逻辑学第8讲
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2016年6月12日星期日
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命题逻辑的自然演绎方法
(2)置换规则 规则1: 双否律 A ¬ ¬A 规则2: 易位律 A→B (¬B→¬A) 规则3: 德摩根律 ¬(A∧B)(¬A∨¬B) 或 ¬(A∨B)(¬A∧¬B) 规则4: 交换律 A∧B B∧A 或 A∨B B∨A 规则5: 幂等律 A A∧A 或 A A∨A 规则6: 分配律 A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) 或 A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C) 规则7: 结合律 A∧(B∧C) (A∧B)∧C 或 A∨(B∨C) (A∨B)∨C 规则8: 移出律 (A∧B→C) (A→(B→C)) 规则9: 蕴析律 A→B(¬A∨B) 规则10:等值律 (AB) ((A→B)∧(B→A))
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命题逻辑的自然演绎方法
整推规则应用: 1、如果小张参加长跑比赛,那么小林参加短跑比赛。如果 小汪参加跳远比赛,那么小莫参加跳高比赛。如果小林参 加短跑比赛,或者小莫参加跳高比赛,那么A班比赛得分 将提高。如果A班比赛得分提高,那么A班同学受到鼓舞。 小张参加长跑比赛或者小汪参加跳远比赛;所以,A班比 赛得分提高并且A班同学受到鼓舞。 P:小张参加长跑比赛 Q:小林参加短跑比赛 R:小汪参加跳远比赛 S:小莫参加跳高比赛 T: A班比赛得分 G: A班同学受到鼓舞
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命题逻辑的自然演绎方法
(wenku.baidu.com)初始符号 (1)命题变项:p,q,r,s,p1,q1,r1,s1„„ (2)联结词: ¬ ,∧,∨,→, ; (3)辅助符号:(,)
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命题逻辑的自然演绎方法
置换规则应用: 1、如果王蓉是优秀教师,那么她既认真教书又潜心育人; 王蓉没有认真教师或者没有潜心育人;所以,王蓉不是优 秀教师。
P:王蓉是优秀教师 Q:王蓉认真教书 R:王蓉潜心育人
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命题逻辑的自然演绎方法
(4)间接证明规则 间接证明规则是通过否定结论、推出矛盾、肯定结论三 个步骤来实现的。 间接证明规则: 如果从前提Pr和假设¬P推出A∧¬A,那么,仅从前提 Pr可以推出P。 更适合于采用间接证明规则的命题: –某初始命题 –否定性命题 –以简单命题为结论的命题 –结论与前提无关,结论是重言式的命题
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命题逻辑的自然演绎方法
自然演绎系统概述 自然演绎推理是对推理有效性判断的又一种方法 基本思想是:确定一些保真性的推理规则,依据这些规则 从真前提推出真结论,也就是说如果推理前提真,则结论 一定真。 自然演绎推理所依据的只有推理的规则,没有公理。 自然演绎系统的形式推理规则、形式推理关系、形式证明 都比较直接和自然地反映了演绎推理过程。 与公理系统相比较,这种推理更接近自然科学,接近一般 数学中的演绎推理,接近人们日常思维,因此被称为自然 演绎推理 自然演绎推理系统包括: 初始符号、形成规则、定义、推导规则
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命题形式化及推理
命题形式化例子 例1:如果这匹马儿不吃饱草,那么这匹马儿就不能跑 P:这匹马儿吃饱草 Q:这匹马儿跑 ¬P → ¬Q 例2:如果明天天晴,那么我们明天去爬山,否则,那么 我们去游泳。 P:明天天晴 Q:明天去爬山 R:明天去游泳 (P → Q) ∨ (¬P → R)
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命题逻辑的自然演绎方法
(3)条件规则 条件证明规则:(另一条推演规则) 如果从前提Pr和假设P推出Q,那么,仅从前提Pr可以 推得P→Q 条件证明规则应用: ①P∨¬ Q, ¬R→¬P /∴ Q→R ②如果外出忘记锁门则家里被盗,那么社会秩序不好;或者 家里被盗或者安心工作;然而,如果外出忘记锁门,那么 不安心工作;所以,社会秩序不好。 P:外出忘记锁门 Q:家里被盗 R:社会秩序好 S:安心工作
例如:验证下面的推理无效
(p ← q) ∧ p → q
p T T F F q T F T F (p ← q) ∧ p → q
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第三节 归谬赋值法及真值表的作用
如果对复合命题推理是否有效都这样列出真假值予以判 定,尽管可靠,但不简便,尤其对于复杂公式更不简便 。因此,人们运用简化的真值表方法,即归谬赋值法予 以判定 归谬赋值法思路 假设命题公式是永假式,如果从中不可避免地导出 了矛盾,则导出假设应被否定,即命题公式是真的。 例: (p ∨ q) ∧ p →q
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第三节 归谬赋值法及真值表的作用
例如:验证下面的推理有效
(p → q) ∧ p → q
p
T T F F
q
T F T F
(p → q) ∧ p → q
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第三节 归谬赋值法及真值表的作用
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第三节 归谬赋值法及真值表的作用
真值表的作用 (三)总结作用 如通过真值表可总结(p→q)∧p→q,即 当p→q真并且p真时,q必定为真。 又如对于(p→q)∧¬q→p,即 当p→q真并且q假时,p必假。
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命题逻辑的自然演绎方法
(二)形成规则 形成规则规定在系统中哪些符号的组合是有意义的,哪 些是没有意义的。有意义的符号组合叫合式公式,简称公 式。形成规则为: (1)命题变项是公式; (2)如果A是公式,则¬A是合式公式; (3)如果A和B是公式,则A∧B、A∨B、A→B、 A B是公式 (4)只有有限次使用上面三条所得的复合组合才是公式 联结词的结合力依以下次序递减: ¬ ,∧,∨,→,
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第三节 归谬赋值法及真值表的作用
真值表的作用 (一)定义作用 (1)定义逻辑联接项的性质,如:¬、∧、∨、← 、→、 。 (2)定义命题的类型,如:重言式(永真式)、矛盾式 (永假式)、协调式(有真有假)。 (二)判断作用 (1)判定命题间的关系,如: p→q与¬(p∧¬q) ¬p∨q与p→q p→q与p∧¬q (2)判定推理是否有效,如: (p→q)∧p→q (p→q)∧q→p
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命题形式化及推理
命题形式化例子 例3:只有把9号或者7号换下来,并且把4号或者6号换上 场去,甲队才有希望扭转局面 P:9号换下来 Q:7号换下来 R:4号换上去 S:6号换上去 T:甲队有希望 (P ∨ Q) ∧(R ∨ S) ← T T → (P ∨ Q) ∧(R ∨ S)
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命题形式化及推理
命题形式化例子 例4:当爸爸、妈妈中只有一个人外出时,儿子可以留在 家里。如果爸爸、妈妈都外出,必须找一个保姆,才可 以把儿子留在家中。 P:爸爸在家 Q:妈妈在家 R:儿子在家 S:有保姆在家 R → (P ∨ Q) R → ( ¬ P ∧ ¬ Q) ∧ S
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命题逻辑的自然演绎方法
(三)定义 定义用于表示缩写的,定义两边的符号串可以相互代替 例如: (A → B)= df( ¬ A ∨ B ) (A B) = df (A→B) ∧(B→A)
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命题逻辑的自然演绎方法
整推规则应用: 2、如果古励能考上剑桥大学,那么古励英语水平高;古励 或者上剑桥大学或者上职业技术学院;如果古励英语水平 高,那么古励打算将来从事涉外工作;所以,古励上职业 技术学院;因为古励不打算将来从事涉外工作。 P:古励考上剑桥大学 Q:古励的英语水平高 R:古励上职业技术学院 S:古励打算将来从事涉外工作
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命题形式化及推理
命题形式 命题形式是指由真值联结词和命题变项所构成的形 式结构 不关心p、q等符号具体代表哪一个命题,意义是什 么,内涵是什么,只关心命题的真假。 全部用形式化的方法来探讨逻辑命题推理的规律— —形式逻辑。
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逻辑学
第八讲
第三节 归谬赋值法及真值表的作用
一个演绎推理是有效的,当且仅当在任何赋值情况下,它 都不会出现前提真而结论假的情况。 有效的演绎推理,它前提的合取蕴涵结论,也正是在这种 意义上可以把演绎推理用符合命题的蕴涵式表示: 前提1 ∧前提2 ∧„„ ——→ 结论 前件 后件 前提的合取为前件,结论为后件。这样,对演绎推理有效 性的检验就可以简化为对蕴涵式是否是重言式的验证。如 果它为重言式,则推理是有效的,否则就是无效的。
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命题形式化及推理
命题形式化基本步骤 1. 确定简单命题,一个简单命题用一个字母,将命题变 元用字来表示和替换,保证同一个命题用相同的字母 进行代换 2. 如果需要,在不改变语句意义的前提下对语句的表面 结构进行改动 3. 确定所有的命题联结词,并“由内至外”或“由外至 内”一步步将整个语句形式化
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命题逻辑的自然演绎方法
(四)推导规则 (1)整推规则 (2)置换规则 (3)条件证明规则 (4)间接证明规则
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命题逻辑的自然演绎方法
(1)整推规则 规则1: P→Q,P /∴ Q 规则2: P→Q, ¬Q /∴ ¬P 规则3: P∨Q, ¬P /∴ Q 或者:P∨Q, ¬Q /∴ P 规则4: P∧Q /∴ P 或者: P∧Q /∴ Q 规则5: P, Q /∴ P∧Q 规则6: P /∴ P∨Q 或者: Q /∴ P∨Q 规则7: P→Q, Q→R /∴ P→R 规则8: P→Q, R→S, P∨R /∴ Q∨S 规则9: P→ (Q∧¬Q) /∴ ¬P 规则10: P→R, Q→S, ¬R∨¬S /∴ ¬P∨¬Q
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命题形式化及推理
命题形式化例子 例5:10月6日晚上,张强要么去电影院看电影,要么去 拜访朋友秦玲。如果那天晚上张强开车回家,他就没去 电影院看电影;只有张强事先与秦玲约定,张强才能去 拜访她。事实上,张强不可能事先与秦玲约定。 P:张强去看电影 Q:张强去拜访秦玲 R:张强开车回家 S:张强与秦玲约定 P ∨ Q R → ¬ P Q → S ¬ S