数学化归方法(填空和大题)
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数学化归方法
对化归思想的认识 化归思想的基本原则 化归思想的应用
对化归方法的认识
化归：将一个新的、有待解决的问题， 通过某种转化过程，归结到一类已解决 的问题或比较容易解决的问题的思想方 法.
化归的对象：问题中需要改变的成分， 是改变整个题目，还是只改变它的部分 条件.
化归的目标：化难为易、化繁为简，将 陌生问题转化为熟悉问题。
化归的方法基本策略—映射法 （RMI）
关系映射反演原则（RMI） R——包含着实际问题的事物关系系统
R*——包含着理论问题的概念关系系统
M——从事物关系到概念关系的形成过程 I M 1——从概念返回实际事物的逆过程
x* ——实际问题中的未知目标x 的映像
化归的方法基本策略—映射法 （RMI）
练习
求函数 y x2 1 x2 x 8 最值
已知 x 0, y 0.且 x 1 y 1 ，求 x2 y2
的最大值
2
化归的基本策略——语义转换
例9 设 3cos 4sin 5，求tan 的值。 例10 已知三个正数 a, b, c 构成等差数
特殊化方法的含义
l特殊化就是从考虑一组给定的对象集合过渡到 考虑该集合中的一个较小的集合，仅仅一个对
象。 l特殊化方法是指在解决某一问题有困难时，先 解决它的特殊情况，然后再把解决特殊问题的
练习
一百盏灯分别标上1,2,3,…，100，第一 个人把每盏灯拉线开关各拉一下，使得 每盏灯都亮；第二个人把标号为2的倍数 的灯拉线开关各拉一下；第三个人标号 为3的倍数的灯拉线开关各拉一下；以此 类推，直到第100个人把标号为100的灯 拉线开关拉一下，最后那盏灯是亮的？
2、熟悉性原则 将陌生问题转化为 熟悉问题。
数之和 例15 已知三角形内角和为180°,那么n
边形的内角和是多少？
例16已知 a,b,c, d是互不相等的正实数， 试比较
a2 b2 b2 d 2与 (a b)2 (c d)2
的大小.
例17 在单位正方形四边上任意两点连线， 将正方形分成面积相等的两部分，求证该 曲线长不小于1
特殊化方法（续）
数学家：这有什么难的！如果圆桌小到只能放下一 枚硬币，那么先放者获胜。 提问者：这还用你讲？简直是废话！ 数学家：不！这是一个很重要的特殊情况，它的解 决将导致一般情况的解决。 提问者：怎么解决？
数学家：我先放中心位置，利用圆桌的对称性，我 就可以获胜，不管是圆桌还是方桌，只要有对称中 心就行，硬币大小也可以不一，只要两人都有就行。
l数学结论往往具有一定程度的一般性，特殊问 题可能会因掩盖这些共性而给其解决带来困难， 反而某些一般化命题中的关系和规律有时更容 易看清楚
一般化方法的应用——先解决 一般问题，再赋值
例20
证明： 1
1
1 2
1 1000
1000
先证明一般式：1 1 1 n
列，且公差不为零，证明他们的倒数所 组成的数列 1 , 1 , 1 不可能 成等差数列。
wenku.baidu.comabc
例题
例11 已知 a b c 0 ，求证：
a3 b3 c3 3abc
化归的基本策略—变换法
例13 求396所有约数的和 例14 求1---100中不能被3整除的所有的
练习
解方程 x4 x3 x2 1 0
4、直观性原则 将抽象性问题转 化为直观性问题
例7已知：af (2x2 1) bf (1 2x2 ) 4x2 ，
求 f (x)
例8
求函数
f (x, y) (x y)2 (
2 x2 9)2 y
的最小值.
R
M
R*
x I M 1 x*
化归的方法基本策略—映射法 （RMI）
例19 已知 a,b,c, d 均为正数，求证：存在以 b2 c2 ，a2 b2 d 2 2ab， a2 c2 d 2 2cd
边的三角形，并求这个三角形的面积.
化归的方法的基本策略—特殊 化和一般化的互化
2
n
一般化方法的含义
一般化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该对 象的一个集合；或者从考虑一个较小的集合过渡 到考虑一个包含该较小集合的更大的集和。
一般化方法是指为了解决某一问题，先解决比其 更一般的问题，然后将之特殊化，从而得到原问 题的解。
一般化方法的含义
l从逻辑的角度讲，一般蕴含着特殊，因此，如 果某个一般化命题得到了解决，那么也就意味 着相应的所有特殊化命题都得到了解决。
例3 有12张扑克牌，2点、6点、10点各 四张，能否从中选出七张牌，使得上面 的点数之和等于52？
例4 在边长为1的正方形，任意放入9个 点，则至少存在这样的3点，以他们为顶 点构成的三角形的面积不超过八分之一.
3、简单化原则 将复杂性问题转 化为简单问题
例5 甲、乙两人同时从相距100里的两地出 发，甲带的一只小狗也同时出发，狗以每小 时10里的速度向乙奔去，遇到乙马上返回向 甲奔去，遇到甲又奔向乙……就这样，狗不 停地来回奔跑于甲、乙之间，直至甲、乙相 遇，狗才停歇，如果甲每小时行6里，乙每 小时行4里，求这只狗一共奔跑了多少里？
一般化方法 特殊化方法 一般化与特殊化的辩证关系
导例
比较9991997与 1997! 的大小
分析知 997 1997 1
n !
比较
n
1 2
n
与
2
的大小
特殊形式 一般形式
(n 1)n (1 2 3 n)n ( n 1 2 3 n)n n!
12
n
上式可用数学归纳法进行证明
练习
将锐角三角形的一边n等分，连接这边上 所有点与对应顶点，这些将该三角形分 成多少个三角形？
特殊化方法——导例
两人相继往一张圆桌上平放一枚同样大 小的硬币（两人拥有同样多的硬币，且 两人的硬币合起来足够摆满桌子），谁 放下最后一枚而使对方没有位置再放， 谁就获胜，试问是先放者获胜还是后放 者获胜，怎样才能稳操胜券？
对化归思想的认识 化归思想的基本原则 化归思想的应用
对化归方法的认识
化归：将一个新的、有待解决的问题， 通过某种转化过程，归结到一类已解决 的问题或比较容易解决的问题的思想方 法.
化归的对象：问题中需要改变的成分， 是改变整个题目，还是只改变它的部分 条件.
化归的目标：化难为易、化繁为简，将 陌生问题转化为熟悉问题。
化归的方法基本策略—映射法 （RMI）
关系映射反演原则（RMI） R——包含着实际问题的事物关系系统
R*——包含着理论问题的概念关系系统
M——从事物关系到概念关系的形成过程 I M 1——从概念返回实际事物的逆过程
x* ——实际问题中的未知目标x 的映像
化归的方法基本策略—映射法 （RMI）
练习
求函数 y x2 1 x2 x 8 最值
已知 x 0, y 0.且 x 1 y 1 ，求 x2 y2
的最大值
2
化归的基本策略——语义转换
例9 设 3cos 4sin 5，求tan 的值。 例10 已知三个正数 a, b, c 构成等差数
特殊化方法的含义
l特殊化就是从考虑一组给定的对象集合过渡到 考虑该集合中的一个较小的集合，仅仅一个对
象。 l特殊化方法是指在解决某一问题有困难时，先 解决它的特殊情况，然后再把解决特殊问题的
练习
一百盏灯分别标上1,2,3,…，100，第一 个人把每盏灯拉线开关各拉一下，使得 每盏灯都亮；第二个人把标号为2的倍数 的灯拉线开关各拉一下；第三个人标号 为3的倍数的灯拉线开关各拉一下；以此 类推，直到第100个人把标号为100的灯 拉线开关拉一下，最后那盏灯是亮的？
2、熟悉性原则 将陌生问题转化为 熟悉问题。
数之和 例15 已知三角形内角和为180°,那么n
边形的内角和是多少？
例16已知 a,b,c, d是互不相等的正实数， 试比较
a2 b2 b2 d 2与 (a b)2 (c d)2
的大小.
例17 在单位正方形四边上任意两点连线， 将正方形分成面积相等的两部分，求证该 曲线长不小于1
特殊化方法（续）
数学家：这有什么难的！如果圆桌小到只能放下一 枚硬币，那么先放者获胜。 提问者：这还用你讲？简直是废话！ 数学家：不！这是一个很重要的特殊情况，它的解 决将导致一般情况的解决。 提问者：怎么解决？
数学家：我先放中心位置，利用圆桌的对称性，我 就可以获胜，不管是圆桌还是方桌，只要有对称中 心就行，硬币大小也可以不一，只要两人都有就行。
l数学结论往往具有一定程度的一般性，特殊问 题可能会因掩盖这些共性而给其解决带来困难， 反而某些一般化命题中的关系和规律有时更容 易看清楚
一般化方法的应用——先解决 一般问题，再赋值
例20
证明： 1
1
1 2
1 1000
1000
先证明一般式：1 1 1 n
列，且公差不为零，证明他们的倒数所 组成的数列 1 , 1 , 1 不可能 成等差数列。
wenku.baidu.comabc
例题
例11 已知 a b c 0 ，求证：
a3 b3 c3 3abc
化归的基本策略—变换法
例13 求396所有约数的和 例14 求1---100中不能被3整除的所有的
练习
解方程 x4 x3 x2 1 0
4、直观性原则 将抽象性问题转 化为直观性问题
例7已知：af (2x2 1) bf (1 2x2 ) 4x2 ，
求 f (x)
例8
求函数
f (x, y) (x y)2 (
2 x2 9)2 y
的最小值.
R
M
R*
x I M 1 x*
化归的方法基本策略—映射法 （RMI）
例19 已知 a,b,c, d 均为正数，求证：存在以 b2 c2 ，a2 b2 d 2 2ab， a2 c2 d 2 2cd
边的三角形，并求这个三角形的面积.
化归的方法的基本策略—特殊 化和一般化的互化
2
n
一般化方法的含义
一般化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该对 象的一个集合；或者从考虑一个较小的集合过渡 到考虑一个包含该较小集合的更大的集和。
一般化方法是指为了解决某一问题，先解决比其 更一般的问题，然后将之特殊化，从而得到原问 题的解。
一般化方法的含义
l从逻辑的角度讲，一般蕴含着特殊，因此，如 果某个一般化命题得到了解决，那么也就意味 着相应的所有特殊化命题都得到了解决。
例3 有12张扑克牌，2点、6点、10点各 四张，能否从中选出七张牌，使得上面 的点数之和等于52？
例4 在边长为1的正方形，任意放入9个 点，则至少存在这样的3点，以他们为顶 点构成的三角形的面积不超过八分之一.
3、简单化原则 将复杂性问题转 化为简单问题
例5 甲、乙两人同时从相距100里的两地出 发，甲带的一只小狗也同时出发，狗以每小 时10里的速度向乙奔去，遇到乙马上返回向 甲奔去，遇到甲又奔向乙……就这样，狗不 停地来回奔跑于甲、乙之间，直至甲、乙相 遇，狗才停歇，如果甲每小时行6里，乙每 小时行4里，求这只狗一共奔跑了多少里？
一般化方法 特殊化方法 一般化与特殊化的辩证关系
导例
比较9991997与 1997! 的大小
分析知 997 1997 1
n !
比较
n
1 2
n
与
2
的大小
特殊形式 一般形式
(n 1)n (1 2 3 n)n ( n 1 2 3 n)n n!
12
n
上式可用数学归纳法进行证明
练习
将锐角三角形的一边n等分，连接这边上 所有点与对应顶点，这些将该三角形分 成多少个三角形？
特殊化方法——导例
两人相继往一张圆桌上平放一枚同样大 小的硬币（两人拥有同样多的硬币，且 两人的硬币合起来足够摆满桌子），谁 放下最后一枚而使对方没有位置再放， 谁就获胜，试问是先放者获胜还是后放 者获胜，怎样才能稳操胜券？