解析函数课件

从而有
2u 2v x2 yx
2u
2v
y 2
xy
因 2v 2v xy yx
故在D内有
2u x 2
2u y 2
0,
同理有
2v x 2
2v y 2
0
即u u( x, y)，v v( x, y)是D内的调和函数。
定义2.4 设函数(x, y)及 (x, y)均为
D内的调和函数,且满足C R方程
二、解析函数的概念与求导法则
三、函数解析的一个充分必要条件
一、复变函数导数与微分
定义2.1 设函数w f (z)在点z0的某邻域内有定义,
z0 z是邻域内任意一点，
w f (z0 z) f (z0 )，如果
lim w lim f (z0 z) f (z0 ) A(有限值)
z z0
f z gz
f zgz f zgz g 2 z
（2）复合函数求导法则
设函数 f ( z )在区域D内解析，函数 w g( )在区域G内解析，又f ( D ) G( f ( D ))，
则复合函数w g( f ( z )) h( z )在区域D内解析， 并且有：
h'(z) [g( f (z))]' g'( f (z)) f '(z)
证明 对于复平面上任意一点 z0
f
Re(
z0
z
)
Re(
z0
)
x x x
x
z
z
x iy x iy
当z取 实 当z取 纯
数 虚
趋于0时,f z 1; 数趋于0时,f z
0;
lim
z0
f z
不
存
在.
即f z在z0不可导，由于 z0的任意性， f z在复平面上
任何点都不可导 .
注意：f ( z ) 在整个复平面上处处连续.
(1) u( x, y)和v( x, y)在点( x, y)处可微，
(2) u( x, y)和v( x, y)在点( x, y)处满足柯西 - 黎曼方
程（简称 C R方程）：
u v u
v
x y y
x
证明（必要性）
设f (z)在z x iy处可导，记作f '(z) a ib， 则有
f (z z) f (z) (a ib)z o(| z |)
因此，u( x, y )及v( x, y )在( x, y )处可微， 并有C R方程成立：
a
u x
v y
（充分性）
-b=
u y
v x
设u( x, y )及v( x, y )在( x, y )处可微，并有C R方 程成立，则有
. u ux (x, y)x uy (x, y)y o(| z |)；
一点都属于G ,那么称f ( z )在闭区域D上解析.
注1 “解析”有时也称“全纯”、“正则”.
注2 函数解析性不是函数在一个孤立点的性质， 而是函数在一个区域上的性质.
注3 若函数在一点解析，则一定在这个点可导，反 之，在一个点的可导不能得到在这个点解析. 但函数在区域内解析与在区域内处处可导是等 价的.
二、解析函数的概念与求导法则
1、解析函数的概念 定义2.2 如果f (z)在z0及z0的某邻域内处处可导，
则称f (z)在z0处解析.如果f (z)在z0不解析，则 称z0为f (z)的奇点。 如果f ( z )在区域D内处处解析，则称f ( z )
在D内解析，我们也说f z是D内解析函数.
如果f ( z )在区域G内解析，而闭区域D上每
（3）反函数求导法则
设函数w f ( z )在区域D内解析， 且f' ( z ) 0，又反函数
z f 1( w ) ( w )存在且为连续，
则有：
'(w) 1
1
f '(z) z(w) f '( (w))
三、函数解析的一个充分必要条件
定理2.1
设函数f (z) u(x, y) iv(x, y)在区域D内有定义， 那么f (z)在点z x iy D可微的必要与充分条件是
注4 闭区域上的解析函数是指在包含这个闭区 域的一个更大的区域内解析.
2、求导法则 （1）四则运算法则
如果f ( z )和g( z )在区域D内解析,则
f
(
z
)
g(
z
),
f
(
z
)g(
z
),
f z gz
(
g(
z
)
0
)在区域
D内解析，
并且有 f z gz f '(z) g'(z)
f zgz f '(z)g(z) f (z)g'(z)
v vx (x, y)x vy (x, y)y o(| z |)；
由C R方程可得:
w u iv
[ux (x, y) ivx (x, y)](x i y) o(| z |)
所以
lim
z0
w z
ux
(x,
y) ivx
( x,
y)
a
ib
即f (z)在z x iy处 可导 。
且f (z)
(2)w | z |2 x2 y2，所以u x2 y2，v 0,且
u x
2 x,
u y
2y
v x
0
v y
0
只 有 在 点(0,0)处C R方 程 成 立 ， 所 以f (z)只 在z 0可 导 ，
且
f '(0)
u x
v 0,0 i x
0,0
0；
z 0，f (z)不 可 导 。 因 此 ， 在 整 个z平 面 上f (z)不 解 析 。
2 x 2
2 y 2
0
则称( x , y )为D内的调和函数.
定理2.3 若f ( z ) u( x, y ) iv( x, y )在区域D内解析 则u u( x, y )，v v( x, y )是D内的调和函数。
证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则
由C R方程 u v u v x y y x
例4 试证函数f (z) e x (cos y i sin y)在z平面上
解析，且f z f z.
证明 因为f (z) e x (cos y i sin y)，所以u e x cos y，
v e x sin y,且
u x
e xcosy,
u y
e xsiny,
v x
e xsiny,
v y
当u2 v2 0时，u u 0，故u 常数， x y
由 （2） 结 论 成 立 。
本节重点掌握:
（1）复变函数解析与可导的关系。
（2）解析函数的实部和虚部不是完全独立的， 它们是C-R方程的一组解.
（3）函数在哪一点不满足C-R方程，函数在 那一点不可微。
函数在哪个区域不满足C-R方程，函数在那 个区域不解析。
(3) 因为| f (z) |2 常数，分别对x、y求 导数得：
u
u x
பைடு நூலகம்
v
v x
0，u
u y
v
v y
0，
因为f ( z )解析，所以由C R方程得：
u
u x
v
u y
0，v
u x
u
u y
0，
由此推知
(u2
v2 )
u x
0，(u2
v2 )
u y
0。
当( u2 v2 ) 0时，u v 0，故f ( z ) 0，结论成立。
u v , u v x y y x
则f ( z )在D内解 析。
例3 讨论下列函数的可导性和解析性
（1）w Re z;
(2) w | z |2;（学生课堂讨论）
解：（1）因为u x，v 0，且
u x
1,
u y
0
v x
0
v y
0
所以C R方程在整个复平面不成立， 所以w Re z在整个复平面内处处不可 导,从 而 不 解 析.
z0
z
则称函数 f (z)在z0处可导，A称为函数 f (z)在z0处的
导数，记为 f '(z0 )，即
f '(z0 )
lim
z0
f (z0
z) z
f (z0 )
由此可得w f '(z0 )z o(| z |) (z 0) 称f '(z0 )z为函数f (z)在z0处的微分，也称函数
f z在z0处可微。记作
u x
x,y
i
v x
x,y
说明:
（1）函数 f z的 导数形式：
f
z
u x
i
v x
v y
i
v x
u x
i
u y
v y
i
u y
（2）C-R条件是复变函数可导的必要条
件
而非充分条件.
例2
取u(
x
,
y
)
v(
x
,
y
)
xy x2 y2
0
x2 y2 0 x2 y2 0
令f (z) u( x, y) iv( x, y)， 则u( x, y), v( x, y)在 点(0,0)满 足 C R方 程：
证明：(1)由f
'(z)
u x
i
v x
v y
i
u y
0得，
u u v v 0， x y x y
由此可知u、v均为常数，从而f ( z )在D内为常数；
(2) 因为u
常数，所以u x
u y
，由C
R方程知：
u u v v 0， x y x y
由此可知u,v均为常数 ,从而f ( z )在D内为常数.
Paris), France
18
黎曼资料
Riemann
Born: 17 Sept 1826 in Breselenz, Hanover (now Germany) Died: 20 July 1866 in Selasca, Italy
19
.
定理2.2 函数 f (z) u( x, y) iv( x, y)区域D内 解析的充分必要条件是 （1）u( x, y)和v( x, y)在区域D内处处可微； （2）u( x , y )和v( x , y )在区域D内满足C R方程：
,
x y y x
则称 (x, y)是(x, y)的共轭调和函数.
定理2.4 f ( z ) u( x, y ) iv( x, y )在D内解析 在D内v( x, y )必为u u( x, y )的共轭调和函数.
二、解析函数与调和函数的关系
现在研究反过来的问题： 若u, v是任意选取的在 区域D内的两个调和函数,则u iv在D内就不 一 定 解 析. 例如：v x y与u x y是两个调和函数.
u x
v y
0
u y
v x
0
但u( x, y )、v( x, y )在点( 0,0 )不连续，所以复变 函数f ( z )在z 0不连续,从而f ( z )在z 0不可导.
柯西资料
Augustin-Louis Cauchy
Born: 21 Aug 1789 in Paris, France Died: 23 May 1857 in Sceaux (near
e xcosy,
这四个偏导数在z平面上连续，并且C -R方程成立，
由上述推论知f ( z )在z平面上解析；并且
f '(z) u i v e x (cos y i sin y) f (z). x x
例5 如果f (z)在区域D内解析，而且满足 下列条件之一，则f (z)在内D为常数：
(1) f '(z) 0； (2) Re f (z) 常数； （3）| f (z) | 为常数（学生课堂讨论）
df z0 f z0 dz
说明：
( 1 )Δz按 任 意 方 式 趋 于 零 ；
2 f z在z0可导与 f z在z0可微等价 ; 3若f z在z0处可导，则 f z在z0处连续 ;
( 4 )当z 0时，w的极限不存在，称 z
f z在z0不可导 .
例1 证明 f (z) Re z在复平面上的任何点都 不可导.
第二章 解析函数
(Analytic function)
§2.1 解析函数的概念
§2.2 解析函数与调和函数的关系
§2.3 初等函数
第一讲
§2.1 解析函数的概念 §2.2 解析函数和调和函数的关系
§2.1 解析函数的概念
(The conception of analytic function)
一、复变函数导数与微分
u v u
v
x y y
x
推论 设函数f ( z ) u( x, y ) iv( x, y )在区域D内
有定义，
如果
（1）u( x, y )和v( x, y )的四个偏导数:
u , u , v , v 在D内存在且连续； x y x y （2）u( x, y )和v( x, y )在D内满足C R方程 :
(a ib)(x iy) o(| z |)
其中f ( z z ) f ( z ) u iv，按实部 和虚部整理得：
u( x x, y y) u( x, y) ax by o(| z |)；
v( x x, y y) v( x, y) bx ay o(| z |)；
§2.2 解析函数与调和函数的关系
(The relation of analytic function and harmonic function)
一、 调和函数的概念
二、解析函数与调和函数的关系
一、 调和函数的概念
定义2.3 若二元实变函数( x , y )在D内具有二阶连
续偏导数且满足Laplace方程 :