第三章 晶体结构

引入W－S元胞的原因 优点： （1）W－S元胞本身保持了B格子的对称性； （2）该取法今后要用到。 缺点： （1）W－S元胞的体积等计算不方便； （2）平移对称性反而不直观。
3.惯用元胞和轴矢
惯用元胞：体积是初基元胞的几倍，能明 显地反映晶格的周期性，又能 明显地反映晶格的对称性。 轴矢：惯用元胞的三个不共面的棱边，分 别用a、b、c表示。
思考题： 对二维格子，已知正格基矢a1、 a2,如何确定b1、b2的方向？
强调： 这里定义的倒格矢，所对应的正 格矢是在基矢坐标系中的。
2．倒格子的重要性质（正倒格 子间的关系）
(1).若h1、h2、h3为互质整数，则 Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3为该方向的最短倒格矢。 (2).正、倒格子互为倒格子。 (3). Gh ＝ h1b1 ＋ h2b2 ＋ h3b3 垂直于晶面族 （h1、h2、h3）（两个h1、h2、h3分别相等）。 证：晶面族（h1、h2、h3）中的一个晶面在a1、 a2 、 a3 上 的 截 距 为 x,y,z, 由 面 指 数 的 定 义 : （h1、h2、h3）＝m(1/x、1/y、1/z) 即 h1x＝h2y＝h3z＝m （m为公因子） （A）
2.3 Stacking of close-packed planes and packing fraction
Close packed structure
FCC
HCP
hcp的排列方式为AB,AB,…… 密排面垂直于棱柱高c轴。 fcc的排列方式为ABC,ABC,…… 密排面垂直于体对角线。 （GT003，模型） hcp和fcc均为配位数为12的密堆积， 可能给我们什么启示？
7. 六方密排结构（h c p)-------Mg (模型) 惯用元胞是以正六边形为底的直角棱柱。 晶格常数是正六边形的边长a和柱高c. 密堆积：如果晶体由全同的一种粒子组 成，而粒子被看成是小圆球，这些小圆 球最紧密的堆积状态。此时它有最大的 配位数－－－12。 有最大配位数12的排列方式称为密堆积。 hcp基元内原子数＝2 惯用元胞体积是初基元胞体积的3倍。
第三章 晶体结构
§1－1 晶体的宏观特性 1. 均一性――从宏观理化性质的角度来讲 (周期性－－从原子排列的角度来讲）； 2. 对称性； 3. 各向异性和解理性。例如，云母的解理 性；
4. 自范性和晶面角守恒 自范性：晶体能自发地形成封闭的几 何多面形。 晶面角守恒定律：同一品种的晶体，任 两个对应晶面的夹角不变。 5. 最小自由能和稳定性。 6. 有固定的熔点。
NaCl晶体的若干外形
§1－2 晶体的微观结构
周期性－－又称平移对称性，晶体的根本 特征（主要矛盾）。 一. 空间点阵（布拉菲格子） 基元－－组成晶体的最小结构单元。 把基元抽象成为一点，则晶体抽象成为 空间点阵。
晶体结构＝基元＋空间点阵
布拉菲格子：把空间点阵用三组不共面的 平行线连起来，形成的空间网格。 此时，又把阵点称为格点。
p36*
Hale Waihona Puke Baidu
证：
Gn x
晶面族(h1h2h3) 中离原点距离为mdh的晶面方程 为： Gh x md h Gh 其中x为晶面上的任意位矢，并不一定是格矢。
由性质（4）
Gh x Gh
dh
2 Gh
所以， x G 2m
Gh x d h md h 2
5. 晶体中有哪几种密堆积，密堆积的配位 数是多少？ 6. 晶向指数，晶面指数是如何定义的？
§1.6 倒格子与布里渊区
一. 倒格子基矢 (Reciprocal Lattice Vector)
正格子: 正格子基矢:
倒格子: 倒格子基矢:
R n1a1 n2 a2 n3a3
∴所以可以说，一个具有正格子周期性的
§1－3 常见晶体结构举例
1.
面心立方（fcc) ------ Cu
配位数＝12，惯用元胞包含格点数＝4
2. 体心立方（bcc)----- w
3.金刚石结构
惯用元胞包含原子数＝2x4=8 配位数＝4
4. 闪锌矿结构（立方ZnS结构）
与金刚石结构相同，区别是基元内含2个 原子为不同的元素。
5. 氯化铯（CsCl)结构 Cs＋，Cl－离子分别为简立方（SC）子格 子，二子格子体心套构。
6. NaCl结构 Na＋,Cl－分别为fcc子格子，沿立方边位移 a/2套构而成。
注
意
不同晶体结构的Cu.NaCl,金刚石结 构，闪锌矿结构等，它们的格子均 为fcc。 所以，格子的种类数大大少于晶 体结构的种类数。
a1 , a2 , a3
K h1b1 h2b2 h3b3
b1 , b2 , b3
倒格子基矢的定义
a2 a3 b1 2 a1 a2 a3 a3 a1 b2 2 a1 a2 a3 a1 a2 b 3 2 a1 a2 a3
·
○
○ B子格子
○
二、元胞
1.初基元胞和基矢 初基元胞：B格子中的最小重复区域。 每个初级元胞只包含一个格点。 基矢：在B格子中任取一个格点为原点， 初级元胞的三个棱边为三个矢量a1、 a2、a3 ,其模分别为该方向的最小周 期长度，这三个矢量a1、a2、a3称为 基矢。
基矢选定之后，B格子中的任一格点的位矢 Rn= n1a1+ n2a2+ n3a3 Rn称为格矢，是B格子的数学表示。
2 2 类似可得 b2＝ （a3×a1） b3＝ (a1×a2)
有了倒格子基矢，即可构成倒格子(倒易点阵):
G v1b1 v2b2 v3b3
其中v1 v2 v3为任意整数 由倒格矢Gh确定的空间叫倒格子空间。
倒格子的作用
G与波矢K有相同的量钢。属同一“空 间”, 可以把G认为是K空间的特定矢量。 在处理波在周期格子中的传播问题时极 为重要.
布拉菲格子（B格子）＝空间点阵 说 明
1. 2.
基元中A、B可以是不同的原子，或相 同的原子，但周围“ 环境”不同。 每个基元用一个格点来表示。此格点选 在基元的什么地方、代表几个原子并未 限制。
3.每个基元内所含的原子数＝晶体中原子 的种类数。 4.布拉菲格子（B格子）的基本特征：各格 点的情况（基元内涵和周围“ 环境”） 完全相同。 5.晶体结构的一种描述：带基元的B格子。 另一种描述： 单式格子：晶体由一种原子组成。一个 基元仅有一个原子，即一个原子由一个 格点表示。
在该晶面上作二非平行矢量（如图）
u＝xa1－ya2
v＝ya2－za3
则 u· Gh＝(xa1－ya2) · (h1b1＋h2b2＋h3b3) 由倒基矢定义 ＝2π（h1x－h2y） 由（A）式 ＝2π(m－m)＝0 即 U⊥Gh 同理可证υ⊥Gh Gh与（h1、h2、h3）面内二条非平行直线均 垂直,所以
说明：
1.基矢的选法并不唯一确定，（初基元胞 内仅含一个格点）。
2.威格纳－赛兹元胞（W－S元胞，对称元胞）
作法：（1）任选一格点为原点； （2）将原点与各级近邻的格点连线，得 到几组格矢； （3）作这几组格矢的中垂面，这些中垂 面绕原点围成的最小区域称W－S 元胞。（请看模型、动画GT010）
复式格子：晶体由几种原子组成，但各种 原子在晶体中的排列方式都是 相同的（均为B格子的排列）， 可以说每一种原子都形成一套 布拉菲子格子，整个晶体可以 看成是若干排列完全相同的子 格子套构而成。
复式格子＝晶体结构 复式格子≠B格子
例：晶体结构 ·○ ·○ ·○ A B 一种描述： ·○ ＋ · · · 基元 B格子 另一种描述： · · · ·＋ A子格子
* 每个晶体结构都有两套晶格与之联系: 正晶格(正格子) 倒晶格(倒格子) 转动晶体时, 既转动了正格子, 也转动了 倒格子 * 晶体的衍射图样就是晶体倒格子的映像, 而显微图像是晶体结构在实空间的真实 映像, 两者截然不同, 然而又紧密联系.
倒格子初基元胞体积 Ω＝b1· (b2×b3) 正格子初基元胞体积 V＝a1· (a2×a3)
第三章 晶体结构 * 如何描述 * 如何测定
作业：
1. 说明晶体结构、基元和晶格（布拉菲格子、点阵） 的定义和 相互关系。 2. 说明基矢、格矢、格点、元胞、晶胞的定义。 3. 说明简单格子和复式格子的定义和区别。 4. 说明七大晶系和十四种布拉菲格子（晶格）的定义。 晶系和晶格的划分标准有何不同，举例说明两者关系 如何。 5.详细描述金刚石结构和岩盐结构。 9. 立方晶系有几种布拉菲格子、点群和空间群？
d h1h2h3 =
Gh a1 h Gh 1
a1 h1b1 h2b2 h3b3 = h1 Gh
2 = Gh
（5）倒格矢Gh和正格矢Rn的 标积是2π的整数倍 Gh· Rn＝2πm
问题： 若Gh，Rn分别为正、倒格矢，上 式成立。反之，若上式成立，若已知 一个为正格矢，则另一个必为倒格矢 吗？ ( )
8. 纤维锌矿结构（六角硫化锌结构） 两个hcp套构而成。 例如，ZnO, ZnS。 （模型） 9. 钙钛矿结构 例如，BaTiO3, SrTiO3 OⅠ,OⅡ,OⅢ的周围“ 环境”不同，钙 钛矿结构由五个SC子格子套构而成。
作业
1. 2. 3. 4.
5.
6.
六角密积属何种晶系? 一个晶胞包含几个原子? 体心立方元素晶体, [111]方向上的结晶学周期为多大? 实际周期为多大? 面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大? 该晶列 在哪些晶面内? 晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶 面，OA、OB和OC分别与基矢a1 、a2 、a3 重合，除 O点外,OA、OB和OC上是否有格点？ 若ABC面的指 数为（234），情况又如何？ 晶体中有哪几种密堆积，密堆积的配位数是多少？ 晶向指数，晶面指数是如何定义的？
* 正格原胞体积与倒格原胞体积之 积等于 (2)3

* 正格子与倒格子互为对方的倒格子
例如:b1 在a2×a3所确定的方向上（或反方向上） b1＝c(a2×a3) c为待定系数 则， a1· b1＝ca1· (a2×a3)＝cΩ (A) 其中Ω为正格子初基元胞体积，同时，由定义 a 1· b1＝2π （B） 2 c 比较（A） , （ B ）式得 2 b1＝ （a2×a3）
倒格子基矢的特征
*每个倒格子基矢都与两个正倒格子基矢正交
i j, bi a j 2 ij
1 b : (m )
ij 1 ij 0
i j,
*倒格子基矢与正格子基矢的量纲不同, 互为倒数.
a : (m)
注意: 正倒格矢的量纲不同，属不同的 空间，可有方向上的关系，不能直接 比较大小。
故上反定理不成立。
（6）正、倒格子初基元胞体积间满足 Ω·Ω※＝（2π）3
(7)晶体的傅立叶变换
设函数V(x)具有正晶格周期性，它可以作 付里叶级数展开：
V ( x )＝ V ( n)e
n i 2 nx a
n是整数
＝ V (Gn )e
n

iGn x
1 iG n x V (Gn )＝ V ( x )e dx a 0 V(Gn)是V(x)在倒空间的“映像和表 述”，它们之间满足傅立叶变换的关 系。
Gh垂直于（h1、h2、h3）晶面族。
(4) 某方向最短倒格矢 Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3 之模 和晶面族（h1、h2、h3）的 面间距dh成反比。
2 dh Gh
设:ABC为晶面族(h1h2h3) (h1,h2,h3为互质整数) 中离原点最近的晶面。ABC面与a1,a2,a3轴的截 距矢量分别为a1/h1, a2/h2, a3/h3, 请同学自证: h1= h1 , h2= h2 , h3= h3 该晶面族的法向矢为倒格矢G (h’1h’2h’3) ,其中最 短倒格矢Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3 (h1,h2,h3为互质整数)。晶面间距即为a1/h1, a2/h2, a3/h3, 在法向的投影