第8章 相量法

*不同频率正弦量无固定的相位关系
j > 0， u 领先( 超前 )i ，或 i 落后( 滞后 ) u
u, i u i
u
0
t j i
j < 0， i 领先(超前) u，或u 落后(滞后) i
特殊相位关系： u, i 0
t
u i
u, i i
u
0
t
j = 0， 同相：
u, i u i 0
j = ( 180o ) ，反相：
1. 正弦量的三要素： 以电流为例 i
R
i(t ) Im cos( t i )
正弦量的三要素
(1) Im— 幅值 ( 振幅、 最大值)
( t + i ): 称为i(t)相位角或相位
d — 角频率，单位：弧度/秒(rad/s) (2) ( t i ) dt 与正弦量的周期T和频率f 的关系：
j = 90°，称为正交
t u 领先 i 90°或 i 落后 u 90°
规定： | j | (180°)
3. 正弦量的有效值 (effective value)
i）周期量的有效值：是一个在效应（如热效应）上与周期 量在一个周期内的平均效应相等的直流量。 设周期电流i 通过电阻R，电阻一周期内吸收的能量为：
2. 正弦量的相量 复函数
F (t ) 2Ie j(t ) 2Icos( t ) j 2Isin( t )
则
i 2 I cos( t ) Re [F (t )] Re[ 2Ie j ( t ) ] Re[ 2( Ie j )e j t ]
'
0
F +1
由于
e
j

2
cos


2
j sin

2
j
e
j( - ) 2
cos(-

2
) j sin(-

2
) -j
e j ( ) cos( ) j sin( ) -1
所以
e
j
j, /2
j jF F
-j, -/2
-1,
F |F| θ a
F F
+1
极坐标形式是复数的三角形式和指数形式的简写
在正弦电路的分析中，常常涉及到复数的代数形式与极坐 标形式之间的相互转换
1）
F=a+j b
F F
2 2
F a b ;
2） F F
b arctg a
F=a+j b
a F cos ; b F sin
u1 ( t ) 2 U 1 cos( t 1) Re( 2 U 1 e j t ) u2 ( t ) 2 U 2 cos( t 2 ) Re( 2 U 2 e j t )

u(t ) u1 (t ) u2 (t ) Re( 2 U 1 e
Re( 2 U 1 e jt
第8章 相量法
重点：
正弦量的三要素、相位差及有效值 正弦量的相量表示、用相量运算替代正弦量运算 电路定律的相量表示
§ 8. 1 复数
1. 复数的表示形式
代数形式：F=a+j b
+j b 0
F
取复数的实部和虚部分别表示为：
Re[F] = a，Im[F] = b 向量形式：一个复数F在复平面上 可以用一条从原点O指向F对应坐 标点的有向线段表示。 三角形式：
a1a2 b1b2 a2b1 - a1b2 j 2 2 (a2 ) (b2 ) (a2 )2 (b2 )2
b. 复数的乘除运算也可以用指数形式和极坐标进行（方便）
两个复数的相乘，用指数形式进行, 有
F1F2 F1 e
用极坐标形式表示, 有
j1
F2 e
j 2
F1 F2 e

U U
解：
I 100 30 o A U 220 - 60 o V

例2. 已 知I 5015o A, f 50Hz. 解： 试写出电流的瞬时值表达式。 i 50 2cos( 314t 15o ) A 总之, 由正弦量与它相应相量之间的一一对应关系, 给出一 个正弦量, 就可以写出它相应的相量; 反之, 知道一个正弦 量的相量, 则该正弦量也就被确定。
电压有效值
1 U T
def

T
0
u 2 ( t )dt
ii） 正弦电流、电压的有效值 设 i(t)=Imcos( t + i )， 即有 1 T 2 2 I I cos ( t i ) dt m 0 T T T 1 cos 2(t ) 1 2 cos ( t ) dt dt t 0 0 2 2
上式对任何t 都成立，所以总有：
U U U 1 2
拓展到n个同频率正弦量的代数和，有：
u u1 u2 un
U U U U 1 2 n
i i1 i2 in
I I I I 1 2 n
2 倍的关系。
工程中一般说正弦电压、电流的大小都指有效值。如测量 仪表上的刻度，设备名牌上的额定电压、电流均指有效值。 但电器设备的绝缘水平 — 耐压值按最大值考虑。
§8. 3相量法的基础
1. 相量法的理论基础 从电路分析中常涉及到的计算看：有正弦量乘常数（欧姆定 律），正弦量的微分、积分（电感、电容电路的电压电流约 束关系），同频率正弦量的代数和（KCL和KVL）等运算， 其结果仍是一个同频率的正弦量。 在线性电路中，若激励是正弦量，则电路中各支路的电压和 电流的稳态响应将是同频率的正弦量；若电路中有多个同频 率激励源时，根据线性电路的叠加定理，则电路的全部稳态 响应都将是同频率的正弦量 — 这是一个基本的结果。 基于以上原因，在同频正弦量的电路计算中，ω是已知 的常 数，正弦量的三要素已退化成两个要素，有效值（最大值） 和初相，注意到一个复数（相量）也有两个要素：模和辐角， 这使得可用复数表征一个正弦量的信息（要素）。 电工技术中的非正弦周期函数，可以分解成频率为整数倍的 正弦函数的无穷级数，最终归结为这里讨论的正弦稳态分析。
+j , -j , -1 都可以看成旋转因子。
பைடு நூலகம்
0
+1
§ 8.2 正弦量
凡按正弦（余弦）规律变化的电压、电流都称正弦量。
* 本书用余弦函数表示正旋量
正弦量的优点： i ) 正弦量易于用旋转电机获得，为世界各国电力系统采用。 ii) 在线性电路中，只要激励是同频率的正弦量，则响应亦是 同频率的正弦量，这为应用相量法提供了可能。 iii) 正弦量是周期量的特例，是分析其他周期量的基础。
2. 复数的运算 复数的加减运算 a. 复数相加和相减的代数运算必须用代数形式进行
例如：设F1 =a1+jb1, F2 =a2+jb2, 则
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 )
(a1 a2 ) j(b1 b2 )
b. 复数的加减运算也可用四边 形法则在复平面上进行。

) Re( 2 U 2 e j t ) j t Re 2 (U U )e j t 1 2 2U2 e )

j t

而
u( t ) Re 2 U e j t
j t 所以： Re 2 U e Re 2 (U 1 U 2 )e j t
3. 相量图 相量图: 相量是一个复数，它在复平面上的图形称为相量图。
I i (t ) 2 Icos(ω t i ) I i
U u(t ) 2Ucos(t u ) U u
U

u
i
I

4. 正弦量运算转换为相应相量运算 (1) 同频率正弦量的代数和
* 两种转换中均要注意 所在的象限，从而确定 的大小
例：将以下复数转换为极坐标形式 F1 = 3 + j4 ；F2 = 3 – j4；F3 = -3+j4； F4 = -3 – j4 解：
由
有
3 4 5 4 arctg 53.13 3 -4 arctg -53.13 3
T 0
1 T 2
∴I
1 2 T Im Im 0.707 I m , I m 2 I T 2 2
I 可以替代Im作为正弦量的一个要素，因此
i(t ) Im cos( t ) 2I cos( t )
注意: Im = 2 I 只适用正弦量，其他周期量的最大值与有效值之间无
F a jb
+j b 0 F |F| θ a +1
a
+1
F F cos j F sin
a
F (cos j sin )
b
|F| : 称为复数的模 θ: 称为复数的辐角
指数形式：
利用欧拉公式：
e
j
cos j sin
j
F Fe
极坐标形式：
+j b 0
2 2
F3
+j
+4 θ= 126.87º
-3 F4
0 +1 θ= -126.87º
F1 = 3 + j4 = 5∠53.13º F2 = 3 - j4 = 5∠-53.13º
-4
F3 = – 3 j4 = - (3 - j4) =-5∠-53.13º= 5∠126.87º
F4 = – 3 - j4 = - (3 j4)=-5∠53.13º = 5∠-126.87º
T = 2， = 2 /T = 2f , f 的单位为赫兹—Hz(1/s)
(3) i = ( t + i )|t=0 — 初相位(初相)
i与计时零点选择有关，通常| i | ，即在主值范围取值。
i(t)=Imcos( t + i )
Im
i 2 t Ψi = 0
+j F1 0 F = F1 + F2 F2 +1
复数的乘除运算 a. 复数的乘除运算可以用代数形式进行 例如：设F1 =a1+jb1, F2 =a2+jb2, 则
F1F2 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) (a1a2 - b1b2 ) j(a1b2 a2b1 )
F1 a1 jb1 (a1 jb1 )(a2 - jb2 ) F2 a2 jb2 (a2 jb2 )(a2 - jb2 )
j I e 构成了一一对应关系 即 i与 j 称 Ie 称为正弦量 i(t) 的相量,
由i的有效值和初 相角构成的复常数
并记为
I Ie j I

正弦量的相量表示: 对于正弦电压
相量的模表示正弦量的有效值
相量的幅角表示正弦量的初相位

u(t ) 2U cos( t )
例1. 已知 i =141.4cos(314t +300)A u =311.1cos(314t-600)V 试用相量表示 i, u 。
W p(t )dt R i d t R i dt
2 2 0 0 0
T
T
T
i
R
设直流电流I通过电阻R，电阻在时间T内吸收的能量为：
W I RT
2
I
R
令
I RT R i 2 d t
2 0
T
解得：
I
1 T
2 i (t )dt 0
T
此即有效值的定义，又 称为均方根值
j (1 2 )
辐角相加
F1F2 F1 1 F2 2 F1 F2 1 2
两个复数的相除，用极坐标形式有 模相乘
F1 F1 1 F1 1 - 2 F2 F2 2 F2
旋转因子
复数 ej = cos + jsin = 1∠ 另有 F=|F|∠ , 则 Fej = |F|∠ 1∠ |F|∠ Fej F逆时针旋转一个角度 ，模不变 j Fej
i Im
i Im
t i
Ψi> 0
t
i
Ψi< 0
2. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)
设 u(t)=Umcos( t + u), i(t)=Imcos( t + i) u与i 的相位差 j = ( t+ u)- ( t+ i)= u- i＝常数