第7章：连续系统的振动

兰州理工大学李有堂编著
机械系统动力学
第7章
连续系统的振动
7.1 引言
实际的物理系统都是由弹性体组成的系统，通常为连续系统。

离散系统是连续系统的近似模型，当其近似程度不能满足实际要求时，必须增加模型的自由度，或者采用连续模型。

连续模型是离散模型自由度无限增加时的极限。

连续系统是具有无限多个自由度的系统。

主要讨论可以获得精确解的问题。

弦的横向振动、杆的纵向振动和扭转振动、梁的弯曲振动
7.2 弦的横向振动
⏹弦：只能承受拉力，而抵抗弯曲及压缩的能力很弱。

⏹钢索、电线、电缆和皮带等柔性体构件⏹假设：
材料是均匀连续和各向同性的；
材料变形在弹性范围，服从虎克定律；
运动是微幅的
如图所示为一段长度为l 、两端固定的弦的横向振动的模型，f （x ，t ）是作用在弦上的载荷密度，弦的线密度为ρ。

T ——弦上的张力，近似为常量；
——时刻t 张力T 与x 轴的夹角 ——时刻t 弦上x 处的横向位移量
(,)x t (,)y x t
沿y 方向的运动微分方程为
2
2
(,)
sin (,)sin (,)y x t T x dx t T x t dx t θθρ∂+-=∂对于微幅振动
sin tan y
x
θθθ∂≈≈≈
∂(,)(,)x dx t x t dx
x
θ
θθ∂+=+∂22
22
(,)(,)y x t y x t T x t
ρ∂∂=∂∂T αρ
=22
222
(,)(,)y x t y x t x t
α∂∂=∂∂弦的振动微分方程
◆ 是一个偏微分方程
◆ 对离散系统，运动是一种“同步运动”
◆ 弹性体系统即连续系统也应为同步运动，同时
达到极大值，同时过零点，因而整个弦的形状在振动中保持不变
◆ 弦上各点随时间变化的位移可以分解为两部分的乘积
22
2
22
(,)(,)y x t y x t x t
α∂∂=∂∂(,)()()
y x t Y x t Φ=分离变量
确定整条弦线在空间的
形状，与时间无关，弦的振型函数
确定弦上各点位
移随时间的变化规律，与空间坐标无关，弦的振动方式
✓当 达到极值时，弦上各点位移同时达到极值 ✓当 为零时，弦上各点同时回到平衡位置
()t Φ()t Φ(,)()()
y x t Y x t Φ=x x Y t Φx t x y ∂∂=∂∂)
()(),(2
2
22
)
()(),(x
x Y t Φx t x y ∂∂=∂∂t t Φx Y t t x y ∂∂=∂∂)
()(),(2
2
22
)
()(),(t
t Φx Y t t x y ∂∂=∂∂
方程左边仅为空间坐标的函数，右边仅为时
间的函数，左右两边要保持相等，只有一种可能，就是两边均等于一个常数
222
22
()1()
()()Y x t Y x x t t
α
ΦΦ∂∂=∂∂22
2
22
(,)(,)y x t y x t x t
α∂∂=∂∂2
2
2
222)()(1)()(n t
t Φt Φx x Y x Y ωα
-=∂∂=∂∂2
2
2
()()0n t t t
ΦωΦ∂+=∂2
2
2
2
()()0n Y x Y x x ω
α
∂+=∂()sin()
n t C t Φωϕ=+()sin cos n n
Y x A x B x
ωωαα
=+
弦的主振型是谐波曲线 (,)()()
y x t Y x t Φ=()sin()n t C t Φωϕ=+()sin cos n n
Y x A x B x
ωωαα
=+12(,)(sin cos )sin()
n n n y x t C x C x t ωωωϕαα
=++弦的运动规律是正弦曲线
C 1、C 2、ωn 、
为待定系数 ωn 、C 2——两个端点的边界条件确定
、C 1——振动的初始条件确定 )
sin(cos sin ),(ϕωαωαω+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=t x B x A C t x y n n n ϕϕ
弦的两端固定，其边界条件为
(0,)(,)0
y t y l t ==弦的两端固定，其边界条件为
12(,)(sin cos )sin()
n n
n y x t C x C x t ωωωϕαα
=++210, sin 0
n l
C C ωα
==sin 0
n l ωα
=n l
k ωπα
=弦振动的特征方程，即频率方程
nk k k T
l l
αππωρ
==
第k 阶固有频率
✓连续系统固有频率的取值和离散系统固有频率
的取值一样，只取某几个特定的数值。

✓离散系统的固有频率是有限的，等于其自由度的数目
✓连续系统的固有频率的数目在理论上是无限多的，连续系统是无限多个自由度的系统。

nk k k T
l l
αππωρ
==
1,
n T l πωρ
= 弦振动的基音频率，决定着弦振动的音调的高低
其它的高阶固有频率称为泛音频率
无穷阶主振型
11()sin sin nk k k k k Y x C x C x
l ωπ
α==对应的主振动 1(,)sin sin()
nk
k nk k y x t C x t ωωϕα
=⋅+弦的自由振动
11
(,)sin sin()
nk
k nk k k y x t C x t ωωϕα∞
==⋅+∑ 弹性体系统的弦振动的特性与多自由度系统的特性一致。

多自由度系统主振型是以各质点之间的振幅比来表示的，而弦振动中由于质点数趋于
无穷多个，故质点振幅采用的连续函数，即振型函数来表示。

7.3 杆的纵向振动和扭转振动☐以承受轴向力为主的直杆零件
☐连杆机构中的连杆、凸轮机构中的挺杆
☐存在着沿杆的轴线方向的纵向振动问题（轴向振动）
☐假设：在振动过程中，杆的横截面只有x方向的位移，而且每一个截面都始终保持平面并垂直于轴线。

一、杆的纵向振动
有一根均质等截面的棱柱形杆，杆长为l，截面积为A，质量密度为ρ，弹性模量为E。

取杆件中心线为轴，原点在杆的左端面上
当杆件振动时，截面的纵向位移用广义坐标u表示
(,)
u u x t
x 截面的振动位移为u x +d x 在截面的振动位移
x 截面上的拉压内力为S , x +d x 截面处的拉压内力为
d u
u x
x ∂+∂d S S x
x
∂+
∂2
2
(d )d S u
S x S A x x t
ρ∂∂+-=∂∂运动方程为
2
2S u
A x t
ρ∂∂=∂∂
E σε
=(d )d u
u x u
u x x x
ε∂+-∂∂==
∂u
S A AE EA
x
σε∂===∂22
2221 u u
x t
α∂∂=∂∂2
E αρ
=与弦的运动方程相同
22
x
u A x S ∂∂=∂∂ρ
12(,)()()(sin cos )sin()
n n
n u x t U x t C x C x t ωωΦωϕαα
==++()sin()
n t C t Φωϕ=+x
B x A x U n
n α
ωαωcos sin )(+=C 1、C 2、ωn 、
为待定系数 ωn 、C 2——两个端点的边界条件确定 、C 1——振动的初始条件确定 杆的自由振动为无限多阶主振动的叠加
ϕ121
(,)(sin cos )sin()
nk nk
k k nk k k u x t C x C x t ωωωϕαα∞
==+⋅+∑ϕ
如图所示等截面轴，其质量密度为ρ，抗扭刚度为
GI p ，G 为剪切弹性模量，I p 为截面的极惯性矩。

二、轴的扭转振动
p
T GI x
θ
∂=∂2
2p T GI x x
θ∂∂=∂∂2
2
d d p T T x T I x x t
θρ∂∂+-=∂∂
22
2221, G
x t θθααρ
∂∂==∂∂与弦的运动方程相同
()sin()
n t C t Φωϕ=+x
B x A x U n
n α
ωαωcos sin )(+=()()()()12,sin cos
sin n n n x t U x t C x C x t ωωθΦωϕαα⎛
⎫
==++ ⎪⎝
⎭
C 1、C 2、ωn 、 为待定系数
ωn 、C 2——两个端点的边界条件确定
、C 1——振动的初始条件确定 ϕϕ
7.4 梁的弯曲振动
☐以承受弯曲为主的机械零件
☐梁的横向振动是细长杆垂直于轴线方向的振动
☐主要变形形式是弯曲变形，称为弯曲振动，欧拉-伯努利梁(Eular—Bernoulli beam)。

☐主要假设
✓梁各截面的中心主轴在同一平面内，且在此平面内作横向振动。

✓梁的横截面尺寸与其长度之比较小，可忽略转动惯量和剪切变形的影响。

✓梁的横向振动符合小挠度平面弯曲的假设，即横向振动的振幅很小，在线性范围内。

设梁轴线的横向位移为
，梁的密度为ρ，x 截面处的截面抗弯刚度为EI (x )，A (x )为该截面面积。

(,)y x t 运动方程为 ()2
2d d y Q
A x x x
t x
ρ∂∂=∂∂剪力和弯矩的关系为
M Q x
∂=-
∂2
2Q M
x x
∂∂=-∂∂ 1、弯曲振动的微分方程
弯矩与挠度的关系
2
2Q M
x x
∂∂=-∂∂2
2
()y
M EI x x
∂=∂⎥
⎦⎤
⎢⎣
⎡∂∂∂∂
-=∂∂22
22
)(x y x EI x x Q ()2
2d d y Q
A x x x
t x
ρ∂∂=∂∂0
)()(22
2
2
22
=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡∂∂∂∂+∂∂x y x EI x
t y dx x A ρ 等截面梁的弯曲振动微分方程，是一个四阶齐
次偏微分方程
对于均质截面直梁，E 、I (x )、A (x )及ρ都是常数
42
4221y y
x t
α∂∂=-∂∂0
)()(22
2
2
22
=⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡∂∂∂∂
+∂∂x y x EI x
t y dx x A ρ2
EI A
αρ=
2、梁的弯曲振动的响应规律
梁的弯曲振动的偏微分方程，用分离变量法来求解
(,)()()
y x t Y x t Φ=22
22d ()
()d y t Y x t t
Φ∂=∂4
4
44
d ()
()d y Y x t x x
Φ∂=∂4
2
422
1y y
x t
α∂∂=-∂∂242
2
42
d ()1d ()()d ()d n Y x t Y x x t t
α
ΦωΦ=-=
通解为
2
2
2
d ()()0d n t t t
ΦωΦ+=2
4
42
()
d ()0d n
Y x Y x x ωα
-=11()cos sin n n t A t B t
Φωω=+4
4
4
d ()()0d Y x Y x x
λ-=24
2
2
n n
A EI
ωρλωα==()()sin ()cos ()sh ()ch =sin cos sh ch Y x i B A x B A x D C x D C x A x B x C x D x
λλλλλλλλ''''''''=-+++-+++++11(,)(sin cos sh ch )(cos sin )
n n y x t A x B x C x D x A t B t λλλλωω=++++
A 、
B 、
C 、
D 、A 1、B 1 为待定系数
A 、
B 、
C 、
D ——边界条件确定 A 1、B 1——初始条件确定 11(,)(sin cos sh ch )(cos sin )
n n y x t A x B x C x D x A t B t λλλλωω=++++三、边界条件
端部状态
位移
转角
弯矩 剪力
固定端 0 0
简支端 0
0 自由端
自由端带有横向弹簧 0
简支端带有卷簧 0
自由端带有集中质量
7.5 连续系统的强迫振动
一、弦的横向强迫振动
应用弦的自由振动的微分方程，强迫振动方程为
2
2
222
(,)(,)1(,)y x t y x t q x t t x A
αρ∂∂=+∂∂
非齐次方程，求解时其振型
函数可用
()sin
k k k Y x A x
l π
=22
222
(,)(,)y x t y x t x t
α∂∂=∂∂22
222
(,)(,)1(,)y x t y x t q x t t x A
αρ∂∂=+∂∂(,)()()
y x t Y x t Φ=()sin()
n t C t Φωϕ=+()sin cos n n
Y x A x B x
ωωαα
=+确定Y k (x ) 时必须满足边界条件
(,)()()
k k k y x t Y x t Φ=必须满足边界条件。

设方程的通解为
11
(,)sin ()
nk
k k y x t C x t κωΦα∞
==⋅∑
设C 1k =1，再把上式的两边以 ，由0至l 对x 进行积分，根据振型函数正交性可得
2
2
2
112
11
d ()1(,)sin sin ()(,)d k k k k k x t k k x y x t C C t q x t l t l l A κκπΦππαΦρ∞
∞
==⎛⎫⋅+⋅= ⎪⎝⎭∑∑sin j x
l
π2
2
2d ()()()
d j nj
j j t t Q t t
ΦωΦ+=(1,2,3,...)
j =01()(,)sin d l j j x
Q t q x t x A l
πρ=⎰
与无阻尼单自由系统的运动方程形式相同
1
()(0)cos (0)sin ()sin ()d l
j j nj j nj j
nj
nj
t t t Q t ΦΦωΦωτω
ττ
ω=++
-⎰广义位移初始值 广义速度初始值 广义力
()sin k k k Y x A x
l
π
=(,)()()
k k k y x t Y x t Φ= 可得弦的强迫振动解，即得系统在初始条件下和任意激振的响应。

二、杆的纵向强迫振动
当杆上作用有一个分布的轴向载荷时，其纵向振动运动方程为
2
2
22(,)
u u
A EA f x t t x
ρ∂∂-=∂∂
正则变换关系式
1
(,)()()
j j j u x t x q t Φ∞
==∑22
22(,)
u u
A EA f x t t x
ρ∂∂-=∂∂2
2
1
1
d ()()()()(,)
d j j
j
j j j x x q t E q t f x t x
ΦρAΦA
∞
∞
==-=∑∑ 乘以Фj (x )，并沿全杆积分，则有
2
()()d ()()()d ()(,)d l
l
l
j j
j j j j q t x x E q t x x x x f x t x
ρA ΦA ΦΦΦ-=⎰⎰⎰
根据主振型的正交性，有
220
()()d ()d l
l
ns
s s s
A
x x x x x
EA
ωρΦΦΦ=-
⎰
⎰
20
()()d ()()()d ()(,)d l
l
l
j j
j j j j q t x x E q t x x x x f x t x
ρA ΦA ΦΦΦ-=⎰⎰⎰2()()()j j nj
jj
p t q t q t m ω+=
20
()d l
jj j
m x x
ρA Φ=⎰0
()(,)d l
j j p x f x t x
Φ=⎰1
(,)()()
j j j u x t x q t Φ∞
==∑
三、轴的扭转强迫振动 轴的扭转强迫振动方程
2
2
22(,)
p p I GI f x t t x
θθ
ρ∂∂-=∂∂1(,)()()
j j j x t x q t θΦ∞
==∑动态响应可表示为
2()()()j nj
j j jj
q t q t p t m ω+=2
()d l
jj p j m x x
ρI Φ=⎰0
()(,)d l
j j p x f x t x
Φ=⎰。