第十讲 概率与统计

第十讲 概率与统计
知识归纳：
1．随机事件的概率
(1)随机事件的概率范围：0≤P (A )≤1；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0. (2)古典概型的概率
P (A )＝m n ＝A 中所含的基本事件数基本事件总数.
(3)几何概型的概率
P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).
2．条件概率
在A 发生的条件下B 发生的概率： P (B |A )＝
P (AB )
P (A )
. 3．相互独立事件同时发生的概率 P (AB )＝P (A )P (B )． 4．独立重复试验
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为
P n (k )＝C k n p k (1－p )
n －
k ，k ＝0,1,2，…，n . 5．超几何分布
在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －
k
N －M
C n N
，k
＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.此时称随机变量X 服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M ，N ，n . 6．离散型随机变量的分布列
(1)设离散型随机变量X 可能取的值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i 的概率为P (X ＝x i )＝p i ，则称下表：
X x 1 x 2 x 3 … x i … x n P
p 1
p 2
p 3
…
p i
…
p n
为离散型随机变量X 的分布列．
(2)离散型随机变量X 的分布列具有两个性质：①p i ≥0，②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝1(i ＝
1,2,3，…，n )．
(3)E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为X 的均值或数学期望(简称期望)．
D (X )＝(x 1－
E (X ))2·p 1＋(x 2－E (X ))2·p 2＋…＋(x i －E (X ))2·p i ＋…＋(x n －E (X ))2·p n 叫做随机变量X 的方差． (4)性质
①E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )； ②X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )； ③X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． 热点一 古典概型与几何概型
例1 (1)在1,2,3,4共4个数字中，任取两个数字(允许重复)，其中一个数字是另一个数字的2倍的概率是________．
(2)(2013·四川)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ) A.14 B.12 C.34 D.78
(1)(2014·广东)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．
(2)在区间[－3,3]上随机取一个数x ，使得函数f (x )＝1－x ＋x ＋3－1有意义的概率为________．
热点二 相互独立事件和独立重复试验
例2 甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6、0.5、0.4，能通过面试的概率分别是0.6、0.6、0.75. (1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率； (2)求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率．
甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随
意．最终，商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上则甲得一分乙得零分，若反面朝上则乙得一分甲得零分，先得4分者获胜，三人均执行胜者的提议，记所需抛币次数为ξ. (1)求ξ＝6的概率； (2)求ξ的分布列和期望．
热点三 随机变量的分布列
例3 (2013·辽宁)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是4
5，且各题答对
与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．
(1)(2013·湖北)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切
割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的数学期望E (X )等于( ) A.126
125 B.65 C.168125
D.75
(2)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为2
3，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面
试是相互独立的，记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝1
12，则随机变量X 的
数学期望E (X )＝________.
真题感悟
1．(2014·陕西)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) A.15 B.25 C.35 D.45
2．(2014·浙江)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3，n ≥3)，从乙盒中随机抽取i (i ＝1,2)个球放入甲盒中．
(1)放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi (i ＝1,2)；
(2)放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i ＝1,2)． 则( )
A ．p 1>p 2，E (ξ1)<E (ξ2)
B ．p 1<p 2，E (ξ1)>E (ξ2)
C ．p 1>p 2，E (ξ1)>E (ξ2)
D ．p 1<p 2，
E (ξ1)<E (ξ2)
押题精练
1．有编号分别为1,2,3,4,5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为( ) A.521 B.27 C.13 D.821
2．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖(每人一次)，则恰好有3人获奖的概率是( ) A.16625 B.96625 C.624625
D.4
625
3．甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为1
2.据以往资料统计，第一
场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元． (1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率； (2)设总决赛中获得的门票总收入为X ，求X 的均值E (X )．
1．随机抽样
知识归纳：
1．随机抽样
(1)简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：总体中的个体较少．
(2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：总体中的个体数较多．
(3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：总体由差异明显的几部分组成．
2．常用的统计图表 (1)频率分布直方图 ①小长方形的面积＝组距×
频率
组距
＝频率； ②各小长方形的面积之和等于1；
③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形的高的和为1
组距.
(2)茎叶图
在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好． 3．用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数
数字特征 样本数据 频率分布直方图
众数
出现次数最多的数据
取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数
将数据按大小依次排列，处在最中间位
置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)
把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x 轴交点的横坐标 平均数
样本数据的算术平均数
每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和
(2)方差：s 2＝1
n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．
标准差： s ＝ 1
n
[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2].
热点一抽样方法
例1(1)(2013·陕西)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为() A．11 B．12 C．13 D．14
(2)(2014·石家庄高三调研)某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________．
(1)某校高一、高二、高三分别有学生人数为495,493,482，现采用系统抽样方法，抽取49人做问卷调查，将高一、高二、高三学生依次随机按1,2,3，…，1 470编号，若第1组有简单随机抽样方法抽取的号码为23，则高二应抽取的学生人数为()
A．15 B．16 C．17 D．18
(2)(2014·广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()
A．200,20 B．100,20 C．200,10 D．100,10
热点二用样本估计总体
例2(1)(2014·山东)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()
A．6 B．8 C．12 D．18
(2)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/每立方米)列出的
茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是( ) A ．甲 B ．乙 C ．甲乙相等
D ．无法确定 甲 乙 2 0.04 1 2 3 6 9 3 0.05 9 6 2 1 0.06 2 9 3 3 1 0.07 9 6 4 0.08 7
7
0.09
2
4 6
(1)某商场在庆元宵促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其
频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为________万元．
(2)(2014·陕西)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( ) A ．1＋a,4 B ．1＋a,4＋a C ．1,4
D ．1,4＋a
热点三 统计案例
例3 (1)以下是某年2月某地区搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据.
房屋面积x /m 2 115 110 80 135 105 销售价格y /万元
24.8
21.6
18.4
29.2
22
根据上表可得线性回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
中的b ^
＝0.196 2，则面积为150 m 2的房屋的销售价格约为________万元．
(2)(2014·江西)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )
表1
成绩
不及格
及格
总计
性别
男61420
女102232
总计163652
表2
视力
好差总计
性别
男41620
女122032
总计163652
表3
智商
偏高正常总计
性别
男81220
女82432
总计163652
表4
阅读量
丰富不丰富总计
性别
男14620
女23032
总计163652 A.成绩B．视力C．智商D．阅读量。