矩阵的多行拟相合分类及其应用

: t- 7 lU g
2
c
jv M(l) (l = 0, 1, 2 · · · , t) : t-
7 lU
(viii) (ix) Mt,s2 (F )
y 6
m\ :/(q f lq UB~N f&= (p, p, · · · , p), I o % ; hq Fp V-j + N > Fp V 6/(Zj r = 3 F > Fp VV' m : s + t /(-jL~ 6 t >O u 1 1 ≤ t ≤ s2 ` N : _U = 9 Mt,s (Fp ) `-^PL~ M(t) : t- 7 l U N 2 V' t {u1 , u2 , · · · , ut } %I! N V't F N ∈ N o 5>O {u1 , · · · , ut ; v1 , · · · , vs } o' Tft Tft:#K Of, r = 3, N 2 N = N N 2 = c ul Ef(pj w* vi ul = ul vi = ul uj = 0, \6 vi vj 6S( (0), y N 2 f(p w*\!''c vi :#K
lq: _U g
[5]
sj/ pm
lq:U
[4]
.
B3A4G9/(Zj r = 3
:/(q:U
. r=3
2

v1 . . . (v1 , · · · , vs ) = vs
t l=1
ul σij
(l ) s×s
.
(5)
y X!'
f
M = (σl,(i−1)s+j )t×s2 , (6)
(v1 v1 , · · · , v1 vs ; v2 v1 , · · · , v2 vs ; · · · ; vs v1 , · · · , vs vs ) = (u1 , u2 , · · · , ut )M,
p=2 0 1 1 0 1 0 1 1
N(1,1,1,1) N(1,1,1,1) µ = 0, 1, 2, · · · , p − 1 N(1,1) ⊕ N(1,1) µ = 1, 2, · · · , p − 1 N(1,1,1,1) N(1,1,1,1)
(3,2,2p+4) (3,2,p+4+µ) N(1,1,1,1) (3) (3) (3,2,5+µ) N(1,1,1,1) (3,2,4)
((h, k)M ) → T(h,k) (M ) = h−1 M (k ⊗ k);
1995 1
(4)
F 11 Ri6
586
k
"
" jv
39
(vii) l = 0, 1, 2, · · · , t : M(l) = {M ∈ Mt,s2 (F ) | rank (M ) = l} E f GG- h7:oU Mt,s2 (F ) : t- 7 lU = 9yGN G :o1 (4) V
0 1
1 + (−1)
(2)
1−στ =ν 2 =0
∪
·
; ; ;
∪
σ τ 0 0
1 p−1 1 − (−1)p 2 1 − (−1)p 2 1 − (−1)p 2 p−1 · 2 1 − (−1)p 2 p−1 · 2 4p + 9 −(−1)p 1 0 1 0 1 0 0 −1 0 1 1 0 0 1 µ −1 , −µ 1
(3,2,3)
0 1
1 0
µ 1−µ
1−µ µ 1 0
, µ = 0, 1, 2, · · · , p − 1 0 0 0 1
1 0
1 0
µ −µ 0 −1 1 1 p=2 1 0 0 0 0 −1 1 1 1−ε 1−ε 2 2 1/ 2 1/ 2
, µ = 1, 2, · · · , p − 1 1 0 0 1 0 1 1 0 p=2 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1
ζM = t g · M g, (1)
O" t g f g :h] U OP M ( .? M ) : n2 : OP| M ( .? M ) Ie (1) !
ζM = M (g ⊗ g ),
Y'
' ? XI!
1 × n2
(2)
O" g ⊗ g f g l\:J%u Q (2) `1 P M M 7 lY< e5'jf>Oj:G OP& 2 u Mt,s (F ) :$ P M M o (G> F V) f ti*G h ∈ GL(t, F ) w k ∈ GL(s, F ) c8
p 2 0 0 p p ∗ p p
(1 − ε)ν (1 − ε)(1 − ν ) 0 1−ν ν 1 ν = 1, 2, · · · , (p − 1)/2 [1 + ε + (1 − ε)ρ0 ]ν − ε [1 + ε + (1 − ε)ρ0 ](1 − ν ) − ε 1 0 1 + ρ0 1 + ρ0 0 1−ν ν 1 ν = 1, 2, · · · , (p − 1)/2
(l ) B` σl,(i−1)s+j = σij . , dim N 2 = t, N 2 = · · · , vi vj , · · · , w* rank (M ) = t, y M = M(t) . -^P M -j N :' _ jdjP N :#K5 M L C 2 ∼ ∼ iZ N = N ∈ N, I N = N 2 . Z {u1 , · · · , ut } N 2 V't {u1 , · · · , ut ; v1 , · · · , vs } N V'Tft I
(3,2,2p+5)
1 1 − (−1)p 2 p−1 · 2 1 − (−1)p 2 p−1 · 2 3p + 4 1 − (−1)p + 2
1 (1 − ε)ν (1 − ε)(1 − ν ) 0 1−ν ν ν = 1, 2, · · · , (p − 1)/2 1 f (ν ) f (1 − ν ) 0 0 1−ν ν 1 ν = 1, 2, · · · , (p − 1)/2 f (ν ) = p0
∪
1 0 0 0
−1 0 1 1 0 1
0 1 ; 1 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 −1 0 0 0 0 1 0 1 µ 1−µ 1−µ µ 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1
1 0
1 1
0 1
1 1
, µ = 0, 1, · · · , p − 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1
(u1 , · · · , ut ; v1 , · · · , vs ) = (u1 , · · · , ut ; v1 , · · · , vs )
h 0
z k
, z
(7)
O` h ∈ GL(t, Fp ), k ∈ GL(s, Fp ), z ∈ Mt,s (Fp ). Gzu N : _ jdjP M ` ! :o1'S(P b RZ z = 0, I (7)
5A
KpB
{u1 , · · · , ut来自百度文库}
Q H 8 mV xC/2
587
,
f N 2 V t w*
hM = M (k ⊗ k)
1. M2,4 (Fp ) 2-
yM ∼M .
8 mV I2
(9)
_W gX (0, 0) W
(0)
(σ0 , σ3 )
;;m
1 p+3 2
1
/;;;
p=2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 θi 0 1 0 , 0 0 0 0 , 1 0 0 0 i = 0, 1, 2, · · · , θ 0 0
1
x
Jf Mn (F ) `F SwbU OP6$a B:U [1] : 'f Mn (F ) `OP: rU [2] |' Mn (F ) `OP:7 lU Y< ~^' M3 (Fp ) :7 l P: lU U : i `Z'yG6 q: _U `V'.1 w Mn (F ) :$P M M G> F Vf7 l: (|! M ∼ M ) Si*G g ∈ GL(n, F ) w ζ ∈ F ∗ = GL(1, F ) c8
p+1 g(\KD<Smd ρ2 2 p W(@QT^: 0 + p0 + 2 ε g2 p W( cD< @ QT ^ : 4 ≡ 3(mod 4) a K ε = −1, 4 p = 2 a ε + H
3
~r
s;{
s = 2 = t (> 1),
T( 9 Sm R
588
k
"
"
M
39
MV U N ` N N :]' _ jdjP M _ I (7’) f-j N N :'
2.
f t-
7 l: y (9) !#
? Fp W0) k
3
G7 2 ?P!
4
.k ;`V I2 ;;m
u1 0 0 0 0
a mekR
0 0 1 0 0 1 0 0
/ <}k
, µ = 1, 2, · · · , p − 1.
2
=
σ τ
σ,τ ∈Fp
∪
·
(1 − ε)/2 1/ 2
(1 − ε)/2 1/ 2
0 1
2 1−στ ∈Fp
·
σ τ
1−ε 1
;
f
1) ε 2) ρ0 3) θ 4) [x]
n;;{ (cD<@QT^: (mod p), H p ≡ 3(mod 4) a K ε = −1; p = 2 a +H ε. 1 F 5d ρ + ρ + T@QCNH Z m → m + pZ ∈ F W <(\D 2 @ F <T*Ct$L%rO F W(]"CHmP { Z → Z/pZ = F W(D x <Sm W
(u1 , · · · , ut ) = (u1 , · · · , ut )h; (v1 , · · · , vs ) = (v1 , · · · , vs )k .
wD
(7’)
9f+
(u1 , · · · , ut )hM = (u1 , · · · , ut )M = (· · · , vi vj , · · ·) = (· · · , vi vj , · · ·)(k ⊗ k) = (u1 , · · · , ut )M (k ⊗ k). (8)
hM = M (k ⊗ k).
G F Vf7 l: 7 l: |
G S
(3)
M ∼M ,
+ (i) G 7 ld f' JA= d (ii) M → h−1 M (k ⊗ k) f Mt,s2 (F ) : T(h,k) 'G 7 l s ' nY s y| T(h,k) , y T(h,k) ∈ Sym (Mt,s2 (F )), (iii) G 7 l s PV^ (iv) T : (h, k) → T(h,k) fN G = GL(t, F ) × GL(s, F ) 5 N Sym (Mt,s2 (F )) 4V' z (v) ker (T ) = α2 It , αIs α ∈ F ∗ . B` It Is ))f t s :1 P (vi) N z T MC&N G Gv Mt,s2 (F ) V:' o1 [3] :
@39 @5A 1996:9E
ACTA MATHEMATICA SINICA
l
#
#
Vol.39, No. 5 Sept., 1996
tv
(Xj_N,$03
|w
}
{< ${v& x Xj
F6D
200234)
: M2,4 (Fp )
z q
7(%1
: $G!2=+&38)9 $G!#?2=+&3 "K.4>' %1/* &3I@AB EC<,!7(%1IJ 0G %1 H$G 2=+%1 $G #?2=+%1 , 5
; ;
N(1,1,1,1) ν = 1, 2, · · · , (p − 1)/2
2 N(1,1,1 ,1) ν = 1, 2, · · · , (p − 1)/2 (3,2, 1 (5p+9)+ν )
(3,2,2p+5+ν )
[1 + ε − (1 − ε)ρ0 ]ν − ε 1 + ρ0
n;;{
(3,2,1)
;;f
u1 u2 v1 0 0 0 0 0 0 0 u2 v2 0 0 u1 0
N(1,1,1,1)
1
u2 v1 v2
0 −ε
0 0 p=2 1 −1 0 0 1 0
1 0 0 1 0 0 0 1 0 0
−1 0 , 1 1
0 1
(3,2,2) N(1,1,1,1)
1 1 1 p 1 p−1 1
∗ g%rO Fp <]"C
p=2
p−1 , 2
2 1 0 0 0 2 0
(1)
1 0 1 − εµ2 0
0 0
0 0
2
p+1 2
µ = 1, 2, · · · , (p − 1)/2 1 0 0 0 0 0 −ε 0
1 0
0 0
1 0
1 0
3 1 4
1
4 4
1 1 p+1 0 −ε 1 0
p
1−στ =0 · σ τ