变化的磁场和变化的电场124

？ ?L H ?dl ? I
?L H ?dl ? 0
S1 L
I R
S1 L
为了在形式上保持定理成 立，麦克斯韦扩充了电流的 概念，引入位移电流。
IR
产生磁场
S2
?
S2
?
变化的磁场和变化的电场
7
一. 位移电流假设
? 非稳恒电路中，在传导电流中断处必发生电荷分布的变化
I ? dq / dt ——极板上电荷的时间变化率
11
电流密度 (矢量 )
1. 电流密度 j
方向：沿电流方向 大小： j ? dI
dS?
2. 位移电流
单位：A/ m2
dI ? jdS? ? jdScos? ? jndS ? j ?dS
I ? ?S j ?d S
电流强度等于电 流密度的通量
? ? D ?
D ?d S
S
D : C / m2 ? D :?C
8
I
?
dq dt
?
dΦD dt
?
ID
——位移电流
电位移通量的变化率等于传导电流强度
? 一般情况位移电流
? ID
?
dΦD dt
?
d dt
D?dS
S
?
? D ?dS S ?t
? 位移电流与传导电流连接起来恰好构成连续的闭合电流
麦克斯韦提出全电流的概念
I 全 ? I 传导 ? I 位移
在普遍情形下，全电流在空
解 低速运动的电子在空间产生的磁感应强度为
B
?
?
?0
4π
evsin?
r2
H
?
?
evsin ?
4πr 2
r
wm
?
1 2
? 0e2v2sin2?
16π2r 4
?
a ?e
取体积元 dV ? r 2sin ? dr d? d? （球坐标）
dV
? P
v?
? Wm ? V wmdV
整个空间的磁场能量
? ? ? ?
?
1 LI 2
0
2
变化的磁场和变化的电场
2
(2) 与电容储能比较
Wm
?
1 2
LI 2
三. 磁能密度
We
?
1 CU 2 2
自感线圈也是一个储 能元件，自感系数反 映线圈储能的本领
? 以无限长直螺线管为例
B ? ? 0? r nI
B ?r
I
L?
N? I
m
?
? 0? r n2V
磁能 Wm
?
1 ? n2VI 2?
? idt ? ??Lidt ? i2Rdt
当i从0变化到I时，
? ? ? t?idt ? 0
t 0
??Lidt
?
t i2Rdt
0
电源提供 的能量
电源克服感应电动势所作 的功，用来建立磁场，即
磁场的能量
电阻消耗的 焦耳热
? ? ? W ?
t 0
?
?
Lidt
?
t L di idt 0 dt
?
I
Lidi
? ? d ? D ? d D ?d S ? ? D ?d S
dt dt S
S ?t
ID
?
d? D dt
? D : C / m2 / s ? A/ m2 ?t
位移电流密度：
? ID ? S jD ?dS
jD
?
?D ?t
D ? ?E
jD
?
?D ?t
?
??E
?t
?
?
?E ?t
jD
?
?D ? ?t
?0
?E ?t
? 电荷分布的变化必引起电场的变化 (以平行板电容器为例)
电位移通量 ΦD ? DS ? ΦD ?t?
σ ?t ? ?σ?t?
D? σ
ΦD?t??? ?t?S ? q ?t ?
I (t) D??t ? I (t)
dΦ D dt
?
dq dt
?
ID
S
——位移电流(变化的电场等效为一种电流)
变化的磁场和变化的电场
ID
I R
?
间永远是连续不中断的，并且构成闭合回路。
变化的磁场和变化的电场
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? 麦克斯韦将安培环路定理推广
? ? H ?dl L
?
I全
?
I传导 ?
I位移
?
I传导 ?
?D ?dS S ?t
(全电流安培环路定理)
? 若传导电流为零
H ?dl
L
?
? ?D
S ?t
?dS（变化电场产生磁场）
? 位移电流、传导电流的比较 相同点：激发磁场的规律相同 （右旋的涡旋磁场）
由全电流安培环路定理
? ? H ?dl L
(真空中)
变化的磁场和变化的电场
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例 设平行板电容器极板为圆板，半径为R ，两极板间距为d,
用缓变电流 IC 对电容器充电
求 P1 ,P2 点处的磁感应强度
P1 ?
解: 任一时刻极板间的电场
E? ? ?0
?
D
?0
IC
ID
极板间任一点的位移电流
P2 ??
R
jD
?
?D ?t
?
??
?t
? IC πR2
ID
P1
R
例
(1)已知电容
C??
r
??S??du dt
为常数，求Hale Waihona Puke Baidu
I
D
(2)已知
dE dt
为常数，求
ID
解:
ID
?
d? D dt
?
d dt
DS
?
d?
dt
S?
d dt
q
?
d dt
Cu ?
C
du dt
ID
?
d? D dt
?
d DS ? dt
d dt
?0?r ES
?
?0?r S
dE dt
变化的磁场和变化的电场
积分遍及磁场 存在的空间
? 磁场能量密度与电场能量密度公式比较
wm
?
1 2
B ?H
we
?
1 2
D ?E
变化的磁场和变化的电场
4
? 计算磁场能量的两个基本点
(1) 求磁场分布
B,H
建立磁场能量密度
(2) 定体积元 dV
遍及磁场存在的空间积分
变化的磁场和变化的电场
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例 计算低速运动的电子的磁场能量，设其半径为 a
? r 2dr
π
sin? d?
R0
0
2π 0
?0
2
? e2v2sin 2?
? ?
16π2r 4
??d?
?
?
? 0e2v2
12 πa
变化的磁场和变化的电场
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§10.5 麦克斯韦电磁理论简介
变化磁场
产生感生电场 变化电场
安培环路定理在非稳定条件下的困难
对稳恒电流 对S1面 对S2面
?L H ?dl ? I
I ? dΦD dt
不同点： (1) 产生机理不同
(2) 存在条件不同
? B
位移电流可以存在于真空中、导体中、介质中
(3)位移电流没有热效应，传导电流产生焦耳热
变化的磁场和变化的电场
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例 平行圆板电容器，充电过程中，
问：P1 ,P2 点处的电场和磁场方向
解: P1 E1
P2 E2
I
B1 ?
B2
? P2 ??
§10.4 磁场能量
一. 磁能的来源
?
K
R
A
L
B
?
K
R
A
L
B
结论：在原通有电流的线圈中存在能量 —— 磁能
二. 磁场能量的计算
在电流从0到I达到稳定的过程中： 电源提供的能量＝电阻R上的焦耳热＋建立磁场的能量
克服感应电动势作功转换为磁能
变化的磁场和变化的电场
1
在通电过程中 ? ? ?L ? iR ? ? ? ?L ? iR
2
1 ? n 2V
2
B2
? 2n2
?
B2 V
2?
Wm ?
BH 2
V ? wmV
变化的磁场和变化的电场
3
磁场能量密度 说明
wm
?
Wm V
?
BH 2
上式不仅适用于无限长直螺线管中的均匀磁场,也适用 于非均匀磁场,其一般是空间和时间的函数。
? 在有限区域内
? ? Wm ?
V wmdV ?
1 B?HdV V2