计算机图形学第五章

• 这样做有许多方面的好处：
–1、很容易表示无穷远点 –2、容易用矩阵与矢量乘的方法表示点的平移操作， 以便简化计算过程。
齐次坐标的引入
• 例一：
–式子P= P0 + a1v1+a2v2+a3v3的简化： –非齐次坐标：
• P= P0 + [a1，a2，a3] {v1，v2，v3}
T
–齐次坐标：
齐次坐标的引入
5.1.2 比例变换
一个图形中的坐标点P(x,y）若在X轴方向变化一个比例 系数sx，在Y轴方向变化一个比例系数sy，则新坐标点 P(x,y）的表达式为：
5.1.2 比例变换
这一变换称为相对于坐标原点的比例变换 , sx 和 sy 分别表示点 P(x,y ）沿 X 轴方向和 Y 轴方向相对坐标原点 的比例变换系数。比例变换改变图形的大小。 变换方程写成齐次坐标矩阵形式为：
做对称于Y轴的对称变换，其变换矩阵为：
最后反向旋转和反向平移将直线置回原处，其变换矩阵分别 为：
所以，对称于任一轴y﹦mx﹢b的变换矩阵为：
变换矩阵中的和需要用已知量表示出来。当m为直线斜 率，b为截距时有：
所以
替换变换矩阵中的和得：
上述变换用代数方程表示为：
错切变换
错切（ shear ）变换是轴上点不动，其它点沿平行于此 轴方向移动变形的变换。错切变换也称为剪切、错位或 错移变换。常用的错切变换有两种：改变 x坐标值和改 变y坐标值。 1. 沿X轴方向关于Y的错切 变换前和变换后y坐标不变，而x坐标根据y坐标值呈 线性变化。变换前后点的坐标之间的关系为：
变换方程写成齐次坐标矩阵形式为：
其中变换矩阵：
对称X轴变换的几何表示见下图
2. 对称于Y轴 当变换对称于 Y 轴时，则坐标点 P(x,y)经对称变换 后，新坐标点P’(x’,y’）的表达式为：
变换方程写成齐次坐标矩阵形式为：
其中变换矩阵：
对称Y轴变换的几何表示见下图
3. 对称于原点 当图形对 X 轴和 Y 轴都进行对称变换时，即得相 对于坐标原点的对称变换。这一变换前后点坐标之 间的关系为： 写成齐次坐标矩阵形式为：
5.1.1二维图形几何变换的基本原理
例如，如果要对下图中的四边形ABCD进行平移变换，只需要 对四个顶点A、B、C、D做平移变换，连接平移后的四个顶点 即可得到四边形平移变换的结果。
5.1.1二维图形几何变换的基本原理
对二维图形进行几何变换有五种基本变换形式， 它们是：平移、旋转、比例、对称和错切，这些图形 变换的规则可以用函数来表示。有两种不同的变换形 式：一种是图形不动，而坐标系变动，即变换前与变 换后的图形是针对不同坐标而言的，称之为坐标模式 变换；另一种是坐标系不动，而图形改变，即变换前 与变换后的坐标值是针对同一坐标系而言的，称之为 图形模式变换。实际应用中，后一种图形变换更有实 际意义，下面讨论的图形变换是属于后一种变换。
其中变换矩阵：
6. 对称于任一点(xc,yc)的变换 对称于任一点 (xc,yc) 的变换，实际上可以看做分 别相对于直线轴 x﹦xc和直线轴 y﹦yc的两次对称变换， 因此其变换公式是两者的综合：
变换方程写成齐次坐标矩阵形式为：
其中变换矩阵：
7．对称于任一轴的变换 关于 XY 平面内任一直线 y﹦mx﹢b 为对称轴的变换， 可以分解为平移、旋转、对称于坐标轴等变换的组合。 首先平移直线经过坐标原点，而后将直线绕坐标原点 旋转至同某一坐标轴重合，做对称于坐标轴的变换， 最后反向旋转和反向平移将直线置回原处。 如下图所示，平移直线经过坐百度文库原点需要在 Y 轴方 向上移动距离 b，然后将直线绕坐标原点旋转至同 Y 轴 重合，设旋转角度为 ，两步的变换矩阵分别为：
T
坐标系之间的变换
• 对于空间中的任一个点D ,如果已知D点在坐标 系II中的坐标为[d1d2d3] • 则：
–D= P0+ [d1d2d3] {v1，v2，v3} T – = Q0 -[q1q2q3] {v1，v2，v3} T – +[d1d2d3] {v1，v2，v3} T – = Q0 +([d1d2d3]- [q1q2q3] )M -1{u1，u2，u3}T
T
第五章 图形变换
在应用中，经常要进行从一个几何图形到另一 个几何图形的变换，例如，将图形向某一方向 平移一段距离；将图形旋转一定的角度；或将 图形放大或缩小等等，这种变换过程称为几何 变换。图形的几何变换是计算机绘图中极为重 要的一个组成部分，利用图形变换还可以实现 二维图形和三维图形之间转换，甚至还可以把 静态图形变为动态图形，从而实现景物画面的 动态显示。
公式的推导可参考右图
旋转变换
变换方程写成齐次坐标矩阵形式为：
其中变换矩阵
上面是点P(x,y)以坐标原点为中心的旋转变换，还可以 任意点Pc(xc,yc）为中心做旋转变换。其变换公式为：
旋转变换
此公式的推导过程可以这样考虑，先平移坐标原点 （0,0）到（xc,yc），然后进行旋转变换，变换后再将坐标 原点移回到（0,0）。三个过程的结果就是以点（xc,yc）为 中心的旋转变换。
其中变换矩阵：
5.1.2 比例变换
比例变换系数sx和sy可赋予任何正数值。当值小于 1 时缩小图形，值大于 1 则放大图形。当 sx 和 sy 被赋予 相同值时，就产生保持图形相对比例一致的变换, sx 和sy值不等时产生 X轴方向和Y轴方向大小不等的比例 变换。sx和sy都指定为1时，图形大小不改变。 实际上，相对于坐标原点图形的比例变换，相当 于每一点相对于坐标原点的变换，因此，它不但改变 图形的大小，而且改变图形的位置。
坐标系和坐标
• 在三维空间给定一个点P0和三个线性无关的 矢量v1、v2、v3 • 则，空间中任何一个点P可以表示为：
–P= P0 + a1v1+a2v2+a3v3 ，(a1a2a3为实数) –称点P的坐标为（a1，a2，a3） –写成矩阵形式为： –P=P0+ （a1，a2，a3）( v1、v2、v3 )T
5.1.2平移变换
平移变换是指将图形从一个坐标位置移到另一个坐标 位置的重定位变换。已知一点的原始坐标是 P(x,y ），加 上一个沿X，Y方向的平移量 tx 和ty ，平移此点到新坐标 （x﹢tx,y﹢ty）,则新坐标的表达式为：
如果对一图形的每个点都进行上述变换，即可得到该图 形的平移变换。实际上，线段是通过对其两端点进行平移变 换，多边形的平移是平移每个顶点的坐标位置，曲线可以通 过平移定义曲线的坐标点位置，用平移过的坐标点重构曲线 路径来实现。
计算机图形学
第5章 图形变换
• • • • • 预备知识 图形变换的数学基础 5.1 图形的几何变换 5.2 投影变换 5.3 图形显示中的裁剪问题 5.4 OpenGL的坐标变换机制
5.1 图形变换的数学基础
• • • • 矢量、点和欧氏空间 坐标系和坐标 矩阵与坐标变换 齐次坐标的引入
矢量
写成齐次坐标矩阵形式为：
旋转变换
其中变换矩阵:
旋转变换只能改变图形的方位，而图形的大小和形 状不变。旋转变换的几何表示见下图。
对称变换
对称变换是产生图形镜象的一种变换，也称镜象变换或 反射变换。将图形绕对称轴旋转就可以生成镜象图形。 1. 对称于X轴 当变换对称于 X 轴时，则坐标点 P(x,y) 经对称变换后， 新坐标点P’(x’,y’）的表达式为：
5.1 二维图形变换
5.1.1二维图形几何变换的基本原理 5.1.2 平移变换 5.1.3 比例变换 5.1.4 旋转变换 5.1.5 对称变换 5.1.6 错切变换
5.1.1二维图形几何变换的基本原理
二维平面图形的几何变换是指在不改变图形连线 次序的情况下，对一个平面点集进行的线性变换。实 际上，由于一个二维图形可以分解成点、直线、曲线。 把曲线离散化，它可以用一串短直线段来逼近，而每 一条直线段均由两点所决定，这样，二维平面图形不 论是由直线段组成，还是由曲线段组成，都可以用它 的轮廓线上顺序排列的平面点集来描述。因此可以说， 对图形作几何变换，其实质是对点的几何变换，通过 讨论点的几何变换，就可以理解图形几何变换的原理。
其中变换矩阵：
对称原点变换的几何表示见下图
4. 对称平行于X轴的直线 当对称轴是平行于X轴的直线y﹦yc时，变换前后 点的坐标之间的关系为：
变换方程写成齐次坐标矩阵形式为：
其中变换矩阵：
5. 对称平行于Y轴的直线 当对称轴是平行于Y轴的直线x﹦xc时，变换前后 点的坐标之间的关系为：
变换方程写成齐次坐标矩阵形式为：
• 所以，D点在坐标系I中的坐标为
–([d1d2d3]- [q1q2q3] )M
-1
齐次坐标的引入
• 对于三维空间中的点，其坐标用三个实数表示， 如：(X,Y,Z)。 • 还可以用四个实数来表示一个点的坐标，写为：
– (X,Y,Z,W)，其中W不能为0。 –该坐标与(X/W,Y/W,Z/W)等价。
下图是一图形比例变换的例子： 中心在原点的放大变换 中心不在原点的放大变换
可以通过选择一个在变换后不改变位置的固定点 Pc(xc,yc),来控制图形变换的位置。例对于多边形图形， 固定点的坐标 (xc,yc) 可以选择图形的某个顶点、图形几 何中心点或任何其它位置，这样变换后固定点坐标不改变， 多边形每个顶点相对于固定点缩放。对于坐标为P(x,y)的 顶点，相对于固定点Pc(xc,yc)变换后的坐标P(x,y)可计算 为：
欧氏空间
• 投影 u 。v =|u||v|cos( ) • 矢量乘 n=uxv,|n|=|u||v|sin()
–由右手法则确定方向
坐标系和坐标
• 为了描述矢量和点引入坐标系 • 在3维空间，给出三个线性无关的矢量v1、 v2、v3 • 则任意一个矢量w可以表示为：
–w= a1v1+a2v2+a3v3 ， (a1a2a3为实数) –因此，可以将矢量w记为a（a1，a2，a3）
写成齐次坐标矩阵形式为：
5.1.2 比例变换
其中变换矩阵：
计算公式的推导可以这样考虑，先平移坐标原点（0,0）到 （xc,yc），然后进行比例变换，变换后再将坐标原点移回 到（0,0）。三个过程的结果就是相对于点（xc,yc）的比 例变换。三个过程的变换矩阵分别是：
比例变换
旋转变换
若图形中的坐标点P(x,y)绕坐标原点逆时针旋转一个角度 θ, 则新坐标点P(x’,y’）的表达式为：
• 矢量具有确定的方向和大小（长度） • 矢量是流动的，无位置概念 • 矢量的运算 C=A+B, B=2A
矢量
• • • • 点表示空间中的一个位置 点和另一个点相减得到一个矢量 v=P-Q 矢量和点相加得到另一个点 P=Q+v 点和矢量都是客观实在
欧氏空间
• • • • 点乘 a=u 。v (a为实数，u、v为矢量) 0 。0=0 如果u 。v=0,则称u和v垂直 矢量的长度|v|， |v|2=v 。v
坐标系之间的变换
• 已知
–坐标系I:原点Q0，坐标轴 {u1，u2，u3} –坐标系II:原点P0 ，坐标轴{v1，v2，v3} –Q0在坐标系II的坐标为：[q1，q2，q3]
坐标系之间的变换
• 写成矩阵形式：
–Q0=P0 + [q1，q2，q3] {v1，v2，v3} –{u1，u2，u3} T =M {v1，v2，v3} T –其中:
平移变换只改变图形的位置，不改变图形的大小和 形状。下图是一平移变换的例子。
可以用矩阵形式来表示二维平移变换方程。图形 变换通常使用齐次坐标矩阵来表示。平移变换方程的齐次 坐标矩阵表示式为：
其中
有了上面的矩阵表示，连续的平移 变换可以通过连续的矩阵乘法来实现。 称为变换矩阵。 例如, 点经平移变换T1（tx1,ty1） 后，再经平移变换T2（tx2,ty2）， 那么，最终的平移变换矩阵。
• 将关系式
• 简化为：
齐次坐标的引入
• 对于空间中的任一个点D ,如果已知D点 在坐标系II中的坐标为[d1d2d31] • D= [d1d2d31] {v1，v2，v3 ，P0} T • = [d1d2d31]M-1 {u1，u2，u3 ，Q0} T • 推导过程也变得简单了 • Q’=[q’1,q’2,q’2,1] {u1，u2，u3 ，Q0} T = [q’1,q’2,q’2,1]M{v ，v ，v ，P } • 1 2 3 0