重力异常与垂线偏差

重力相关资料

1.相关坐标系

地球上任何一个质点都同时受到地心引力和由于地球自转产生的离心力的作用，两个力的合力称为重力。离心力与引力之比约为1：300，所以重力中起主要作用的还是地心引力。重力的作用线称为铅垂线，重力线方向就是铅垂线方向。

1.1 水准面与大地水准面

当液体处于静止状态时，其表面必处处与重力方向正交，否则液体就要流动。这个液体静止的表面就称为水准面。水准面是一个客观存在的、处处与铅垂线正交的面。通过不同高度的点，都有一个水准面，所以水准面有无穷多个。

为了使测量结果有一个共同的基准面，可以选择一个十分接近地球表面又能代表地球形状和大小的水准面作为共同标准。设想海洋处于静止平衡状态，并将它延伸到大陆内部且保持处处与铅垂线正交的水准面，来表示地球的形状是最理想的，这个面称为大地水准面。它是一个光滑的闭合曲面，又称为地球的物理表面。由它包围的形状是地球的真实形体，称为大地体。

地球自然表面的起伏不平、地壳内部物质密度分布不均，使得引力方向产生不规则的变化。因而引力方向除总的变化趋势外，还会出现局部变化，这就引起铅垂线方向发生不规则的变化。由于大地水准面处处与铅垂线正交，所以它是一个略有起伏的不规则的表面。

图1 椭球面与大地水准面

1.2 参考椭球面

从整体上看，大地体接近于一个具有微小扁率的旋转椭球，与大地体吻合的最好的旋转椭球称为总地球椭球，也叫总椭球或平均椭球。要确定总椭球，必须在整个地球表面上布设连成一体的天文大地网和进行全球性的重力测量。

为了大地测量工作的实际需要，各个国家和地区只有根据局部的天文、大地和重力测量资料，研究局部大地水准面的情况，确定一个于总椭球相近的椭球，以表示地球的大小，作为处理大地测量成果的依据。这样的椭球只能较好的接近局部地区的大地水准面，不能反映整个大地体的情况，所以叫做参考椭球面。

1.3大地坐标系与天文坐标系

表1 大地坐标系与天文坐标系的对比

由于大地水准面起伏，导致同一点的法线和垂线不一致，两者之间的微小夹角称为垂线偏差；导致天地高和海拔高(正高)不一致，两者之间的差距称为大地水准面差距。

设垂线偏差在子午面上的分量(即南北分量)以ξ来表示，在卯酉面上的分量(即东西分量)以η来表示，N 表示大地水准面差距。考虑垂线偏差和大地水准面差距，大地坐标与天文坐标数学转换公式为

()cos tan B

L A N H H ξϕηλϕ

αηϕ

=-=-=-=-正

大

(1)

2.重力场

地球重力场的确定就是通过求解某种形式的大地测量边值问题得到一种表达扰动位或其泛函的数学模型，包括解析表达模型和数值模型两种形式。其中，解析表达模型利用斯托克司(Stokes)公式或莫洛金斯基(Molodensky)级数给出积分表达式，或利用球谐函数技术给出谱展开式；数值模型则是重力场参数的一定分辨率的格网数值，包括扰动位、大地水准面、重力异常和垂线偏差等。例如EGM 系列地球重力场模型计算软件给出的最终计算结果便是大地水准面差距(geoid undulations)，一般用N 表示。

研究地球重力场的理论基础即是研究大地测量边值问题的解算，这一边值问题的描述为：在大地水准面或地球自然表面给定边值条件和相应的边值，确定该边界面及其外部的引力位，并满足边值条件，同时在无限空间内是调和函数。位理论自1785年由法国数学家勒让德(Legendre)提出后，经过格林(Green)和高斯(Gauss)等数学家和大地测量学家的进一步研究，不仅解释了表征位场的基本数学关系，同时将引力或重力的3个分力通过引入一个位函数在3

个分力方向上的偏导数来表达。同时，引入等位面和大地水准面的概念，从而将地球形状和重力场的研究统一起来，即地球重力场可用地球重力位来表达，地球形状可用大地水准面的形状来代表。由于地球表面形状的不规则和内部质量分布不均匀，通常将地球重力位分为两部分：正常场和扰动场，分别对应于正常位和扰动位。前者可用4个大地测量基本参数确定，是接近真地球位场的一种理想化位场；后者是对应的异常质量分布产生的异常位场。因此，研究地球形状及外部重力场的关键在于确定扰动位。

2.1重力位函数

设有一个标量函数，它对各坐标轴的偏导数等于力在相应坐标轴上的分量，此函数定义为位函数。由此定义可得重力位函数为：

W V =+Φ (2)

其中V 为引力产生的位，Φ为地球自转产生的位。若ω为角速度，X 和Y 为给定点的地心坐标，则

221

()2

X Y ωΦ=+

(3)

引力位函数的定义为

max 20(,,)1()(cos sin )(cos )n n n nm nm nm n m GM

a V r C m S m P r

r θλλλθ==⎡⎤=

++⎢⎥⎣⎦

∑∑ (4)

其中，r — 到地球质心的距离

θ — 地心纬度

λ — 地心经度

a — 参考椭球长半轴

n ，m — 阶次

nm C ，nm S — 正常化的地球引力系数

(cos )nm P θ — 为n 阶m 次第一类完全正常化缔合Legendre 函数

1/2

0()!(21)(2)(cos )(cos )()!m nm nm n m n P P n m δθθ⎡⎤

-+-=⎢⎥

+⎣⎦

，1, 0, i j i j

i j

δ=⎧=⎨≠⎩

(5)

i j δ为克罗内克(kroneker)符号，(cos )nm P θ为蒂合Legendre 函数

2/2

2/221()(1)

()(1)(1)2!m n m

m m n nm n m n n m d d P x x P x x x dx n dx

++=-=-- (6)

这些公式对于r a ≥，即在地球表面或近地空间理论上是有效的，公式计算误差比较小，但这些公式不能用于r 小于地球半径的情况。

2.2重力加速度和重力梯度

在地球重力场中，重力加速度为