子群的乘积是子群的判定条件

研究群的子群的乘积是
子群的判定条件
摘要
本次论文研究的题目是子群与子群的乘积是子群的充要条件是什么，所以我们首先要了解子群的定义。

子群，子群！从字面意义上知子群是群的一个子集，所以又必须知道群的定义。

在了解群与子群的定义后，再发现群与子群的性质，掌握群的代数运算，子群与子群之间的代数运算。

现在我所研究的是在已经知道子群与子群的乘积是子群的充要条件下，研究三个子群的乘积是子群的充要条件。

关键字：
群子群子群与子群的乘积
一、群的定义
定义1
设G是一个非空集合，⊕是它的一个代数运算，如果满足一下条件：
Ⅰ.结合律成立，即对G中任意元素a,b,c都有
(a⊕b) ⊕c=a⊕(b⊕c);
Ⅱ.G中有元素e，叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有
e⊕a=a;
Ⅲ.对G中每个元素a，在G中都有元素，叫做a的左逆元，使
b⊕a=e;
则称G对代数运算⊕作成一个群。

如果对群G中任二元素a,b均有
a⊕b=b⊕a,
即G的代数运算满足交换律，称G为交换群（可换群）或Abel群。

否则称G 为非交换群（非可换群）或非Abel群。

例如，显然全体非零有理数以及全体正有理数对于数的普通乘法都作成群，分别称其为非零有理数群和正有理数群。

但应注意，整数集Z对于数的普通乘法不能作成群。

因为，尽管普通乘法是Z的代数运算，并且满足结合律，也有左单位元1，但是，出去1和-1外其他任何整数在Z中都没有左逆元。

例1设G为整数集，问：G对运算 a⊕b=a+b+4是否作成群？
解由于对任意整数a,b，显然a+b+4为a与b惟一确定的整数，故所
给运算⊕是G的一个代数运算。

其次，有
(a⊕b) ⊕c=(a+b+4) ⊕c =(a+b+4)+c+4=a+b+c+8.
同理有a⊕(b⊕c)=a+b+c+8.因此，对G中任意元素a,b,c有
(a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c),即代数运算⊕满足结合律。

又因为对任意整数a均有（-4）⊕a=-4+a+4=a,
故-4是G的左单位元。

最后，由于（-8-a）⊕a=-8-a+a+4=-4
故-8-a是a的左逆元。

因此，整数集G对代数运算⊕作成一个群。

二、群的性质
性质1 一个群如果只包含有限个元素，则称为有限群；否则称为无限群。

定理1群G的元素a的左逆元 a1-也是a的一个右逆元，既有
a1-a=a a1-=e.
证因为a1-∈G，故a1-在G中也有左逆元，设为a',即a' a1-=e.
由此可得
a a1-=e(a a1-)=( a' a1-)(a a1-)
= a'[( a1- a') a1-]= a'(e a1-)
= a' a1-=e.
从而 a1-a=a a1-=e.
以后称a1-为a的逆元。

定理2 群G的左单位元e也是G的一个右单位元，即对群G中任意元素a均
有
ea=ae=a.
证因为ae=a(a1-a)=(a a1-)a=ea=a,故
ea=ae=a.
以后称e为群G的单位元。

定理3群G的单位元及每个元素的逆元都是惟一的。

证设e与e'都是G的单位元，则根据单位元的定义，有
e e'= e'=e.
其次，设a1-及a'都是a的逆元，既有
a1-a=a a1-=e,
a'a=a a'=e.
由此进一步得
a'= a'e= a'(a a1-)
=( a'a) a1-=e a1-= a1-,
即a'= a1-，a的逆元是惟一的。

推论1 在群中消去律成立，即
ab=ac ﹦﹥ b=c,
ba=ca ﹦﹥ b=c.
证因为ab=ac，所以a1-(ab)= a1-(ac),
即 ( a1-a)b=(a1-a)c, 即b=c.
同理， ba=ca ﹦﹥ b=c.
三、子群的定义
定义 2
设为群的一个非空子集，G是一个群. 如果对于的代数运算也
构成群, 则称为的一个子群。

由子群的定义, 可以得到子群的下列性质:
定理 4
设为的子群. 则
(1) 的单位元就是子群的单位元;
(2) 设, 则在中的逆元就是在中的逆元.
证明 (1) 设为的单位元, 为的单位元, 则
由于中有消去律, 所以从的两边消去得: ;
(2) 设是在中的逆元, 是在中的逆元, 则
.
即, .
例1对任意群, 本身以及只含单位元的子集关于的运算构成
的子群. 这两个子群称为的平凡子群.
例2设为一固定整数, 令
.
则为整数加群的子群.
例3整数加群是有理数加群的子群, 有理数加群是实数加群的子群.
一个非空子集要成为群的子群, 必须满足下列3个条件, 缺一不可:
(1) 的元素全是的元素;
(2) 的代数运算就是的代数运算在上的限制;
(3) 满足群的三个条件.
定理 5
设为群的非空子集. 则为的子群的充分必要条件是:
(1) 任给, 有;
(2) 任给, 有.
定理 6
设为群的非空子集. 则为的子群的充分必要条件是: 任给
, 有.
证明 (必要性) 设为群的子群, 所以, 对任意的, 有,
且.
(充分性) 如果对任意的, 有. 则任给, 有
, 进而. 所以定理2的条件(2)成立. 又任给
, 由上面的证明知道, , 从而知. 所以定理
2的条件(1)也成立. 因此由定理2知, 为的子群.
例 4设是所有阶可逆矩阵关于矩阵的乘法构成的群. 是所
有行列式等于1的阶矩阵所组成的集合. 则是的子群.
证明首先, 单位矩阵的行列式为 1, 所以非空. 又对任一阶方
阵, 如果, 则, 所以可逆, 故是的子
集. 又对任意的, 有, 所以
.
这说明. 从而由定理3知, 是的子群.
设是群, 中与的每一个元素都可交换的元素所组成的集合
称为的中心.
例 5证明: 的中心是的子群.
证明 (1) 因为, , 所以, 这说明是的非空
子集.
(2) 如果, 则对任意的, 有
.
所以, . 从而定理2的条件(1)成立.
(3) 如果, 即, 则
,
所以, . 从而定理2的条件(2)也成立.
于是由定理2知, 为的子群.
显然, 是一个交换群.
例 6群的任何两个子群的交集也是的子群.
∙群的任意多个子群的交集仍是子群.
∙群的两个子群的并一般不是子群.
推论2群G的非空子集H作成群的充分与必要条件是：
HH=H 且 H1-=H.
证设H≦G，则 HH=H 显然。

又如 a∈H，则必有a1-∈H，从而
a=(a1-)1-∈H1-,
故H包含在H1-中。

类似可证H1-也包含在H中，故H1-=H.
反子设HH=H.则由HH=H知H对G的乘法封闭。

另外，若a∈H,则a∈H1-。

于是有b∈H使 a=b1-,a1-=b∈H.
于是由定理2知，H≦G.
推论3群G的一个非空子集H作成子群的充分必要条件是：
H H1-=H.
特别，群G的非空有限子集H作成子群的充分与必要条件是：
HH=H.
四、关于群的其它准备
1.H G，即∀a∈G, 有aH=Ha
2.∀a∈G,有aHa1-=H
3.∀a∈G,有aHa1-⊆H
4.∀a∈G,∀h∈H,有aha1-∈H
5.∀a∈G,有aH⊆Ha
6.∀a∈G,有H⊆a1-Ha
7.aHbH=abH, ∀a,b∈G 即两个左陪集的乘积仍是左陪集
8.H在G中的每个左陪集都是一个右陪集
9.∀a∈G,有a1-Ha=H
10.∀a∈G,有a1-Ha⊆H
11.∀a∈G,∀h∈H,有a1-ha∈H
12.∀a∈G,有Ha⊆aH
13.∀a∈G,有H⊆aHa1-
14.HaHb=Hab, ∀a,b∈G 即两个右陪集的乘积仍是右陪集
15.H在G中的每个右陪集都是一个左陪集
16.以群G之子集H为模的G之剩余类（即陪集）之集合关于陪集之积运算
构成群.（即商群存在）
17.H是G的子群，则G中由aRb,当a1-b∈H，所定义的关系R为同余关系
(H)=G
18.N
G
19.若n∈N，则所属的G的共轭元素C(n)⊆H。

即H由G的若干整个的共轭类
组成。

五、子群与子群的乘积。

定理7设H，K是G的两个子群，则
HK≦G HK=KH.
证 1) 设HK ≦G，有推论2知
(HK)1-=HK.
但由于H1-=H,K1-=K. (HK)1-= K1- H1-=KH,从而
HK=KH.
2) 设HK=KH,则有
（HK）(HK)1-=HK. K1- H1-=HKKH=HKH=HHK=HK.
从而由推论3知，HK≦G。

本定理中的条件HK=KH是两个集合的相等，并不是说H中的任何元素与K
中任何元素相乘是可以交换。

一般的情况下，子群与子群的乘积不一定是子群，但是在一定的前提条件下，子群与子群的乘积可以是乘积。

定理6中，条件HK=KH只是两个子群的乘积是子群的充要条件，那么三个子群的乘积是子群的充要条件是什么呢？
设H,K,L是群G的三个子群，则
① HK设H,K,L是群G的三个子群G ⇔ HK=KH.
② HL≦G ⇔ HL=LH.
③ KL≦G ⇔ KL=LK.
我们把HK看成一个整体，假设HK是G的子群，则(HK)与L的乘积是子群的充分必要条件是 (HK)L=L(HK)
又因为HK=KH, (KH)L=L(KH).
设H,K,L是群G的三个子群，若HKL是群G的子群，则
(HKL)(HKL)=(HKL) 且 (HKL)1-=(HKL).
又因为H,K,L均为子群，所以 H= H1-,K= K1- ,L=L1-.
又因为 (HKL)1-= L1- K1- H1-，
所以 HKL=(HKL)1-= L1- K1- H1-=LKH.
由此，得出以下定理
定理8设H,K,L是群G的三个子群，则
HKL≦G HKL=LKH,HK=KH.
证明：充分性，
因为HKL≦G,则有推论2知
(HKL)1-=(HKL).
但由于H= H1-,K= K1- ,L=L1-.(HKL)1-= L1- K1- H1-,
所以 HKL=(HKL)1-= L1- K1- H1-=LKH,
即 HKL=LKH.
因为(HKL)1-= L1- (HK)1-=L(HK)1-=LKH
所以 (HK)1-=KH, 因为HK是G的子群，
所以 HK=KH,
必要性，
因为HKL=LKH，则有
(HKL) (HKL)1-=HKL. L1- K1- H1-=HKLLKH =HKLKH 又因为 HK=KH,
则 HKLKH=HKHKL=HKKHL=HKHL=HHKL=HKL,
由推论3知， HKL≦G。

定理9设H
1,H
2
,……，H
n
是群G的n个子群，则
(H
1 H
2
……H
n
)≦G (H
1
H
2
……H
k
)=( H
k
……H
2
H
1
)，(k=2,3,……n)
用归纳法证明。

六、总结
法国数学家伽罗瓦〔1811-1832〕在1832年运用「群」的思想彻底解决了用根式求解代数方程的可能性问题。

他是第一个提出「群」的思想的数学家，一般称他为近世代数的创始人。

他使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。

抽象代数学对于全部现代数学和一些其它科学领域都有重要的影响。

抽象代数学随着数学中各分支理论的发展和应用需要而得到不断的发展。

经过伯克霍夫、冯.诺伊曼、坎托罗维奇和斯通等人在1933-1938年所做的工作，格论确定了在代数学的地位。

而自20世纪40年代中叶起，作为线性代数的推广的模论得到进一步的发展并产生深刻的影响。

泛代数、同调代数、范畴等新领域也被建立和发展起来。

中国数学家在抽象代数学的研究始于30年代。

当中已在许多方面取得了有意义和重要的成果，其中尤以曾炯之、华罗庚和周炜良的工作更为显著。

参考文献
1 杨子胥.近世代数（第二版）.北京：高等教育出版社，2003
2 王萼芳.有限群伦基础.北京：北京大学出版社，1986
西北民族大学数学与计算机科学学院
3 张禾瑞.近世代数基础.北京：人民教育出版社，1978
4 吴三品，近世代数[M]，北京：人民教育出版社，1982，80-87.
5 张远达，有限群构造(上册)[M], 科学出版社，1982，38-41.
6 W.莱德曼，群论引论[M]，北京：高等教育出版社，1987，59-6
近世代数课程论文
11。