江苏省如皋市2020届高三上学期教学质量调研考试数学试题Word版含解析
江苏省如皋市2020届高三上学期教学质量调研考试
数学试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡
．．．
相应的位置上
．．．．．．．）
1.cos960°的值为_______．
【答案】；
【解析】
【分析】
首先将角化为，之后应用诱导公式化简求值即可得结果.
【详解】，
故答案是.
【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题涉及到的知识点有诱导公式，以及特殊角的三角函数值，属于简单题目.
2.函数的定义域是_______．
【答案】；
【解析】
试题分析：因为，所以定义域为
考点：函数定义域
3.已知直线l1：和l2：平行，则实数a的值为_______．
【答案】；
【解析】
【分析】
首先利用两直线平行时方程中系数所满足的条件，列出对应的等式和不等式，最后求得结果.
【详解】当两直线平行时，有，解得，
故答案是.
【点睛】该题考查的是有关直线平行时，方程的系数所满足的条件，需要注意的是需要将重合的情况排除，属于简单题目.
4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点在直线上，则p的值为_______．
【答案】2；
【解析】
【分析】
首先根据抛物线的方程，判断出其焦点所在轴，求得直线与轴的交点坐标，从而得到焦点坐标，进一步求得p的值.
【详解】直线与轴的交点坐标为，
所以抛物线的焦点坐标为，即，
所以，故答案为2.
【点睛】该题考查的是有关抛物线的焦点的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有抛物线的焦点所在轴，直线与坐标轴的交点，抛物线的焦点坐标，熟练掌握基础直线是解题的关键.
5.若实数x，y满足，则xy的最大值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
首先将椭圆的方程化为标准方程，之后应用其参数方程，将用来表示，之后借助于三角函数的最值求得结果.
【详解】由得，
设，
所以，所以其最大值为，
故答案是.
【点睛】该题考查的是有关椭圆上的点的坐标运算式的最值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有椭圆的参数方程，正弦的倍角公式，三角函数的最值，正确理解题意是解题的关键.
6.设曲线的图象在点(1，)处的切线斜率为2，则实数a的值为_______．
【答案】3
【解析】
【分析】
首先对函数求导，根据函数图象在某个点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，从而将相应的量代入，
求得结果.
【详解】函数，可得，
所以切线的斜率为，解得，
故答案是3.
【点睛】该题考查的是有关函数图象在某个点处的切线的斜率问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，根据题意，得到参数所满足的等量关系，求得结果，属于简单题目.
7.已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为_______．
【答案】；
【解析】
【分析】
首先画出约束条件对应的可行域，画出直线，上下移动，得出其过点A时取得最大值，联立方程组，求得A点的坐标，代入求得最大值，得到结果.
【详解】约束条件对应的可行域如图所示：
三角形区域即为所求，
画出直线，从图中可以看出，当直线过点A时，目标函数取得最大值，
解方程组，得，此时，
故答案是.
【点睛】该题考查的是有关简单的线性规划问题，在解题的过程中，正确画出其可行域是解题的关键，注
意分析目标函数的形式，分三种，线性的即为截距型，分式型即为截距型，平方和型为距离型，正确判断在哪个点处取得最值是关键.
8.设向量，，均为单位向量，且，则向量，的夹角等于_______．
【答案】；
【解析】
【分析】
首先将变形得，结合三个向量都是单位向量，利用向量数量积的运算性质，两边平方，得到，求得，之后应用向量夹角余弦公式求得结果.
【详解】根据向量，，均为单位向量，且，
所以，两边平方得，
所以，
所以，
又因为向量夹角的取值范围为，所以向量，的夹角为.
【点睛】该题考查的是有关向量夹角的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量数量积的运算性质，向量夹角余弦公式，正确应用公式是解题的关键.
9.已知圆被直线所截得弦长为，则实数m的值为 ____．
【答案】1或7；
【解析】
【分析】
首先根据圆中的特殊三角形，应用勾股定理，求得弦心距，即圆心到直线的距离，之后应用点到直线的距离公式求得结果.
【详解】因为圆的圆心是，半径为3，
根据弦长为，所以圆心到直线的距离为，
所以，解得或，
所以答案是1或7.
【点睛】该题考查的是有关圆中的特殊三角形的问题，即弦心距、半弦长和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理，求得弦心距，之后应用点到直线的距离公式建立相应的等量关系式，求得结果.
10.已知，，，，则的值为_______．
【答案】
【解析】
试题分析：，
考点：同角间三角函数关系及两角和差的正切公式
11.已知奇函数的图象关于直线x＝1对称，当，时，，则函数在[﹣3，9]上的零点个数是_______．
【答案】5；
【解析】
【分析】
首先作出所给的区间上的函数的图象，之后根据函数的轴对称性以及奇函数的中心对称性，从而求得函数
是周期函数，画出所研究的区间上的图象，之后在同一坐标系中画出直线，根据交点的个数即为零点的个数，从而求得结果.
【详解】首先作出函数的图象，
之后根据函数图象关于直线对称，以及奇函数关于原点对称，
从而得到函数是以4为周期的周期函数，作出其在[﹣3，9]上的图象，
之后在同一坐标系中，作出直线，
可以发现其一共有5个交点，从而得到函数在相应区间上有5个零点，
故答案是5.
【点睛】该题考查的是有关函数零点的个数问题，涉及到的知识点有对数型函数的图象的画法，函数图象的对称性，函数零点个数，数形结合思想的应用，认真审题是解题的关键.
12.若函数，则不等式的解集为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
首先令分段函数每一段上的函数值小于，之后结合分段函数的定义域以及函数值的大小，求解相应的不等式，得到结果.
【详解】令，解得或，
因为，所以，
因为，所以不用考虑，
再令，解得，
又因为，所以不可能大于，
所以不等式的解集为.
【点睛】该题考查的是有关多层函数不等式的问题，涉及到的知识点有分段函数的值域，指数不等式，二次函数的值域等，正确转化式子是解题的关键.
13.设a＞0，b＞0，a≤2b≤2a＋b，则的取值范围为_______．
【答案】；
【解析】
【分析】
首先根据不等式的性质，得到，之后将所求的式子化为关于的关系式，之后借助于对勾函数以及不等式的性质，求得目标式的取值范围.
【详解】根据a＞0，b＞0，由求得，
，
令，则，
所以，故答案是.
【点睛】该题考查的是有关代数式的取值范围的问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对勾函数的性质，在求解的过程中，注意对式子的正确转化.
14.在△ABC中，D为AB的中点，若，则的最小值是_______．
【答案】．
【解析】
【分析】
首先利用向量的运算法则，将题中所给的条件进行转化，得到，进一步根据向量数量积的运算式以及正弦定理，得到，之后应用诱导公式以及和角公式将式子化为关于的关系式，之后应用导数研究函数的最值，即可求得结果.
【详解】根据D为AB的中点，若，得到，
化简整理得，即，
根据正弦定理可得，进一步求得，
所以
，
求导可得当时，式子取得最大值，代入求得其结果为
，
故答案为.
【点睛】该题考查的是有关三角函数值的最值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量的加减运算，向量的数量积的定义式，正弦定理，正切函数的和角公式以及诱导公式，最后应用导数研究函数的最大值，正确应用公式是解题的关键.
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域
．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且，＝．
（1）求角B；
（2）若△ABC的面积为，求b，c．
【答案】（1）（2），
【解析】
【分析】
（1）首先根据正弦定理得到，利用题的条件，进一步求得，利用余弦定理，求得
，结合三角形内角的取值范围，求得其大小；
（2）利用三角形面积公式，结合三角形边的关系，最后求得其边长.
【详解】（1）在中，，由已知．得，
又因为，所以．
所以，
因为，所以．
（2），由
又因为，，所以，．
【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有应用正弦定理，余弦定理解三角形的问题，三角形的面积公式，正确理解题的条件是解题的关键.
16.已知△ABC是边长为2的等边三角形，△CBD是以B为直角顶点的等腰三角形，且点A，D分布在直线BC 两侧，点E为BC的中点．
（1）若，求的值；
（2）若点P为等腰直角△CBD内一动点（不包含边界），求的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）首先根据题意建立适当的平面直角坐标系，根据题中所给的边长的有关条件，得出相应点的坐标，之后应用向量的加法运算法则以及模的坐标公式求得结果.
（2）设出点的坐标，将向量的数量积转化为相应的关系式，根据其范围，得到结果.
【详解】如图，由已知是边长为2的等边三角形，是以B为直角顶点的等腰三角形，则以B 为原点，BC，BD所在直线分别作为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，．
（1）由，得，
所以，所以．
（2）设，则，
则．
【点睛】该题考查的是有关向量的模以及数量积的范围，在解题的过程中，注意向量的运算公式，模的求
解公式，以及数量积的坐标运算式，正确理解题意是解题的关键，注意将向量坐标化的思想.
17.如图，养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线CA、CB围成一个三角形养殖区ACB．为了便于管理，在线段AB之间有一观察站点M，M到直线BC，CA的距离分别为8百米、1百米．
（1）若围成△ABC面积为16万平方米，求观察点M到A、B距离之和；
（2）当观察点M到A、B距离之和最小时，求围成△ABC的面积．
【答案】（1）（2）25
【解析】
【分析】
（1）首先根据题意，建立合适的平面直角坐标系，设出直线的方程，根据题中所给的三角形的面积，求得
，从而得到对应的点的坐标，利用两点间的距离公式求得结果；
（2）将AB表示成关于k的函数，利用导数求其最值，从而得到最后的结果.
【详解】以C为原点，CA，CB所在直线分别作为x，y轴，建立平面直角坐标系，则．
设直线，即，则，，
所以，所以，
（1），也即，解得，
此时，，．
（2），
则
则，
所以当时，AB最短，此时的面积为25．
【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，在解题的过程中，注意其解题的过程是先建立适当的坐标系，之后设出直线的方程，得到对应的点的坐标，利用面积公式得到其等量关系式，再者就是应用导数研究其最值，得到结果.
18.已知椭圆T的焦点分别为F1(﹣1，0)、F2(1，0)，且经过点P(，)．
（1）求椭圆T的标准方程；
（2）设椭圆T的左右顶点分别为A、B，过左焦点的直线与椭圆交于点C、D，△ABD和△ABC的面积分别为S1、S2，求的最大值；
（3）设点M在椭圆T外，直线ME、MF与椭圆T分别相切于点E、F，若ME⊥MF，求证：点M在定圆上．
【答案】（1）（2）点M在定圆上
【解析】
【分析】
（1）根据题意，先设出椭圆的方程，根据题中所给的条件，建立所满足的等量关系式，求解方程组得结果；
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，将三角形的面积用坐标表示，之后应用基本不等式求得最值；（3）分情况讨论，联立方程组，结合圆的相关性质，证得结果.
【详解】（1）设所求的方程为，
其中，且，解得，，
椭圆T的标准方程为．
（2）点A、B的坐标分别为、，设点C、D的坐标为、，
因为要构成三角形，又直线CD过焦点，则C、D分别在x轴两侧，
所以，不妨设，，则，
直线CD过焦点，且斜率不为0，设直线CD方程为，
与椭圆方程联立消元得，、是该方程的两个异号实根，
，
当时，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
综上，的最大值为．
（3）当直线ME、MF斜率分别不存在和为0时，ME、MF分别垂直于坐标轴，点M坐标为或或
或，则（定值），其中O是坐标原点，点M在定圆上．
当直线ME、MF斜率存在且不为0时，设点M坐标为，
设直线ME、MF的方程分别为、，
可以统一为的形式，并与椭圆方程联立消元得：
，
直线ME、MF与椭圆相切，则
直线ME、MF与椭圆相切，则
展开化简得：（且），
、可以看作是这个方程的两根，
由得，即，
并且此时方程中的判别式恒成立，
点M也在定圆上，
综上，点M在定圆上．
【点睛】该题考查的是有关直线与圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合问题，椭圆中的三角形的面积的问题，以及点在圆上的证明方法，思路清晰是正确解题的关键.
19.已知函数、．
（1）当c＝b时，解关于x的不等式＞1；
（2）若的值域为[1，)，关于x的不等式的解集为(m，m＋4)，求实数a的值；
（3）若对，，，恒成立，函数，且的最大值为1，求的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）当时，不等式可化为，因式分解可得，之后根据根的大小，得到不等式的解集；
（2）根据函数的值域，得到函数的最值，从而求得，再根据关于的不等式的解集为，得到的两根之差为4，得到方程组
，求得结果；
（3）将恒成立问题转化为最值处理即可求得结果.
【详解】（1）当时，由得，即，
当，即时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
（2）由的值域为，得，
又关于的不等式的解集为，所以，是方程的两个根，即的两根之差为4．
所以，则，解得．
（3）时，，则时，恒成立．
又，因为的最大值为1，在上的最大值为1，由
图像开口向上，所以，即，则，且；
此时由时，恒成立，即恒成立，则，得，所以，要满足时，恒成立，则，解得，，所以．
此时．
【点睛】该题考查的是有关二次函数的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，二次函数的最值，恒成立问题的转化方向，分类讨论思想的应用，认真审题是解题的关键.
20.设a为实数，函数，其中e为自然对数的底数．
（1）当a＝e时，求的单调区间；
（2）若在和处取得极值，且，求实数a的取值范围．
【答案】（1）的增区间为，没有减区间．
（2）
【解析】
【分析】
（1）将代入函数解析式，之后对求导，再求二阶导，通过研究其性质，得到恒成立，从而求得函数的单调区间；
（2）根据题意，可知，是的两根，即，结合其大小关系，以及题中所给的条件，得到，之后构造新函数，求导研究函数的性质，得到结果.
【详解】（1）当时，，，
令，则，
所以，即恒成立，所以的增区间为，没有减区间．
（2），由在和处取得极值，可知，是的两根，即，又，即且．
设，则，
由得，又，得，则，即，即，所以．由，且在上单调递减，得．
综上，实数的取值范围是．
【点睛】该题考查的是有关利用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，构造新函数研究函数的性质，保持思路清晰，是解题的关键.