高中数学三角函数的单调性训练题
三角函数的单调性训练题
A 级——保大分专练
1.函数f (x )=tan ?
????2x -π3的单调递增区间是( ) A.??
????k π2-π12,k π2+5π12(k ∈Z) B.? ??
??k π2-π12,k π2+5π12(k ∈Z) C.?
?????k π-π12,k π+5π12(k ∈Z) D.?
????k π+π6,k π+2π3(k ∈Z) 解析:选B 由k π-π2<2x -π3<k π+π2(k ∈Z),得k π2-π12<x <k π2+5π12
(k ∈Z),所以函数f (x )=tan ? ????2x -π3的单调递增区间是? ????k π2-π12,k π2
+5π12(k ∈Z). 2.y =|cos x |的一个单调递增区间是( )
A.????
??-π2,π2 B .[0,π] C.??????π,3π2 D.????
??3π2,2π 解析:选D 将y =cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折,x 轴上方(或x 轴上)的部分不变,即得y =|cos x |的图象(如图).故选D.
3.已知函数y =2cos x 的定义域为????
??π3,π,值域为[a ,b ],则b -a 的值是( ) A .2
B .3 C.3+2 D .2- 3
解析:选B 因为x ∈??????π3,π,所以cos x ∈?
?????-1,12,故y =2cos x 的值域为[-2,1],所以b -a =3.
4.(2019·西安八校联考)已知函数f (x )=cos(x +θ)(0<θ<π)在x =π3
时取得最小值,则f (x )在[0,π]上的单调递增区间是( )
A.??????π3,π
B.??????π3
,2π3 C.??????0,2π3 D.????
??2π3,π 解析:选A 因为0<θ<π,所以π3<π3+θ<4π3,又因为f (x )=cos(x +θ)在x =π3
时取得最小值,所以π3+θ=π,θ=2π3,所以f (x )=cos ?
????x +2π3.由0≤x ≤π,得2π3≤x +2π3≤5π3.由π≤x +2π3≤5π3,得π3≤x ≤π,所以f (x )在[0,π]上的单调递增区间是????
??π3,π. 5.(2018·北京东城质检)函数f (x )=sin 2x +3sin x cos x 在区间??
??
??π4,π2上的最小值为( )
A .1 B.1-32 C.32 D .1- 3 解析:选A 函数f (x )=sin 2x +3sin x cos x =12-12cos 2x +32sin 2x =sin ?
????2x -π6+12. ∵x ∈????
??π4,π2,∴2x -π6∈??????π3,5π6. 当2x -π6=5π6
时,函数f (x )取得最小值为1. 6.(2019·广西五市联考)若函数f (x )=2sin ωx (0<ω<1)在区间?
?????0,π3上的最大值为1,则ω=( )
A.14
B.13
C.12
D.32
解析:选C 因为0<ω<1,0≤x ≤π3,所以0≤ωx <π3,所以f (x )在区间?
?????0,π3上单调递增,则f (x )max =f ? ??
??π3=2sin ωπ3=1,即sin ωπ3=12.又因为0≤ωx <π3,所以ωπ3=π6,解得ω=12. 7.函数y =sin x -cos x 的定义域为________.
解析:要使函数有意义,需sin x -cos x ≥0,即sin x ≥cos x , 由函数的图象得2k π+π4≤x ≤2k π+5π4
(k ∈Z),
故原函数的定义域为?
?????2k π+π4,2k π+5π4(k ∈Z). 答案:?
?????2k π+π4,2k π+5π4(k ∈Z) 8.函数f (x )=cos 2x +6cos ? ??
??π2-x 的最大值为________. 解析:因为f (x )=cos 2x +6cos ? ????π2-x =1-2sin 2x +6sin x =-2?
????sin x -322+112,而sin x ∈[-1,1],所以当sin x =1时,f (x )取最大值5.
答案:5
9.函数f (x )=2sin ? ????π6
x -π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________. 解析:因为0≤x ≤9,所以0≤π6x ≤3π2
, 即-π3≤π6x -π3≤7π6
, 所以-32≤sin ? ????π6
x -π3≤1, 故f (x )的最大值为2,最小值为-3,它们之和为2- 3.
答案:2- 3
10.若函数f (x )=sin ωx (ω>0)在区间??????0,π3上单调递增,在区间????
??π3,π2上单调递减,则ω=________.
解析:法一:由于函数f (x )=sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点,由已知并结合正弦函数的图象可知,π3为函数f (x )的14周期,故2πω=4π3,解得ω=32
. 法二:由题意,得f (x )max =f ? ??
??π3=sin π3ω=1. 由已知并结合正弦函数图象可知,π3ω=π2,解得ω=32
. 答案:32
11.已知函数f (x )=2sin ?
????2x +π4. (1)求函数f (x )的单调递增区间;
(2)当x ∈??????π4
,3π4时,求函数f (x )的最大值和最小值.
解:(1)令2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2
,k ∈Z , 则k π-3π8≤x ≤k π+π8
,k ∈Z. 故函数f (x )的单调递增区间为?
?????k π-3π8,k π+π8,k ∈Z. (2)因为当x ∈??????π4
,3π4时,3π4≤2x +π4≤7π4, 所以-1≤sin ?
????2x +π4≤22,所以-2≤f (x )≤1, 所以当x ∈??????π4
,3π4时,函数f (x )的最大值为1,最小值为- 2. 12.已知函数f (x )=12sin 2x -32cos 2x -32
. (1)求函数f (x )的最小正周期和最大值;
(2)讨论函数f (x )在????
??π6,2π3上的单调性. 解:(1)因为函数f (x )=12sin 2x -32cos 2x -32=sin ?
????2x -π3-32, 所以函数f (x )的最小正周期为π,最大值为2-32
. (2)当x ∈??????π6
,2π3时,0≤2x -π3≤π, 从而当0≤2x -π3≤π2,即π6≤x ≤5π12
时,f (x )单调递增; 当π2≤2x -π3≤π,即5π12≤x ≤2π3
时,f (x )单调递减. 综上可知,f (x )在??????π6,5π12上单调递增,在????
??5π12,2π3上单调递减.
B 级——创高分自选
1.已知函数f (x )=2sin ? ????x +7π3,设a =f ? ????π7,b =f ? ????π6,c =f ? ??
??π3,则a ,b ,c 的大小关系是________(用“<”表示).
解析:函数f (x )=2sin ? ????x +π3+2π=2sin ?
????x +π3,
a =f ? ??
??π7=2sin 10π21, b =f ? ??
??π6=2sin π2, c =f ? ????π3=2sin 2π3=2sin π3
, 因为y =sin x 在?