2.1有界弦的自由振动

u tt a 2 u xx (0 x l , t 0), u (0, t ) 0, u (l , t ) 0, u ( x,0) ( x), u ( x,0) ( x), t
(1) (2)
(3)
18
存在性定理*
( x) C 3 [0, l ],并且 , ' ' , 在 x 0, l 处取值 为0，则初边值问题(1)-(3)的古典解存在，且 可表示为级数(14)，其中的系数由(15)确定。
(3)
15
nx na nx a n sin ( x), bn sin ( x). l l l n 1 n 1 因为 ( x), ( x) 是定义在 [0, l ] 上的函数，所以当

an 是 ( x) 的傅里叶正弦级数展开式的系数，
n a ( x ) bn 是 的傅里叶正弦级数展开式的系数 l 时，即 2 l nx a n ( x) sin dx ,

an 是 ( x) 的傅里叶正弦级数展开式的系数，
n a ( x ) bn 是 的傅里叶正弦级数展开式的系数 l 时，即 2 l nx a n ( x) sin dx ,
na 2 l nx bn ( x ) sin dx , 0 l l l
l
0
l
(15)
时，则级数(14)能满足初值条件 u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x)
0;
0;
0.
8
X ' ' ( x) X ( x) 0, X (0) X (l ) 0. (9) (1)当 0 时，问题(9)没有非平凡解。事实上
方程通解为 X ( x) Ae x Be 由边界条件得 A B 0,
Ae A B 0,
(1) (2)
(3)
19
u ( x, t ) (an cos
n 1

nat nat nx bn sin ) sin l l l
(14)
2. 定解问题(1)-(3)的级数解(14)的物理意义。 取级数(14)的一般项，并作如下变形： nat nat nx
u n ( x, t ) (a n cos l bn sin l ) sin l
na nat nat nx ut ( x, t ) (an sin bn cos ) sin l l l n 1 l
t 的导数式为
l
n 1
l
l
14
nx na nx a n sin ( x), bn sin ( x). l l l n 1 n 1 因为 ( x), ( x) 是定义在 [0, l ] 上的函数，所以当
11
nat nat nx u n ( x, t ) (a n cos bn sin ) sin l l l
(n 1, 2, ), (13)
其中 an Bn Cn , bn Bn Dn 是任意常数。 注意初始条件 (3) u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x) 中的 ( x) 和 ( x)是任意给定的，一般说来，特解 (13)中的任意一个不满足给定的初始条件。
(1) (2)
(3)
如果能够找到方程(1)足够个数的特解，则可以 试用它们的线性组合去求所求定解问题的解。 为了找到方程(1) 的特解，我们首先对物理 模型进行考察。从物理上知道，乐器发出的声音 可以分解成各种不同频率的单音，每种单音振动 时形成正弦曲线，其振幅依赖于时间 t , 也就是说 每个单音总可以表示成
则得
T (t ) X (0) 0,
T (t ) X (l ) 0.
若 T (t ) 0, 则 u ( x, t ) 0, 不是非平凡解。 因此，只可能是
X (0) 0, X (l ) 0.
(8)
为了求函数 X ( x), 我们只需求解下列常微分方程 的边值问题：
X ' ' ( x) X ( x) 0, X (0) X (l ) 0. (9)
2
第二章
2.1
分离变量法
有界弦的自由振动
考察两端固定的弦的自由振动问题：
其中 ( x)与 ( x) 均为已知函数。 这个定解问题的特点：方程(1)是线性齐次， 边界(2)也是齐次, 因此，各个特解的和也是这 个方程的解。
3
u tt a 2 u xx (0 x l , t 0), u (0, t ) 0, u (l , t ) 0, u ( x,0) ( x), u ( x,0) ( x), t
X ' ' ( x) X ( x) 0,
(7)
我们可以通过求解这两个常微分方程来决定T (t ) 及 X ( x), 从而得到方程(1)的特解
u( x, t ) X ( x)T (t )
(4)
6
为了使 u( x, t ) X ( x)T (t )满足齐次边界条件(2)
u(0, t ) 0, u(l , t ) 0,
u tt a 2 u xx (0 x l , t 0), u (0, t ) 0, u (l , t ) 0, u ( x,0) ( x), u ( x,0) ( x), t
4 ( x ) C [0, l ](四次导数连续的函数)， 若
7
X ' ' ( x) X ( x) 0,
X (0) X (l ) 0. (9)
若对于 的某些值，问题(9)的非平凡解存在， 则称这种 值为特征值(或固有值)，试求此值； 同时，称相应的非平凡解 X ( x) 为特征函数(或 固有函数),并求出它。这样叙述的问题，通常 叫做施图姆-刘维尔(Sturm-Liouville)问题. 下面我们对 分三种情形加以讨论：

(14)
仍是方程(1)的解，并且同时满足边界条件(2).
utt a u xx , u(0, t ) 0, u(l, t ) 0.
2
问题：当 an , bn 满足什么条件时，(14)式也满足 初值条件 (3) u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x)
13
nat nat nx u ( x, t ) (an cos bn sin ) sin l l l n 1
2 l nx bn ( x) sin dx , 0 na l
l
0
l
(15)
时，则级数(14)能满足初值条件 u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x)
(3)
16
将(15)所确定的 an , bn 代入(14)式，即得 混合问题(1)-(3)的解。
nat nat nx u ( x, t ) (an cos bn sin ) sin l l l n 1 2 l nx 其中 a n ( x) sin dx , 0 l l
T ' ' (t ) (
nat Tn (t ) C n cos Dn sin l
na 2 ) T (t ) 0, l nat
l
(n 1, 2, ). (12)
这样就得到方程(1)的满足齐次边界条件(2)的
变量分离形式的特解 u n ( x, t ) X n ( x)TBiblioteka Baidu (t )
u( x, t ) X ( x)T (t ),
X ( x ) 只是变量 x 的函数，T (t ) 只是变量 此处， t 的函数。现在把假定具有变量分离形式的解 (4)带入方程(1)可得
T ' ' X a 2 X ' 'T ,
5
变形得
T '' X '' 2 X a T
(5)
由于等式(5)的左右两边当它的自变量变化时 保持常值，记此常数为 , 从而可得两个常微 分方程 T ' ' (t ) a 2T (t ) 0, (6)

(14) (15)
2 l nx bn ( x) sin dx , 0 na l
这种得到解的方法就称为分离变量法。
17
u ( x, t ) (an cos
n 1

nat nat nx bn sin ) sin l l l
(14)
说明： 1. 级数形式的解(14)式不一定收敛，因 此有时被成为形式解。 但是存在性定理中的条件可以保证(14)式确实是 定解问题(1)-(3)的古典解。
l
x
,
Be
l
0.
X ( x) 0.
x
(2)当 0 时，问题(9)没有非平凡解。事实上 方程通解为
X ( x) ( Ax B)e Ax B.
由边界条件得 A B 0, 只有恒等于0的解。
9
X ' ' ( x) X ( x) 0, X (0) X (l ) 0. (9) (3)当 0 时，方程的通解具有如下形式
分离变量法
一、有界弦的自由振动 二、有限长杆上的热传导 三、拉普拉斯方程的定解问题 四、非齐次方程的解法 五、非齐次边界条件的处理 六、固有值和固有函数
预备知识：二阶常系数线性齐次常微分方程 y' ' py'qy 0 (*) 的通解公式。其中 p, q 为常数。 2 方程(*)对应的特征方程为 r pr q 0 2 p 4q 0, 方程(*)的通解为 1. r1x r2 x y Ae Be . 2. p 2 4q 0, 方程(*)的通解为 rx y ( A Bx)e . 3. p 2 4q 0, r1,2 i , 方程(*)的通解为 y ex ( A cos x B sin x). 以上 A, B 为任意常数。
12
nat nat nx u n ( x, t ) (a n cos bn sin ) sin l l l
(n 1, 2, ), (13)
由于方程(1)是线性齐次的，由叠加原理知，级数
nat nat nx u ( x, t ) (an cos bn sin ) sin l l l n 1
X ( x) A cos x B sin x. 由边界条件得 X (0) A 0.
X (l ) B sin l 0.
假设 X ( x ) 不恒等于0， 则 B 0, 于是得 从而找到一族非零解
n 2 n ( ) l
sin l 0,
(10) (11)
u( x, t ) c(t ) sin x,
u ( x, t ) 是只含变量 x 的函数 这种形式的特点是： 与只含变量 t 的函数之乘积， 即它具有变量分离的形式。
4
现在，我们就来试求方程(1) utt a 2u xx (0 x l, t 0), (1)
的非平凡解（即不恒等于0）， 这个解满足齐次 边界条件 u(0, t ) 0, u(l , t ) 0, 而且可以表示成下列乘积 (2) (4)
10
(n 1, 2 , ).
nx X n ( x) Bn sin (n 1, 2, ). l 特征函数
特征值
现在考虑 将特征值
T ' ' (t ) a 2T (t ) 0,
n 2 n ( ) l (n 1, 2 , ).
(6) (10)
代入方程(6)得 其通解为
nx N n sin( n t n ) sin , (16) l an na 2 2 ; 其中 N n an bn , n arctan , n bn l

(14)
为此，由于(14)式关于

在(14)式及其相应的导数式中，令 t 0, 且结合 初值条件 (3) u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x) 可得 nx na nx an sin ( x), bn sin ( x).
n 1