第十一章 梁的刚度

9、图示各梁，抗弯刚度 EI 为常量，试利用积分法求最大挠度与最大转角。
解：（1）选取如图 a1 所示坐标系。根据平衡条件求出支座反力： 挠曲线微分方程及其积分为：
由边界条件确定积分常数： X1=a,W1=0; X2=3a, W2(X2)=0; X2=a,W2=0; X1=X2=a,W1‘=W2‘ 所以挠曲线方程为：
梁的变形除了与梁的支撑和荷载情况有关外，还与材料、截面和跨度有关。max

荷载 l n kEI
6 梁的变形与梁抗弯刚度成反比。（√）
工程中常用的钢铁类材料梁的弹性模量的差异较小，其他材质也类似。所以增大抗弯刚度的
主要措施的增大横截面的惯性矩。为了满足经济与安全的要求，所以在工程中比较常用的是
工字钢、箱型、槽型以及空心截面梁。
l
l
0≤x1≤ 2 , x1=0，w1=0; x1= x2= 2 , w1=w2
l
2 ≤x2≤ l , x2= l , w2=0; 2=0 或者 w’2=0
7、 图示各梁，抗弯刚度 EI 为常量，试利用积分法求自由端的挠度与转角。
解：（1）选区如图 a1 所示坐标系。根据平衡条件求出
支座反力：
FA
=
q0l 2
，MA
=Hale Waihona Puke q0l2 6q0l−x q x = l q0
任意截面上的弯矩 M(x)由三部分组成，即支座反
力FA、MA对 x 截面的弯矩及分布荷载对 x 截面的弯矩：
M x = M1 + M2 + M3
M1
= FAx
=
q0l2 6
x
，M2
=− MA
=
MA
A x1
FA
x
dx1
B
−
1 6
q0l2
图 a1
的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。 （ × ）
二、选择题
1.梁的挠曲线近似方程 EI﹙x﹚y″=﹣M﹙x﹚中，等号右边的负号是由于（ ） A．挠度的正负号与弯矩的正负号相反 B．挠度的正负号与转角的正负号相反 C.转角的正负号与弯矩的正负号相反 D.选取了某种坐标系的原因 2.用叠加法计算梁的位移（ ） A.是一种近似方法 B.是一种简便方法 C.是一种简便方法，但只是一种近似方法 D.当梁上只作用一种载荷时，就没有必要使用此方法 3、求梁弯曲变形的叠加原理是：梁在多个载荷共同作用下的变形，等于各个载荷单独作用 下变形的（ ）
B2
=
Pa(2b 6(2a
a)(2a 2b)EI
3b)
B B1 B2
4、如图所示结构中，AB 梁为 16 号工字钢，拉杆 BC 的截面为圆形，d=10mm。两者均为 A3 钢，E=200Gpa。试求，梁及拉杆内的最大正应力。
【杆最大正应力max=185Mpa，梁内最大正应力max=156MPa】
当大的数值，剪应力就不能忽略了。
2、梁的弯曲变形的最大挠度超过了许可挠度，梁就会破坏。
（✖）
强度--破坏 刚度==稳定
3、在梁弯矩为最大的截面上，其挠度不一定是最大的。（）
例如悬臂梁，梁端受力，梁端弯矩为 0，挠度最大
4、弯矩是引起梁弯曲变形的主要因素，所以减小弯矩的数值，也就减小了梁的弯曲变形。(√)
四、计算题
1、求如图所示梁 C 截面的挠度和转角。
【θc=θ1+θ2=﹣ Pl1 －Pl2 (l2 +l1)， yc=y1+y2+θ2×l1=﹣ P (l1 ﹢l2 －
2EI1 EI2 2
3E I1 I2
P×l1×l2 ( l1＋l2)】 EI2
解析：对于变截面梁，要用逐断钢化法来解。其受力状况可如图所示，查表可得
8qa4 7qa4 57qa4 yB= 3EI 24EI = 24EI
6 、图示各梁，抗弯刚度 EI 为常量，写出用积分法求梁变形是的边界条件和连续条件，光 滑条件。
解： （1）如图 a1 所示：
(2) 如图 b1 所示：
l
l
0≤x1≤ 2 , x1=0,w1 =0; x1= x2= 2 , 1= 2 或 w1=w2
q E
yB
B
(1)
RB
q E
B
(2)
yB
B
(3)
E
RB
第七题解图
在图（2）中，设 B 截面的挠度为 yB1，则有
qa4 qa4
7qa 4
yB1=－ 8EI － 6EI = 24EI
在图（3）中，设 B 截面的挠度为 yB2，则有
RBa3 8qa4 yB2= 3EI = 3EI
在图（1）中的 yB=yB1 +yB2 即
l
l
2 ≤x1≤ l ,x2= l ,w2=0;x1=x2= 2 ,w1=w2
l x=0,wA=0;x= 2 ,wB=0
(3) 如图 c1 所示： (4) 如图 d1 所示：
l
0≤x1≤ 2 , x1=0, w1 =0,w’1= 1=0
l
l
2 ≤x2≤ l , x1= x2= 2 , w1=w2; 1= 2 或 w1=w2
A. 增大截面面积，以增加惯性矩的值
B. 不增大截面面积，而改用惯性矩较大的“工”字形截面
C. 用弹性模量较大的材料
D. 在梁的中间增加基座
9、如图，等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率在最大（ ）处一定最大。
A、挠度
B.转角
C.剪力
D.弯矩
根据曲率公式 r=M(x)/EIz，E,Iz 为定值，M(x)愈大，则曲率越大。 应该是弯矩 M(x)。
转角方程为：
自由端区最大挠度∣w∣max=
，x=0 最大转角∣Θ∣max=
第十一章 梁的刚度
一、判断题
1、梁的弯曲正应力比弯曲切应力大得多，但是通常计算梁的变形时不略去切应力引起的变
形。(√)
解析：当进行平面弯曲梁的强度计算时，一般来说，弯曲正应力是支配梁强度计算的主要因
素，但在某些情况下。例如，当梁的跨度很小或者在支座附近有很大的集中力作用，这时梁
的最大弯矩比较小，而剪力却很大，如果梁截面窄且高或者薄壁截面，这时剪应力可达到相
C.EIZ
D.Ymax≤[Y]， θmax≤[θ]
6、结构受力如图所示，下列结论正确的是（ ）
A、θ B =
M el EI
Fl 2
+
2EI
，y B =
M el 2 EI
+
Fl 3 2EI
B、θ C
=
Mea EI
+
Fl 2 2EI
，y
B
=
M ea2 EI
+
Fa 3 2EI
C、θ C =-
M ea2 EI
y1


Pl13 3EI1
,1


Pl1 2EI1
y2


Pl23 3EI 2

Pl1l2 2 EI 2
,2


Pl2 2 EI 2

Pl1l2 EI 2
θc=θ1+θ2=﹣ Pl1 －Pl2 (l2 +l1) 2EI1 EI2 2
yc=y1+y2+θ2×l1=﹣ P
l1 ³
l2 ³ ﹢
P×l1×l2 －
7.材料在弹性范围内工作，粱的变形与载荷呈线性关系 (√)
8、梁的位移大小和梁的抗弯强度 EI 成正比（×） 反比 还与梁的跨度 l n 正比。
9、若两梁的抗弯刚度相同，弯矩方程相同，则两梁的挠曲线形状完全相同。(√)
10、两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受荷载相同，则两梁所对应的截面
A.算术和 B.几何和
C.代数和
4、用叠加法求梁的横截面挠度，转角时，需要满足的条件是（ ）
A 、材料必须符合虎克定律
B 、梁截面为等截面
C 、梁必须产生平面弯曲
D 、梁是静定的
5、梁的抗弯刚度是（C）；圆轴的抗扭刚度是（B）；杆件的抗拉（压）刚度是（A）；梁
的刚度条件是（ D ）。
A.EA
B.GI
10、如图所示，悬臂梁，在截面 B，C 上承受两个大小相等、方向相反的力偶作用，其截面
B 的（ ）。
A.挠度为零，转角不为零
B.挠度不为零，转角为零
C.挠度和转角均不为零
D.挠度和转角均为零
三、填空题
1、 梁在平面弯曲的情况下，梁的截面形心产生了位移，称为挠度；梁的截面绕中性轴转动 了一个角度，称为转角。梁变形后的轴线由原来的直线变为一条曲线，此曲线被称为挠 曲线。
3、求如图所示梁的 A 和B 。已知抗弯刚度为 EI。
yA1 =
Pa[3(2a 2b)2 4a 2 ] Pa[12(a b)2 4a 2
=-
48EI
48EI
y
=2
yA1 =
Pa[12(a b)2 24EI

4a 2

B1
=
Pa(2b a)(3a 2b) 6(2a 2B)EI
Mmax=-1 ql2+Nl=-22kN 2
杆最大正应力
max=N= 14.5103 =185Mpa A /40.012
梁内最大正应力
max=Mmax =156Mpa W
5、试求如图所示粱中点 E 的挠度，已知 EI 为常数。
解：该变形对称，跨度中点 E 截面的转角为零，挠曲线在 E 点处的切线是水平的，将结构 折成如图（1）（2）（3）所示结构，显然有 yE=yB。再将图(1)中的的计算看成图（2）和 图（3）两种基本结构变形的叠加。
( l1＋l2)
3E I1
I2
EI2
2、如图所示的简支梁，F=22KN，l=4m，[σ]=160MPa，E=200GPa，若许可挠度[y]=1/100m， 试选择工字钢的型号。
(1)按梁的刚度条件设计梁的最大弯矩也发生在中间截面处，且 Mmax=(1/4)Fl。 由强度条件有
σmax=Mmax／W=Fl/4／W≦[σ] W≥Fl／4[σ]=22×10³×4／4×160×106=137.5 ㎝³
-
F (l a) EI
-
Fa 3 2EI
D、θ C
=-
M ea2 EI
+
F (l EI
a)
-
Fa 3 2EI
7、在实际工程中，对铸件进行人工时效处理，可按照如图所示方式堆放，从减小铸件弯曲 变形角度考虑，采用（ ）。
A.三种方式都合理 B.图(a)合理 C.图(b)合理 D.图(c)合理
8、如图所示简支梁，载荷 q 和跨度 l 一定，要减小其挠度，最有效的措施是（ ）
2、梁在平面弯曲时候的转角，实际上是指梁的横截面绕中性轴这条线所转动的角度，近似 等于挠曲线方程 y=f(x)对 x 的一次导数。 3、梁弯曲时的两个基本变形量是挠度和转角。 4、方程 EI（x）y＂=-M（x）之所以称为挠曲线方程，是因为忽略了 剪力对梁的变形 的影 响和忽略了 y＂ 项。 5、当用积分法计算梁的位移时，如果梁的挠曲线近似微分方程需分 3 段列出，那么积分常 数就有 6 个。 6、梁必须满足强度条件和刚度条件，在建筑工程中，起控制作用的一般是强度条件. 7、均匀分布载荷作用下的简支梁，在粱长度由 L 变为 L/2 时，其最大挠度将变为原来的 1/16 。 8、提高梁的抗弯强度，可以通过材料弹性模量 E,和截面极惯性矩来实现。 9.在工程上某梁，在不允许减小梁长度情况下，为了提高梁的刚度，可增加 Iz 。 10.在设计梁时，通常是由梁的强度条件选择截面，然后再进行刚度校核。
判断静不定次数为一次，解除拉杆约束，代之以轴力 N，则补充方程为 yB=l。由叠加法，
有 yB=yq+yN
l=NlCB ,yq=-ql4 ,yN=Nl3
EA
8EI
3EI
查表得 16 号工字钢
I=1130cm4，W=141cm3
带入，得
-ql4 +Nl3 =NlCB 8EI 3EI EA
可得 N=14.5Kn。有
度(或转角)与跨度的 n 次幂成正比,因此为减小梁的变形,采取减小梁跨的办法是一个很有
效的措施。利用对梁采取增加支承的办法,会使梁的最大挠度值降低。增加约束后,原来的静
定梁就会变成超静定梁。减少弯矩值，因为弯矩是引起梁弯曲变形的主要因素，所以减小弯
矩的数值，也就减小了梁的弯曲变形。
5、梁的弯曲变形与材料无关（×）
查表，16 号工字钢的抗弯截面模量 W=141 ㎝³,由强度条件可选 16 号工字钢。 （2）按梁的刚度条件梁的最大闹大也发生在中间截面处，且 ymax=(fl³)/(48ei),由刚度条件 ymax=（Fl³）/(48EI) ≦[y],有 I≧（Fl³）／(48E[y])=(22×10³×4³×100) ／(48×200×10^9)=1466.7 ㎝^4 查表，18 号工字钢的惯性矩 I=1660 ㎝^4,由刚度条件可选 18 号工字钢。综合考虑强度和 刚度条件，故选 18 号工字钢。
提高梁弯曲刚度的措施：增大梁的抗弯刚度 EI 由于各类钢材的弹性模量 E 值相差甚少,因此
虽采用高强度钢可以大大提高梁的强度,但对增大梁的刚度却意义不大。增大截面的惯矩 I
是提高刚度的主要途径。此同时强度也可得以提高。从刚度方面考虑，应增大整个梁截面的
惯矩 I，在同一强度下，变截面梁比等截面梁的柔性大。减小梁的跨度或增加支承，梁的挠