第6章 不动点理论及应用

n T 究 是否为压缩算子，从而得到 T 有唯一不动点。 证
§6.3 不动点定理的应用
不动点定理建立在距离空间基础上的，而距离空间是一 个比较广泛的抽象空间，所以不动点定理有着广泛的应用。
应用不动点定理解决实际问题的步骤： （1）寻找压缩算子 T ，将问题转化为求 x Tx 的不动点；
* { x } x （2）构造迭代序列 n ，取极限点 xn ；
T : L2[a, b] L2[a, b]
的算子。下证 T 的压缩性。
第一种情形举例
s, 0 s t K ( s, t ) C [0,1] 例 设在 上有 t , t s 1 ，求方程
1 1 (t ) 1 K ( s, t ) ( s)ds 10 0
* { x } x 若序列 n 收敛，则极限点 为 x Tx 的不动点。
这种用逐次代入构造近似解的方法称为迭代法。不同 的算子方程，得到不同的迭代法。
§6.2 不动点定理
1.压缩算子: 设（1） X 距离空间； （2）算子 T : X X 的映射。 若 (0 1), s.t. x, y X ，恒有
则通过点 ( x0 , y0 ) 必有且只有一条积分曲线 y y( x)
证：初值问题 求解方程 y( x) y( x0 ) x0 f (t , y(t ))dt 令 Ty y0 x f (t , y)dt ，则问题为解 y Ty 的不动点。
0
x
（下面只要证明 T 满足不动点定理的两个条件即可）
3 x 例如：求方程 x 1 0 在区间（0,2）内的近似根；
求解线性方程组 Ax b
实际上，对于上述各种方程的求解问题，都可统一为求解相应 的算子方程的不动点问题，并在此基础上建立了迭代方法。 转化方法：方程 f ( x) 0 x x f ( x) 令算子
T : x x f ( x)
T : C[a, b] C[a, b]
b
的算子。下面证 T 的压缩性。
证（2）思路：构造算子 T ，并证明 T 是压缩的。 ① L [a, b] 按范数
2
2
b x(t ) 2 x(t ) dt a
2
1 2
是完备的距 Tx(s) f (s) a K (s, t ) x(t )dt ，则
求解算子方程 x Tx ，需要解决三个问题： 1、不动点的存在性、唯一性； 2、求不动点（即求近似解）的方法； 3、误差分析。
求不动点的方法——迭代法 取初始点 x0 ，构造迭代序列： xn1 Txn ( n 0,1, 2, ) ，即 xn Txn1 , x1 Tx0 ， x2 Tx1 , x3 Tx2， ，
*
则求解方程 f ( x) 0 求算子方程 x Tx 的解 x （称为不动点）
如： Ax b x x Ax b
x (I A) x b
令 Tx (I A) x b ，则求解 Ax b 求解 x Tx 的不动点。
2. 不动点的定义 设（1） X ——距离空间； （2）算子 T : X X 的映射。
的近似连续函数解，且要求误差不超过 10 。
1 1 1 f (t ) 1, , K ( s, t ) C[0,1] [0,1], M max K ( s, t )ds 解 0 t 1 0 10 2， 1 1 1 1 1 T ( t ) 1 K ( s , t ) ( s ) ds M 1 ，故 令 ，其中 10 0 20 10 M ，
推论 2 设（1） X ——完备的距离空间； （2） T : X X 的算子。 （3）存在 0 1 及正整数 n，使 x, y X ，都有
(T n x, T n y ) ( x, y )
则 T 在 X 中存在唯一的不动点。
定理的意义在于：如果不能直接得到 T 是压缩算子，可以研
* * * * x X , s . t . x Tx x X T 则 在 上存在唯一的不动点 ，即
证
先证存在性，再证唯一性 存在性： 唯一性：
关于不动点定理的几个注 （1）定理的证明过程就是求不动点的方法，称为构造性 的证明。 （2）定理的条件是结论成立的充分非必要条件。 （3）迭代的收敛性和极限点与算子 T 有关，而与初始点 无关。但初始点 x0 的选取对迭代速度有影响。初始点离 极限点越近，其收敛速度越快，而不影响精确度。
第6章 不动点理论及应用 §6.1 问题的提出及不动点 §6.2 不动点定理 §6.3 不动点定理的应用
§6.1 问题的提出及不动点
1. 问题的提出 : 在工程和科学技术中的许多问题常常 归结为解各种函数方程 f ( x) 0 ，如：代数方程、微分方 程、积分方程、线性方程组、泛函方程等。这些方程各 自都有相应的解法，但有些解法对某些方程来说效果不 好、计算复杂、计算量大、解决困难等。这就需要我们 寻找合适的求解方法。
Step3 控制步数，检查 ( x1 , x0 ) ，若 ( x1 , x0 ) 。则以 x1 替换 x0 转到第二步， 继续迭代， 当 ( x1 , x0 ) 时终止， 取 x1
为所求结果。误差不超过 1
对于不动点理论，为了便于应用，下面给出两种不同条件 下所适合的方法。
x* xn 。此方法简单，但有时无法估计计算步数。
* x 设迭代到第 n 步，将 xn ，则误差估计式为
( xn , x )
*

1
( xn , xn 1 )
或 证
( xn , x* )
1 ( xn 1 , xn ) 1
求解不动点的具体步骤： Step1 Step2 提供迭代初始点 x0 ； 计算迭代点 x1 Tx0 ；
因为 (Tx,Ty) Tx Ty 2 x 2 y 2 ( x, y), 2 ② Tx x0 是压缩算子（ 0 ） ③
1
1
1
1
Tx x 不是压缩算子（ 1
）
2.不动点定理
设（1） X
是完备的距离空间；
（2） T : X X 的压缩算子。
(Tx,Ty) ( x, y)
则称 T 是 X 上的压缩算子。 为压缩系数。
性质：压缩算子 T 是连续的 证 若 xn x ，即 ( xn , x) 0 ，则 (Txn , Tx) ( xn , x) 0
1 1 T : R R 例： ，则
1 ① Tx 2 x 是压缩算子
3.不动点定理在积分方程中的应用 定理 2 设有线性积分方程 （Fredhlolme—弗雷德霍姆方程）
x( s) f ( s) K (s, t ) x(t )dt
a
b
则对于充分小的 ，有 （1） f (s) C[a, b], K (s, t ) C[a, b] [a, b] （正方形域）时， 方程有唯一的连续函数解。 （2） f ( s) L [a, b],
定理 1 （一阶微分方程的初值问题） 已知
dy f ( x, y ) dx y ( x0 ) y0
若 f ( x, y) 在 R 2 上连续， 并且满足李普西兹 （Lipschitz） 条件：
f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2
x
(L 0)
2

b
a
b K 2 ( s, t )ds dt M 时，方程有唯一 a
的平方可积函数解。
证（1）思路：构造算子 T ，并证明 T 是压缩的。 x(t ) 是完备的距离空间； ① C[a, b] 按范数 x(t ) max a t b ② 在 C[a, b] 上，令 Tx(s) f (s) a K (s, t ) x(t )dt ，则
x cos ③ T : R R ,旋转变换 T y sin
2 2
sin x ，则 T 的 cos y
不动点为坐标原点(0, 0)。
1 1 T : R R ④ , 平移变换 Tx x b(b 0) ， 则 T 没有不动点。
推论 1 设（1） X ——完备的距离空间； （2） T : X X 的算子。 （3） T 在闭球 s ( x0 , r ) X 上是压缩算子，并且
(Tx0 , x0 ) (1 )r
则 T 在 s ( x0 , r ) 中存在唯一的不动点
证明思路：只要证明 T 在 s 上满足不动点定理的两个条件即可 证：
* * * * x X , s . t . x Tx x 若 ， 则称 为算子 T 的不动点。
1 1 2 2 T : R R Tx x 例： ① , ， 则 T 的不动点为 x x 的解 1， 0。
2 2 T : R R , T ( x, y ) ( x,0) ，则 T 的不动点为 x 轴上的所有点 ②
（3）误差分析； （4）通过实际问题进行验证。
1.在线性代数中的应用（本章不讲，在第九章中介绍） 例如
Ax b x (I A) x b Tx
则迭代格式 xn1 ( I A) xn b
2.不动点定理在常微分方程中的应用 科学技术中常常需要求解常微分方程的定解问题。 除 了一些简单的微分方程外，要找出解析解是非常困难的、 甚至是不可能的。因此，许多类型的微分方程应用数值解 法求近似解。 数值解法是能够算出解在若干个离散点上近 似结果的通用方法。 本节只讨论应用不动点理论在函数空 间中给出常微分方程解的存在性和唯一性定理， 至于具体 的求解方法可参考其它教材。 下面以一阶微分方程的初值 问题为例进行讨论。
（4）误差估计 事前（或先验）误差：根据预先给出的精确度，确定 计算步数。此方法有时理论上分析困难。
* x 设迭代到第 n 步，将 xn ，则误差估计式为
n n ( xn , x* ) (Tx0 , x0 ) ( x1 , x0 ) 1 1
证
事后（或后验）误差：计算到第 n 步后，估计相邻两次迭代 结果的偏差 ( xn , xn1 ) ，若该值小于预定的精度要求，则取
-4
由定理 2（1）的证明知，算子方程 T 存在唯一的不动 * 点 C[0,1] 。
本章要求 1.掌握压缩算子及不动点的概念，会举例； 2.掌握不动点定理的证明，会构造迭代公式求不动点； 3.知道两种误差估计的计算公式及不动点定理的两个推论； 4.了解将各种方程转换为求解算子方程不动点的方法。