可逆矩阵及应用举例

3 2 2 1 0 0
1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 4
1 det AA1 det AdetA1,
所以 detA 0.
充分性:由例(1.32)的结果
AA* A*A diag A , A ,…,A A E,
当 A 0 时,有
A
1 A
A*
1 A
A*
A E.
由可逆矩阵的定义知 A 是可逆的,且 A1
1
A* ,
A
即(2)的结论也成立.
对于方阵 A ,若 A 0 ,称 A 为非奇异阵,否则称 A 为奇异阵.定理 1.3 表明:可逆阵就是非奇异阵.
推论 如果同阶方阵 A 、 B 满足 AB E, 则 A 可 逆,且 A1 B.
证
由 AB E, 两边取行列式得
A B AB E = 1,
故 A 0 ,因而 A 可逆,进一步,用 A1 左乘
定理 1.2 (1) 方阵 A 可逆的充分必要条件是
A 的行列式 A 0 ;
(2) 当 A 可逆时,
A1 1 A* , A
(1.18)
其中 A* 是 A 的伴随矩阵.
证 （1）必要性：若 A 可逆，即有 A1 使
AA1 E,
于是
det AA1 det E 1.
由矩阵取行列式的性质(İİİ),得
定义 1.11 对于 n 阶方阵 A ,如果存在一个
n 阶方阵 B ,使
AB = BA En ,
(1.17)
则称矩阵 A 是可逆的,并把方阵 B 称为 A 的
逆矩阵或逆阵.
如果矩阵 A 是可逆的,那么 A 的逆阵是唯一
的.这是因为,设 B 、 C 都是 A 的逆阵,则有
B = BE B AC BAC EC C,
第一种方法求逆阵,当矩阵阶数较高时,计算量较
大,仅对于二阶及三阶方阵尚可考虑应用,故对于
具体的数字矩阵,一般均用第二种方法.
例 1.34
设二阶矩阵
A1.
A
=
a c
b d
,
且
detA
0,
求
解 因 detA 0, 故 A 可逆.又,
detA = ad
- bc,
A*
=
d c
b a
,
由公式(1.18)得
方阵 A 是否可逆是 A 的一个重要属性,可逆矩阵
在线性代数的理论和应用中都起着重要的作用. 引入逆阵的概念后,就可以回答本节一开始提出
的问题.如果现行方程组 Ax = b 的系数矩阵 A 是
可逆的,则它有解 x = A1b..接下来需要解决的问
题是如何判别方阵 A 是否可逆?如果 A 可逆,如何 求他的逆阵 A1 ?下面的定理回答了这两个问题.
本节要点
一、 二、 三、 四、 五、
可逆矩阵的基本概念 逆矩阵的求法 克拉默（Cramer）法则 矩阵方程 逆矩阵在加密传输中的应用
§5 可逆矩阵及应用举例
一、可逆矩阵的基本概念
对于一元线性方程 ax = b ，当 a 0 时，存在
数
a 1
1 a
，使方程有解
x
a1b
b a
,
对于
n
个
未知数、 n 个方程的线性方程组 Ax = b ,是否也能
A 1 1 A1;
( İİİ )若 A 、 B 为同阶方阵且均可逆,则其乘积矩
阵 AB 也可逆,且 AB1 B1A1;
( İV )若 A 可逆,则 AT 亦可逆,且
AT
1
A 1
T
;
( V ) 若 A 可逆,则 A1 1 . A
可将性质(İİİ )推广,即若 A1, A2 , A3,…，As 为同阶 可逆方阵,则 A1A2…As 可逆, 且
a
c
b d
1
ad
1
bc
d c
b a
.
上面的结果,可当公式使用.（两调一除）
例 1.35 求方阵
3 2 2
A
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=
5
4
1
1 1 0
的逆矩阵.
解法一 用初等行变换.(只用行变换)
3 2 2 1 0 0
1 1 0 0 0 1
A,
E
5
4
1
0
1
0
r1r3
5
4
1
0
1
0
1 1 0 0 0 1
找到矩阵 B ,使方程有类似形式的解 x = Bb 呢?这
问题的一般性讨论已超出本书范围,但读者不难看
出,如果对于方程的系数矩阵 A ,存在 n 阶方阵 B ,
使 BA E 的话，那么用 B 左乘上述方程 Ax b 的 两边，得 BAx Bb,因 BA E ，于是 Ex x Bb，
这样就引出了逆矩阵的概念。
A1A2…As 1 As1…A21A11.
二、逆矩阵的求法
如前所述，当 A 是可逆阵时，线性方程组 Ax = b 有解 x = A1b, 因此就需要计算 A 的逆矩阵 A1 .
事实上,在线性代数的许多应用问题中都需要求 逆矩阵. 求逆矩阵一般有两种方法. 第一种方法是用公式(1.18),即
A1 1 A* . A
所以 A 的逆阵是唯一的.将 A 的逆阵记作
A1 ,即有
A1A AA1 E.
对于定义 1.11,读者应注意:
(1)可逆矩阵一定是方阵,并且其逆阵为同阶 方阵;
（2）（1.17）式中,矩阵 A 与 B 的地位是对称的. 所以,由(1.17)式, B 也是可逆阵,并且 A 与 B 互为 可逆阵,即 B = A1 ,同时 A = B1 .
2 1 1
A
=
0
1
5 .
1 1 3
21 1 解 A = 0 1 5 6 5 110 0.
11 3
由定理 1.2,矩阵 A 不可逆. 求可逆矩阵的逆阵是一种运算,它满足下述运算
规律:
( İ )若 A 可逆,则 A1 亦可逆,且
A1
1
A;
( İİ )若 A 可逆, 0 则 A 也可逆,且
AB E 的两边,得 A1A B A1, 即 A1 B.
上述结论对一阶方阵也是成立的.事实上,对于一
阶方阵 a ,当 a 0 时, a 1 1 ,由定理 1.2 的推论,
a 可逆,且 a1 1 .
a
a
方阵是否可逆,还有其他的判别方法,这将在以后
章节中陆续介绍.
例 1.33 判别矩阵 A 是否可逆?
第二种方法是用矩阵的初等行变换,具体方法是,
设 A 是 n 阶方阵,把 En 写在 A 的右边，构成
n 2n 矩阵，记为 A, E 。当 A 可逆时， A, E 的行最简形为 E,B ，其中 n 阶方阵 B 即是 A 的
逆阵，即 B = A1, 于是有
A,E r E, A1 .
这方法在下面的例 1.35 中，我们用初等行变换的 方法先做一遍，其原理及计算将在第二章中详细 介绍.