向量空间向量的内积及正交性

R 的一个非空子集，若满足：,,V V αβαβ∈+∈．（V 对加法封闭）V α∈和任意,k R k V α∈∈．（V 向量空间． 维向量空间．
}0|),3213=++x x x x 是3R 空间．、向量空间的基与维数
是一向量空间，它的一个最大无关组，称为它的一个12,r ααα；其中向量个数向量空间．
[注] 零子空间的维数是12,,n e e e 是n
R 的自然基．3、坐标及坐标变换定义3 对于向量空间12
,n ααα，任一向量1n n
x ααα+),,2n x x 为α在基12
,n ααα下的坐
,)n x 是αT ,)1,0,1(=α在此基下的坐标．
是m 维向量空间，12,,
,m ααα与12,,
,m βββ是V 的两组基，且：)()1
2312
3C β
ββααα=，其中⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=mm m m c c c c C 1111是从基12,,
,m
ααα到基12,,,m βββ的过渡矩阵，上式()*称基12,,
,m ααα到基12,,
,m βββ的变换公式．
定理 V 是m 维向量空间， 从基12,,,m ααα到基12,,,m βββ的过渡矩阵，V α∈，α关于旧标为()m x x 1，关于新基的坐标为
)m y ，则()()11
1
2T
T
m y y C x x -=，称为从旧基到新基的坐标变换公式．
4、3F 的一个基：123(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)T T T βββ===，求自然基123,,e e e 到123,,βββ的过渡矩阵，且求(2,1,3)T
α=-在基123,,βββ下的坐标．二、欧氏空间
引入：在三维空间中，设},,{z y x a a a a =，},,{z y x b b b b =，则： z x x b a b a b a b a +>==⋅|||（数量积）。