基于马尔科夫过程的排队论的研究

基于马尔科夫过程的排队论的研究

摘要：排队问题[1]仿真的目的是要寻找服务对象与服务设置之间的最佳配置，保证系统具有最佳的服务效率与最合理的配置，而马尔科夫链是研究排队系统的主要方法。本文研究了将一般的排队系统转化为马尔科夫[2]排队过程,因而可以利用马尔科夫决策规划的求值运算来求解。本文着重介绍了顾客逐一的接受服务和顾客成批的接受服务两种最主要类型,并计算给出相应的结果。

关键词:排队论，马尔科夫链,马尔科夫过程化,Matlab仿真

一、引言

排队是日常生活中经常遇到的现象，例如：出行坐火车，等待检票进站的排队；到食堂打饭所形成的排队；学校打预防针、体检所形成的排队；看电影、旅

游时，前往售票处购票形成的排队等；另一种排队是物的排队，例如：使用FTP 或P2P 下载传递文件；流水线上生产的产品等待接受检验；维修室的故障仪器等待维修等。排队现象的要素包括两个方面的内容：一是需要接受服务的顾客；二是提供服务的服务台。最近几十年来，排队理论在计算机网络、通信、交通以及其它公共事业领域的应用越来越广泛， 已成为分析和设计这些系统的一个不可或缺的工具。

排队论[3]的基本思想是1910年丹麦电话工程师A.K.埃尔朗在解决自动电话设计问题时开始形成的，当时称为话务理论。他在热力学统计平衡理论的启发下，成功地建立了电话统计平衡模型，并由此得到一组递推状态方程，从而导出著名的埃尔朗电话损失率公式。瑞典数学家巴尔姆又引入有限后效流等概念和定义。他们用数学方法深入地分析了电话呼叫的本征特性，促进了排队论的研究。50年代初，美国数学家关于生灭过程的研究、英国数学家 D.G.肯德尔提出嵌入马尔可夫链理论，以及对排队队型的分类方法，为排队论奠定了理论基础。本文基于马尔科夫链研究分析了排队系统的方法。

二、 马尔科夫及排队论基础知识

2.1马尔科夫过程

马尔科夫过程一种典型的随机过程。该过程是研究一个系统（如一个地区、一个工厂）的状况及其转移的理论。它是通过对不同状态的初始概率以及状态之间的转移概率的研究，来确定状态的变化趋势，从而达到对未来进行预测的目的。

马尔科夫过程有两个基本特征：一是“无后效性”，即事物将来的状态及其出现的概率的大小，只取决于该事物现在所处的状态，而与以前时间的状态无关；二是“遍历性”，是指不管事物现在出于什么状态，在较长时间内，马尔科夫过程逐渐趋于稳定状况，而且与初始状况无关。

用数学语言描述马尔科夫[2]过程就是：

设(),X t t T ∈为随机过程，若在121121,,,,()n n n n t t t t t t t t T --<<<<∈时

刻对()X t 观测得到相应的观测值,,,,n n x x x x -121满足条件

{}

{}11221111()(),(),,()()()n n n n n n n n n n P X t x X t x X t x X t x P X t x X t x ------≤====≤= （1）

或 ()

()1221122111;,,,,;,,,,;;X n n n n n n X n n n n F x t x x x x t t t t F x t x t ------=

则称此类过程为具有马尔科夫性质的过程或马尔科夫过程，简称马氏过程。其中()12211221;,,,,;,,,,X n n n n n n F x t x x x x t t t t ----代表在

112211(),(),,()n n n n X t x X t x X t x ----===的条件下时刻()n X t 取n x 值得条件分布函数。

若把n t -1时刻看成“现在”，因为121n n t t t t -<<

<< 则n t 就可以看成“将来”，122,,,n t t t -就当做“过去”。因此上述定义可表述为现在的状态1()n X t -取值为1n x -的条件下，将来状态()n X t 的取值于过去状态122(),(),,()n X t X t X t -的取值是无关的。

2.2马尔科夫链

马尔科夫链是指时间和状态参数都是离散的马尔科夫过程，是最简单的马尔科夫过程。也就是说，一般的马尔科夫过程所研究的时间是无限的，是连续变量，其数值是连续不断的，相邻两值之间可做无限分割，且做研究的状态也是无限多的。而马尔科夫链的时间参数取离散数值。在经济预测中，一般的时间取的是日、月、季、年。同时马尔科夫链的状态也是有限的，只有可列个状态。例如市场销售状态可取“畅销”和“滞销”两种。用蛙跳的例子来说明就是：假定池中有N 张荷叶，编号为1，2，3,……,N ，即蛙跳可能有N 个状态（状态确知且离散）。青蛙所属荷叶，为它目前所处的状态；因此它未来的状态，只与现在所处状态有关，而与以前的状态无关（无后效性成立）。

用数学语言描述为：

若随机过程(),X n n T ∈满足条件:

(l)时间集合取非负整数集{}0,1,2,

T =对应每个时刻，状态空间是离散集，记作{}012,,,E E E E =，即()X n 是时间状态离散的。

(2)对任意的整数n T ∈,条件概率满足： ()()()(){}()(){}1101,1,

,01n n n n n P X n E X n E X n E X E P X n E X n E +-+==-===+==

则称(),X n n T ∈为马尔科夫链，并记

()(){}

()(),,k ij j i i j P P X m k E X m E E E E ==+==∈ （2） 表示在时刻m ，系统处于状态i E 的条件下,在时刻m k +，系统处于状态j E 下的概率。

条件概率等式，意即()X n 在时间m k +的状态()j X m k E +=的概率只与时刻m 的状态()i X m E =有关，而与m 时以前的状态无关，它就是马氏性（无后效性）的数学表达式之一。

2.3排队论

排队论也称随机服务系统理论[4]。排队论主要是对服务系统建立数学模型，研究诸如单位时间内服务系统能够服务的顾客的平均数、顾客平均的排队时间、排队顾客的平均数等数量规律。

它涉及的是建立一些数学模型，藉以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为。

为了叙述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成部分：

输入过程

即顾客来到服务台的概率分布。排队问题首先要根据原始资料，由顾客到达的规律、做出经验分布，然后按照统计学的方法（如卡方检验法）确定服从哪种理论分布，并估计它的参数值。我们主要讨论顾客来到服务台的概率分布服从泊松分布，且顾客的达到是相互独立的、平稳的输入过程。所谓