(T T out -=-α, 得到它的通解为 )(0out out T T T T -+=t α-e , 这里0T 是当0=t 时尸体的温度, 也就是所求的死亡时间时尸体的温度, 将题目提供的参数代入:
⎩⎨⎧=-+=-++--27e
)2137(2129
e )2137(21)
1(t t αα 解得: 168e =-t α 和 166e )1(=+-t α 则34e =α 求得:
)(409.2)
12(,2877.0h Ln t ≈-
=≈α
α 这时求得的t 是死者从死亡起到尸体被发现所经历的时间, 因此反推回去可推测死
者的死亡时间大约是前一天的夜晚10:35.
例3 设某种动物头数的变化服从Logistic 规律．在正常情况下净相对增长率为a 1，环境容许的极限头数为N 1．假设当头数增加到Q （Q < N 1）时瘟疫流行，使净相对增长率为a 2，极限头数降为N 2（N 2< Q ），于是头数下降．当降至q （q >N 2）时，瘟疫停止，恢复正常．试建立这种情况下动物头数的模型，并讨论在瘟疫影响下动物头数的周期性变化，周期与哪些因素有关．
解 由题中条件知，动物头数x (t )应满足：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=瘟疫流行时
正常时
)1(~d ~
d )1(d d 22
1
1N x x a t x N x x a t x
解得
⎪
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨
⎧-+=-+=----瘟疫流行时
正常时
)(2
2
)
(111201e )1(1)(~e )1(1)(t t a t t a Q N N t x q N N t x
其中10,t t 分别为开始转入正常的时刻和开始转入瘟疫流行的时刻，由
Q q
N
N t x t t a =-+=
--)
(11
01e )1(1)(
解得 )
()(ln 11110Q N q q N Q a t t --=
-
由 q Q
N
N t x t t a =-+=
--)
(22
12e )1(1)(~
解得 )
()(ln 12221N q Q N Q q a t t --=- 即动物头数周期性变化，其周期为
)
()(ln 1)()(ln 1222111N q Q N Q q a Q N q q N Q a T --+--=
典型例题
一、填空题：
1．设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若人口增长率是常数r ，那麽人口增长问题的马尔萨斯模型应为 ，其解为 .
解 应该填写：⎪⎩⎪⎨⎧==0
)0(d d x x rx
t x
，.e )(0rt x t x =
2．设开始时的人口数为0x ，时刻t 的人口数为)(t x ，若允许的最大人口数为m x ，人口增长率由sx r x r -=)(表示，则人口增长问题的罗捷斯蒂克模型为 ，其解为 .
解 应该填写： ⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(d d x x x x rx t x
m ，.e )1(1)(0rt m m x x x t x --+=
二、分析判断题
1．对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型．
（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与采用新技术的人数成正比，推广是无限的．
（2）总人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术人数的减少而降低． （3）在（2）的前提下考虑广告等媒介的传播作用． 解：设t 时刻采用新技术的人数为x (t )．
（1）指数模型x t
x
λ=d d ．
（2）Logistic 模型)(d d x N ax t
x
-=，N 为总人数．
（3）广告等媒介在早期作用较大，它对传播速度的影响与尚未采用新技术的人数
成正比，在模型（2）的基础上，有
))((d d x N b ax t
x
-+= （2）和（3）区别见图1．
图1
2．某种疾病每年新发生1000例，患者中有一半当年可治愈.若2000年底时有1200个病人，到2005年将会出现什么结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向2000人，但不会达到2000人，试判断这个说法的正确性.
解： 根据题意可知：下一年病人数=当年患者数的一半+新患者.于是令n X 为从2000年起计算的n 年后患者的人数，可得到递推关系模型：
10005.01+=+n n X X 得递推公式
).2
1
1(2000210n n n X X -+=
由,12000=X 可以算出2005年时的患者数19755=X 人.
由递推公式容易看出，,2000→n n X X ，且是单调递增的正值数列故结论正确.
三、计算题
1．建立铅球掷远模型．不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h ，出手角度为α（与地面夹角），建立投掷距离与v ，h ，α的关系式，并求v ，h 一定的条件下求最佳出手角度．
解：在图2坐标下铅球运动方程为
0=x
，g y -= ，0)0(=x ，h y =)0(， αcos )0(v x
= ，αsin )0(v y = ． 解出)(t x ，)(t y 后，可以得铅球掷远为
ααααcos )2sin (cos sin 2
1
222
2v g h
g
v g v R ++=
图2 这个关系还可表为 )tan (cos 2222ααR h v g R +=．
由此计算
0d d =*
α
α
R ，得最佳出手角度和最佳成绩分别为：
)
(2sin 21
gh v v +=-*α， gh v g
v
R 22+=
*． 设h =1.5m ，v =10m/s ，则 4.41=*α，m 4.11=*R ．
2．与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：
x
N
rx t x
ln )(= ，其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同． 设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h =Ex ．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量h m 及获得最大产量的捕捞强度 E m 和渔场鱼量水平x *0． 解： 模型为 Ex x N rx x F x
-==ln )( ， 如图3所示，有2个平衡点：x = 0和x 0 =r
E N -e
．可证
x = 0不稳定，x 0稳定（与E ，r 的大小无关）．最大持续
产量为h m = rN/e ，获得h m 的E m = r ，x *0 =e /N ． 图3
3．在一种溶液中，化学物质A 分解而形成B ，其速度与未转换的A 的浓度成比例．转换A 的一半用了20分钟，把B 的浓度y 表示为时间的函数，并作出图象． 解：记B 的浓度为时间t 的函数y (t )，A 的浓度为x (t )． 一、假设
1．1molA 分解后产生n molB ．
2．容体的体积在反应过程中不变． 二、建立模型，求解
有假设知，A 的消耗速度与A 的浓度成比例，故有下列方程成立
kx t
x
-=d d 其中k 为比例系数．
设反应开始时t = 0，A 的浓度为x 0，由题中条件知当t = 20（分）时，A 的浓度
为02
1
)20(x x =．解初值问题
⎪⎩⎪⎨⎧==-
)0(d d x x kx t
x
得 kt x t x -=e )(0 它应满足
02002
1
e )20(x x x k =
=⨯-
rN/
解得 2ln 20
1
=
k 所以得 )2ln 20
0e )(（t
x t x -=
由于B 的浓度为x 浓度减少量的n 倍，故有
)
e
1(]e
[)(2ln 2002ln 2000t
t
nx x x n t y -
-
-=
-=
三、作图（如图4） 图4
nx。