微分中值定理及其应用详解

第三讲微分中值定理及其应用
基本信息
课时数 6课时
教学进度知识精讲课程—高等数学第三章
教学目标
1.掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打好坚实的理论基础.
2.熟练掌握洛比塔法则,会正确应用它求某些不定式的极限.
3.掌握泰勒公式,并能应用它解决一些有关的问题.
4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法,能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象.
5.会求函数的极值与最值.
6.弄清函数极值的概念,取得极值必要条件以及第一、第二充分条件；掌握求函数极值的一般方法和步骤；能灵活运用第一、第二充分条件判定函数的极值与最值；会利用函数的极值确定函数的最值.
7.掌握讨论函数的凹凸性和方法.
教学重点
中值定理和泰勒公式,利用导数研究函数单调性、极值与凸性,利用导数求极值的方法,利用导数研究函数的凸性.
教学难点
用辅助函数解决问题的方法,极值的判定,利用凸性证明相关命题.
教学过程
一、课程导入
上一讲我们介绍了导数、微分的概念及其简单的运算,这一讲来介绍一元微分学中另外一个重要的部分——微分中值定理及其应用.
有关中值定理的证明是历年出现频率较高的考点之一,而将中值定理与介值定理或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式.在这种题型中,有时候需要构造辅助函数,而构造辅助函数解决问题的方法一直以来都是大家复习的难点,因此在整个复习过程中,同学们应该注意总结.特别是一些比较好的方法和例子.由柯西中值定理推导得到的洛必达法,是求一些未定式极限的有力工具,大家要熟练掌握它的条件和结论.微分中值定理建立了导数值与函数值之间的联系,因此,我们就会想到去利用导数来讨论函数的单调性、极值点、凹凸性与拐点.微分学的另一个重要的应用就是求函数的最大值和最小值,我会给出同学们总结求函数最值的一般方法,希望同学掌握这些方法并会求简单的应用.下面我们先来学习中值定理的相关内容.
二、知识点详解
(一)微分中值定理
本部分考查目标级别：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打好坚实的理论基础;熟练掌握洛比塔法则,会正确应用它求某些不定式的极限;掌握泰勒公式,并能应用它解决一些有关的问题.
1.知识展开
(1)费马引理：若函数()f x 在0x 的某邻域0()U x 内0()x U x ∀∈,有
0()()f x f x ≤(0()()f x f x ≥)且()f x 在0x 可导⇒ 0()0f x '=.
注：若0x 是一个极值点且()f x 在0x 可导⇒ 0()0f x '=(驻点).
(2)罗尔中值定理 若()f x 满足条件： 1)在闭区间[,]a b 上连续； 2)在开区间(,)a b 内可导； 3)()()f a f b =,
则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使得0)(='ξf .
注：①几何意义
在每一点都可导的连续曲线,如果曲线两端点高度相同,则至少存在一水平切线.
②定理中的三个条件都是很重要的,缺了其中任何一个,结论就可能不成立.
例如：函数]1,0[,)(∈=x x x f 不满足条件⑶,显然无水平切线；
函数]1,1[,)(-∈=x x x f 不满足条件⑵,显然无水平切线； 函数⎩
⎨
⎧=<≤=1,010,)(x x x x f ；
不满足条件⑴,显然也无水平切线．
③考研中常利用来做中值等式的证明
导函数和高阶导函数零点的存在性的证明和个数的估计；一般的含有中值的等式证明.
(3)拉格朗日中值定理
若()f x 满足条件：1) 在闭区间[,]a b 上连续；2) 在开区间(,)a b 内可导,则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使得
)(')
()(ξf a
b a f b f =--,即
))((')()(a b f a f b f -=-ξ,或写成()()'[()]() (01)f b f a f a b a b a θθ-=+--<<.
注：1)函数是常数的充要条件：()()0f x C f x '=⇔=. 2)几何意义
可导曲线上存在一点,使其切线平行于端点的连线；Lagrang 定理中涉及的
公式：称之)(')
()(ξf a
b a f b f =--为“中值公式”.这个定理也称为微分基本定理.
中值公式有不同形式：
①()()()()f b f a f b a ξ'-=-,(),a b ξ∈； ②()()(())()f b f a f a b a b a θ'-=+--,01θ<<； ③()()()f a h f a f a h h θ'+-=+,01θ<<.
此处,中值公式对a<b,a>b 均成立.此时ξ在a,b 之间；②、③的好处在于无论a,b 如何变化,(0,1)θ∈易于控制.
3)利用罗尔定理证明拉格朗日中值定理
4)在考研中直接利用此定理主要是两方面 ① 证明含有中值的等式. ② 不等式的证明.
③ 利用拉格朗日中值定理研究函数的性态(有界性). 到此处为第1课时
(4)柯西中值定理
若()f x ,()g x 满足条件：
1)在闭区间[,]a b 上连续；2)在开区间(,)a b 内可导,且()0g x '≠
则在开区间
(,)a b 内至少存在一点ξ,使得
)
()
()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=
--. 注：1)几何意义
Cauchy 中值定理的几何意义：视为曲线的参数；()u f x =,()v g x =,[],x a b ∈,则以v 为横坐标,u 为纵坐标可得曲线上有一点,该处切线与曲线端点连线平行.
2)三个定理关系如下：()()()f a f b g x x
Rolle Lagrang Cauchy ==←−−−
−←−−−. 3)判断下列证明方法是否正确,不正确错误在哪里？
由于()f x 与()g x 都在 [,]a b 上满足拉格朗日中值定理,故(,)a b ξ∃∈使得
))((')()(a b f a f b f -=-ξ,()()'()()g b g a g b a ξ-=-,将两式相除则结论得证.
4)在考研中直接利用此定理主要是两方面
① 证明含有中值的等式. ② 不等式的证明. (5)洛必达法则 定理：设
1) 当x a →(或x →∞)时,()f x 及()F x 都趋于零；
2) 在点α的某去心领域内,()f x '及()F x '都存在且()0F x '≠；
3) ()lim ()x a f x F x →''存在(或为无穷大),那么 ()()
lim lim ()()x a x a f x f x F x F x →→'='.
注：①利用洛必达法则求极限是要注意条件的验证,特别是()
lim
()
x a
f x F x →''不存在且不为无穷大时得不到()
lim
()
x a
f x F x →不存在. ②将0x x →改为00,,,,x x x +-→+∞-∞∞时,上述结论都对. ③0
()lim
()x x f x g x →''是分子,分母分别求导时极限和0()
lim(
)()
x x f x g x →'不同,更不能认为是
()
(lim
)()
x x f x g x →'. ④ 未定型的分类及转化方法
7种未定型分为000,,,0,1,0,0∞∞
∞-∞⋅∞∞∞
,其中后5种在求解过程中一般要
最终转化为00型或∞
∞
型.
A) 化∞-∞型未定式为00型或∞
∞
型的方法是：
通分法；提因子法；变量代换法.
B) 化00,0,1∞∞型未定式为00型或∞
∞
型的方法是：“换底法”或“用e 抬起
法”,即
()
()
()
()
()()()()
ln ln ln lim lim lim explim .1g x g x f x g x f x
f x f x e
e g x ===
计算1∞型极限的最简单方法是使用第二个重要极限计算公式： 若()()lim 1,lim f x g x ==∞,则
()()()()()()()()()()()
1
1lim 11
lim lim[11]
f x
g x f x g x g x
f x f x f x e ⋅---=+-=.
到此处为第2课时
(6)泰勒公式
若()f x 在0x 及其附近有直到1n +阶的导数,则
()00000()()()()()()()!
n n n f x f x f x f x x x x x R x n '=+-+
+-+,
其中(1)10()
()()(1)!
n n n f R x x x n ξ++=
-+,ξ在x 与0x 之间,这是带有拉格朗日余项的泰勒公式.
注：1) 若00x =,上面的泰勒公式称为麦克劳林公式.
2)如果条件变弱,()f x 在0x 及其附近有直到n 阶的导数,这时我们可以得到带皮亚诺型余项的泰勒公式：
()000000()()()()()()(())!
n n n f x f x f x f x x x x x o x x n '=+-+
+-+-.
3) 常用的麦克劳林公式
10,!
(1)!k x
n
x
n k x e e x k n θ+==++∑(01)θ≤≤.
211
21
1sin sin (1)
(1),(21)!(21)!
k n
k n n k x x x x k n θ--+==-+--+∑(01)θ≤≤.
2122
cos cos (1)(1),(2)!(22)!k n
k
n n k x x x x k n θ++==-+-+∑ (01)θ≤≤.
111
1
(1)(1)ln(1),(1)(1)k n
n
k n n k x x x k n x θ-++=--+=+++∑ (01)θ≤≤. 111
(1)(1)
(1)()
(1)1(1),!
(1)!
n
k n n k k n x x x x k n α
αααααααθ--+=--+--+=++
++∑
(0,1)θ∈.
4) 泰勒公式的主要应用：建立函数与高阶导数的关系.
2.记忆方法
结合几何意义讲解几个定理. 3.例题讲解
【例3.1】设()f x 存在二阶导数,下述结论正确的是 ( ) （A ） 若()f x 只有两个零点,则()f x '必定只有一个零点 （B ） 若()f x ''至少有一个零点,则()f x 必至少有三个零点 （C ） 若()f x 没有零点,则()f x '至多有一个零点 （D ） 若()f x ''没有零点,则()f x 至多有两个零点
(1)选题依据：根据题型举例,辅助理解. (2)讲解过程：
1)【解析】函数零点的个数与函数高阶导数零点的个数无关.只有函数在两个点处的函数值相同,则一阶导数至少存在一个零点.故答案选(D)
2)备注：可结合函数的图像来解答此题.
【例 3.2】设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,()0,(01)f x x '><<,
(0)f
0=.证明：存在,(0,1)λμ∈使得1λμ+=,
()()
()()
f f f f λμλμ''= (1)选题依据：这个例子进一步的说明该题证明过程是利用中值定理的证明,
说明题型.
(2)讲解过程： 【解析】若证
()()
()()
f f f f λμλμ''=,只需证()()()()0f f f f λμλμ''-=,又因为1λμ+=.
所以只需证()(1)()(1)0f f f f λλλλ''---=. 显然这是()
'()(1)0x f x f x λ
=-=,
那么我们可以设辅助函数()()(1)F x f x f x =-,因为(1)(0)0F F ==用一次罗尔中值定理,结论可证！
到此处为第3课时
【例3.3】设()f x 在有限区间(,)a b 上可导,下列命题正确的是 ( ) (A)若()f x 在(,)a b 上有界,则()f x '在(,)a b 上有界. (B)若()f x '在(,)a b 上有界,则()f x 在(,)a b 上有界. (C)若()f x 在(,)a b 上有界,则()f x '在(,)a b 上无界. (D)若()f x '在(,)a b 上有界,则()f x 在(,)a b 上无界.
(1)选题依据：通过例题说明拉格朗日中值定理在研究函数与导函数之间有界性上非常方便.
(2)讲解过程：
【解析】函数有界其导数不一定有界,而导数有界函数一定有界.故答案选
()B
【例3.4】求2013sin cos
lim
(1cos )ln(1)
x x x x x x →+++. (1)选题依据：验证洛必达法则求极限的条件 (2)讲解过程： 1)【解析】
220000111
3sin cos
3sin cos cos
3sin 33lim
lim lim lim 0.(1cos )ln(1)22222
x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→++==+=+=++ 2)备注：试用洛比达法则一定要验证条件,此题不能用洛必达法则来求.
【例3.5】求极限2
110
lim
x x e
I x
-
→=
,2lim
x I →+∞
=30
lim x x I x +
→=, 4lim ,n
n n
I a →∞= (1)a >
(1)选题依据：辅助理解基本概念. (2)讲解过程：
【解析】2
222
12
11110000
311
lim lim lim lim 01x x x x x x x x
e x x x I x e e e x
-→→→→-=====-
, 2lim
lim
1x x I ===,
lim 0002
01ln lim
lim 11lim ln 30
lim 1x x x x x x
x x x
x
x
x
x I x e e
e
e
++-→→+
→+
→+
-
→======,
41lim
lim lim 0.ln n x x n x x n x I a a a a
→∞→+∞→+∞==== 【例3.6】21
lim(ln(1))x x x x
→∞-+.
(1)选题依据：利用倒代换和洛比达法则求解极限. (2)讲解过程： 1)【解析】()
20
001
1ln(1)
11lim
lim lim .2221x x x x x x x x
x x x →→→-
-++===+
2)备注：熟练使用倒代换.使用洛比达法则时,是分子分母同时求导,要和对
商求导法则分开.
【例3.7】若0,0a c >>均为常数,则3sin 0lim _________.2x
x x x a c →⎛⎫
+= ⎪
⎪⎝⎭
(1)选题依据：求解1∞型的未定式. (2)讲解过程：
1)【解析】
3
sin 000
3ln()
322lim exp(lim )exp(lim )2sin 2x
x x x x x x x x x a c a c a c x x →→→+⎛⎫++-==⋅ ⎪
⎪⎝⎭
3ln 3ln 2
3ln ln exp(lim )21a c
x x x a a c c
e
+→+=⋅=
2)备注：注意讲解求解方法.
【例3.8】求 20ln(1)
lim x x x x
→-+. (1)选题依据：泰勒展开式求解极限. (2)讲解过程：
【解析】()2
2ln(1)2
x x x o x +=-+
()2
22200ln(1)12lim lim .2x x x x x o x x x x x →→-++-+==
【例 3.9】设 ()f x 在x a =处n 阶可导,(1)()0,, ()0n f a f a -==() ()0,
n f a ≠则()~______()f x x a →.
(1)选题依据:泰勒公式的应用. (2)讲解过程：
【解析】将 ()f x 在x a =处泰勒展开至n 阶,因为
(1)()0,
, ()0n f a f a -==() ()0,n f a ≠,故()()()1()~
!
n
n f x f a x a n -. 【例 3.10】若函数()f x 具有三阶连续导数,且30sin 6()
lim 0x x xf x x
→+=,利用泰勒公式求极限2
06()
lim x f x x →+.
(1)选题依据：将具体函数用佩亚诺余项泰勒公式展开化简原极限. (2)讲解过程：
【解析】将sin 6x 在0x =处按佩亚诺余项泰勒公式展开至3x 项:
3
333(6)sin 66()636(),3!
x x x x x x x οο=-+=-+
于是
3333
sin 6()6()36()
x xf x x xf x x x x x ο++-+=
32
36()()
36,f x x x x
ο+=-+ 从而
32330006()sin 6()()lim lim 36lim 036036.x x x f x x xf x x x x x
ο→→→++=+-=+-= (到此为第4课时)
(二)微分学的应用
本部分考查目标级别为：使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法,能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象;会求函数的极值与最值;弄清函数极值的概念,取得极值必要条件以及第一、第二充分条件；掌握求函数极值的一般方法和步骤；能灵活运用第一、第二充分条件判定函数的极值与最值；会利用函数的极值确定函数的最值;掌握讨论函数的凹凸性和方法.
1.知识展开
(1)单调性的判断
定理：设函数()y f x =在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导.
1) 如果在(,)a b 内()0>'x f ,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加； 2) 如果在(,)a b 内()0f x '<,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少. 注1) 利用拉格朗日中值定理简证
证明：任取12,(,)x x a b ∈且12x x <,易验证()f x 在12[,]x x 上满足拉格朗日定理,应用此定理得12(,)x x ξ∃∈,使得2121()()()()f x f x f x x ξ'-=-,故当()0(0)f x '><时,我们有
21()()0(0)f x f x -><,即()()f x ↑↓.
2) 考查3y x =的单调性和导函数的性质,由此能得到什么结论？
任取12,(,)x x ∈-∞+∞,由332
22
1212112()()x x x x x x x x -=-++ 2212112()(())0x x x x x x =-+->,
知3y x =在(,)-∞+∞上是单增的,但3y x =在0x =的导数为0.这说明
()0(0)f x '>< 只是()()f x ↑↓的充分条件,而非必要条件.
3)结论推广：()()f x ↑↓,x I ∈⇔)()0(0)a f x '≥≤.
)(,)b I αβ∀⊂,在(,)αβ上总有()f x '不恒为零.
4) 考研中的重要应用,等式与不等式的证明. (2)函数极值及求法
1)极值的定义：设函数()x f 在点0x 的某邻域）0(x U 内有定义,如果对于去心邻域）0(x U
内的任一x ,有()()0x f x f <(或()()0f x f x >),那么就称()0x f 是函数
()x f 的一个极大值(或极小值).
2)取得极值的必要条件：0x 是极值点⇒函数()f x 在0x 不可导或者
0()0f x '=(驻点).
3)判定极值点的充分条件
第一充分条件：设函数()x f 在0x 处连续,且在0x 的某去心邻域0(,U x δ）内可导.
①若()00,x x x δ∈-时,()0>'x f ,而()00,x x x δ∈+时,()0<'x f ,则()x f 在0
x 处取得极大值；
②若()00,x x x δ∈-时,()0<'x f ,而()00,x x x δ∈+时,()0>'x f ,则()x f 在0
x 处取得极小值；
③若()0,x U x δ∈时,()f x '的符号保持不变,则()x f 在0x 处没有极值. 第二充分条件：若函数()f x 在0x 点有()00='x f ,()00≠''x f ,则函数在0x 处取得极值.
①当()00<''x f 时,()0x f 在0x 处取得极大值； ②当()00>''x f 时,()0x f 在0x 处取得极小值. (3)函数的最值
1)函数()f x 在闭区间[,]a b 上确定最值的求解过程
①求出[,]a b 内可能的极值点(驻点和不可导点),按顺序排列如下：
12n a x x x b <<<
<<；
②求出上述2n +个点的函数值,1(),(),
,(),()n f a f x f x f b ；
③挑最值1max{(),(),()}i i n
M f a f x f b ≤≤=,1min{(),(),()}i i n
m f a f x f b ≤≤=. 2)常见的实际问题最值求解过程 ①建立实际问题的函数表达式()f x ； ②求()f x 的驻点,往往是唯一的；
③根据实际情况判断驻点是极大点还是极小点⇒最大值、最小值. 到此为第5课时
(4)曲线的凹凸性
1)定义：间I 上的连续函数()x f 是凸(凹)⇔对任意不同的两点21,x x ,恒有
()()[]()()[]⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛++>⎪⎭⎫ ⎝⎛+2121212121221
2x f x f x x f x f x f x x f . 2)凹凸性的判定
凹凸性判断的充分条件：设函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数()x f '', 如果在()b a ,内的每一点x ,恒有()0>''x f ,则曲线()x f y =在()b a ,内是凹的；
如果在()b a ,内的每一点x ,恒有()0<''x f ,则曲线()x f y =在()b a ,内是凸的.
3)拐点的判定
①拐点的定义：设()y f x =在区间I 上连续,0x 是I 的内点,如果曲线
()y f x =在经过点00(,())x f x 时,曲线的凹凸性改变了,那么就称点00(,())x f x 为该曲线的拐点.
②拐点存在的必要条件：点))(,(0o x f x 是曲线)(x f y =的拐点的必要条件是
0)("0=x f 或)("0x f 不存在.
③拐点存在的第一充分条件：设函数()f x 在点0x 的某邻域内连续且二阶可导(0'()f x 或0''()f x 可以不存在),在0x 的左右两边)("x f 的符号相反,则点
))(,(0o x f x 是曲线)(x f y =的拐点.
④拐点存在的第二充分条件：设函数()f x 在点0x 的某邻域内三阶可导,0)("0=x f ,而0'''()0f x ≠,则点00(,())x f x 是曲线)(x f y =的拐点.
注：确定曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点的程序： 1)确定函数()f x 的连续区间；
2)计算二阶导数,求出0)("=x f 的根及)("x f 不存在的连续点；
3)用上述各点由小到大将定义域分成若干子区间,讨论每个子区间二阶导数
的符号,以确定曲线的凹向并求出拐点.
(5)渐近线
1)渐近线的概念
当曲线上的动点沿着曲线无限远离原点时,若动点与某一定直线的距离趋于零,则称该直线为曲线的渐近线.
2)曲线)(x f y =渐近线的分类与求法
①水平渐近线：若b x f b x f x x ==+∞
→-∞
→)(lim )(lim 或,其中b 为常数,则称b y =为
)(x f y =的水平渐近线.
②铅垂渐近线：)(lim )(lim x f x f c
x c
x +-→→与中至少有一个是无穷大,则称c x =为
)(x f y =的铅垂渐近线.
③斜渐近线：()
lim
x f x k x
→-∞
=存在且不为零,又lim[()]x f x kx b →-∞-=也存在(或
()
lim
x f x k x
→+∞
=存在且不为零,又lim[()]x f x kx b →+∞-=也存在),则称直线y kx b =+为
()y f x =的斜渐近线.
(6)曲率(数一、数二)
1)弧微分
设()y f x =是平面内的光滑曲线,则弧微分.12dx y dS '+= 若曲线方程为⎩⎨
⎧==).
(),
(t y y t x x ,则弧微分为dt t y t x dS 22)]([)](['+'=.
2)曲率
①设M 和N 是曲线上不同的两点,弧MN 的长为S ∆,当M 点沿曲线到达N 点时,M 点处的切线所转过的角为α∆,则称极限0
lim s K S
α
∆→∆=∆为该曲线在点M 处的曲率.
②曲率计算公式
若曲线方程为()y f x =,则23/2
||
(1)
y K y ''=
'+. 若曲线由参数方程⎩⎨⎧==)()
(t y y t x x 给出,则223/2
||()t t t t t t
x y y x K x y ''''''-=''+. ③曲率半径：K
R 1=
. ④曲率圆：在M 点的法线上,凹向这一边取一点D ,使R MD =,则称D 为曲
率中心,以D 为圆心,R 为半径的圆周称为曲率圆.
到此处为第6课时
2.记忆方法
结合几何意义研究函数的性态. 3.例题讲解
【例3.11】()f x 二阶可导,()0f π=,()0f π''>/,x π=是()f x 的极值点,
()()cos g x f x x =,则 ( )
().A x π=是()g x 的极大值点 ().B x π=是()g x 的极小值点
().C x π=不是()g x 的极大值点
().D 不能确定x π=是否为()g x 的极大值点
(1)选题依据：利用导数研究函数的极值. (2)讲解过程：
1)【解析】由取得极值的必要条件()0f π'=,
()()()cos sin g x f x x f x x ''=-,
()0g π'=,()()()()cos 2sin cos g x f x x f x x f x x '''''=--,()()0g f ππ''''=-<,由取得极值的第二充分条件,()g x 在x π=处取得极大值,所以选A. 2)备注：注意结合第一、第二充分条件讲解.
【例3.12】曲线1
ln(1)(1)
x y e x x =
++-的渐近线的条数为( )
()A 1. ()B 2. ()C 3. ()D 4.
(1)选题依据：辅助理解基本概念. (2)讲解过程：
【解析】001lim lim ln(1),(1)x x x y e x x →→⎛⎫
=++=∞ ⎪-⎝⎭所以0x =是一条铅直渐近线；
111lim lim ln(1),(1)x x x y e x x →→⎛⎫
=++=∞ ⎪-⎝⎭所以1x =是一条铅直渐近线； 1lim lim ln(1)0,(1)x x x y e x x →-∞→-∞⎛⎫=++= ⎪-⎝⎭
所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平
渐近线；
又 21ln(1)ln(1)1lim lim lim lim 1,(1)1x
x x x x x x x e y e e e x x x x x →+∞→+∞→+∞
→+∞⎛⎫+++=+== ⎪-⎝⎭
洛 ()()1lim lim ln(1)lim ln(1)(1)x x x x x y x e x e x x x →+∞→+∞→+∞
⎛⎫-=++-=+- ⎪-⎝⎭ 1lim ln()lim ln(1)0,x
x x x x e e e
-→+∞→+∞+=+== 所以y x =也是一条渐近线,所以共有4条,故选(D).
【例 3.13】若()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为
222x y +=,则()f x 在区间()1,2内 ( )
()A 有极值点,无零点. ()B 无极值点,有零点.
()C 有极值点,有零点. ()D 无极值点,无零点.
(1)选题依据：曲线和曲率圆有相同的切线,曲率圆能反映曲线的凹凸性.
(2)讲解过程：
【解析】由题意可知,()f x 是一个凸函数,即''()0f x <,且在点
(1,1)
处的曲率322
|''|(1('))
y y ρ=
=
+而'(1)1f =-,由此可得,''(1)2f =- 在[1,2] 上,'()'(1)10f x f ≤=-<,即()f x 单调减少,没有极值点. 对于(2)(1)'()1(1,2)f f f ζζ-=<- , ∈ , (拉格朗日中值定理)
(2)0f ∴ <而 (1)10f =>.
由零点定理知,在[1,2] 上,()f x 有零点. 故应选()B . 三、典型例题
【例3.14】设函数)(x f 在],[b a 上连续,,0)()(==b f a f 且)(x f 在),(b a 内可导,试证：对任意的实数α,存在一点),,(b a ∈ξ使得
.)
()
('αξξ=f f (1)选题依据：运用罗尔定理证明等式. (2)讲解过程：
1)分析：先把结论变型,即有()()f f ξαξ'=,这是某个函数的导数在),(b a ∈ξ处的值为0的形式,由此确定辅助函数. 2)书写：
证明：对任意的实数α,设()()x F x e f x α-=,则函数()F x 在],[b a 上连续,()()0,F a F b ==且()F x 在),(b a 内可导.由罗尔中值定理,存在一点),,(b a ∈ξ使得()0F ξ'=,即
()()()0F e f e f αξαξξαξξ--''=-+=所以 ()()f f ξαξ'=
又因为(,)x a b ∈时,()0f x ≠,所以()0f ξ≠所以 .)
()
('αξξ=f f 3)备注:注意引导学生找到解题思路. 到此为第7课时
【例3.15】设.0b a << 试证至少存在一点),,(b a ∈ξ使得
./)ln 1)((ln ln 222ξξ--=-ba ab a b b a
(1)选题依据：运用拉格朗日定理证明等式. (2)讲解过程：
1)分析：先整理结论为2
ln ln 1ln b a
b a b a ξξ-
-=-,由此推出辅助函数的形式为ln ()x
f x x
=
,再验证条件满足拉格朗日中值定理. 2)书写：
证明：设ln ()x f x x =,2
1ln ()x
f x x
-'=, 因为0a b <<,所以()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,由拉格朗日中值定理,至
少存在一点),,(b a ∈ξ使得2
ln ln 1ln b a
b a b a ξξ-
-=-, 即 ./)ln 1)((ln ln 222ξξ--=-ba ab a b b a
【例3.16】设常数4
b
b a >>
,证明当0x ≥时, ()()3
2
2
2360f x x a b x abx ab =-+++>
(1)选题依据：导数研究函数的形态 . (2)讲解过程：
1)分析：证明不等式,一般可以用单调性来证明.. 2)书写：
证明：由4b
b a >>知,0b a >>,
()()2666f x x a b x ab '=-++,令()0f x '=,得,x a x b ==. 当[]0,x a ∈时,()0f x '>,所以函数单调递增,因此()()00f x f >>, 当[],x a b ∈时,()0f x '<,所以函数单调递减,因此()()0f x f b >>, 当x b >时,()0f x '>,所以函数单调递增,因此()()0f x f b >>. 综上,函数()()3222360f x x a b x abx ab =-+++>.
【例3.17】设常数0k >,求函数()ln x
f x x k e
=-+在(0,)+∞内零点个数.
(1)选题依据：利用导数、单调性、极值或中值定理可以证明方程根的个数或函数的零点个数.
(2)讲解过程：
1)分析：判定函数()f x 零点的个数等价于判定函数()y f x =与x 的交点个数.
2)书写：对函数()ln x f x x k e =-+两边对x 求导,得 11
()f x x e '=-.
令()0f x '=,解得唯一驻点x e =,
即 ()0,0;(),()0,;(),
f x x e f x f x e x f x '><< ⎧⎨'<<<+∞⎩严格单调增加
严格单调减少
所以x e =是极大值点,也是最大值点,最大值为()ln 0e
f e e k k e
=-+=>.
又因为 00lim ()lim (ln )lim ()lim (ln )x x x x x f x x k e
x f x x k e ++→→→+∞
→+∞⎧
=-+=-∞⎪⎪⎨⎪=-+=-∞
⎪⎩,
由连续函数的介值定理知在(0,)e 与(,)e +∞各有且仅有一个零点(不相同).
故函数()ln x
f x x k e
=-+在(0,)+∞内零点个数为2.
【例3.18】已知()0f x x =在的某个邻域内连续,且()00,f =()
0lim
21cos x f x x
→=-,
则在点0x =处()f x ( )
()A 不可导. ()B 可导,且()00.f '≠
()C 取得极大值.
()D 取得极小值.
(1)选题依据：根据极限的保号性及极值的定义直接判断极值点 (2)讲解过程：
1)分析：由选项知,此题在考察函数在0点出的可导性及是否取得极值. 2)书写：()
0lim
201cos x f x x
→=>-,由极限的保号性,在0x =的某个邻域内,有
()
01cos f x x
>-
即()0(0)f x f >=,所以在点0x =处取得极小值.故选()D
【例 3.19】设()f x 在(,)-∞+∞连续,除0x =外()f x 二阶可导.其()y f x ''=的图形如图,则()y f x = ( )
(A) 有两个极大值点,一个极小值点,一个拐点. (B) 有两个极大值点,一个极小值点,两个拐点. (C) 有一个极大值点,一个极小值点,一个拐点. (D) 有一个极大值点,一个极小值点,两个拐点.
(1)选题依据：根据导数的图像来判定函数的性质. (2)讲解过程：
【解析】由图像及函数导数及函数的关系求得,
【例 3.20】证明：若函数()f x 在0x =处连续,在()()00δδ->，内可导,且
()0lim x f x A -
→'=,则()0f -'存在,且()0f A -'=.
(1)选题依据：利用中值定理. (2)讲解过程：
【解析】任取0(0)x δ∈-，
,则函数()f x 满足； 在闭区间[]00x ，上连续,开区间()00x ，内可导,从而有拉格朗日中值定理可得：
存在()()0
000x x ξδ∈⊂-，，,使得()0
'00()(0)
x f x f f x ξ-=
-……()*
又由于()'
lim x f x A -
→=,对上式(*式)两边取00x -→时的极限可得： x
()()
000000'''0
000()00lim lim ()lim ()0
x x x x x f x f f f f A x ξξξ-
---→→→-====- 故'(0)f -存在,且'(0)f A -=
四、教学反馈
教学过程中的教学反馈可以通过以下3种情况进行：
在教学过程中授课老师要注意观察学生听课情况,如观察课堂气氛、学生表情、分析学生做练习题情况.遇到课堂气氛嘈杂,学生表情厌烦、学生坐不住或练习结果达不到教学目标时要及时调节授课内容和授课进度或授课方式,以便课程顺利继续进行.
在教学后可通过与学生沟通以直接提问方式、问卷调查方式了解学生听课效果及进一步需求,授课老师根据学生反馈及时调整后面的授课内容、授课进度和授课方法,以达到教学紧密结合的效果.
在某一阶段性课程结束后,建议授课老师对听课学员进行阶段性小测,教师可根
据阶段性测试成绩进一步总结学生在学习中对知识的掌握情况及学生在学习过程存在的问题,授课教师针对学生情况可调整下一阶段授课内容. 五、课程小结
本讲内容是微积分学的重要内容,同学们要理解中值定理的内容、证明过程及几何意义；要熟练掌握洛必达法则和泰勒公式；掌握函数导数研究函数性态的方法,会求函数的单调区间、凹凸区间、极最值及拐点.考数一和数二的同学还要会求函数的曲率等有关问题. 到此处为第8课时。