方程解问题的代数解法与几何解法(含练习题)

方程解问题的代数解法与几何解法

一般地，讨论方程的解可以有两种解法，一是利用代数方法，最终把比较复杂的方程化为比较简单的一元一次方程或一元二次方程或其他基本方程(如简单的三角方程) ，

二是转化为函数或方程的曲线，利用图形进行分析，即几何解法.要根据具体问题灵活选

用这两种解法，而且两种解法要相互补充，灵活运用.下面举例说明这两种解法的具体应

用.

例题1:设方程3x+ x - 4=0的根为x1,方程log3x + x - 4=0的根为x2,

求

x1 + x2 .

代数解法：因为31+ 1- 4 = 0，所以x = 1方程3x+ x - 4= 0的一个根，

xx

f(x) = 3 + x - 4在R上为增函数，所以f(x) = 3 + x - 4在R上最多只有一个零

点，所以

x1 = 1.因为log3 3+ 3- 4 = 0，所以x = 3方程log3x + x - 4 = 0的一个根，f(x) = log3x + x - 4在(0,+? ) 上为增函数，所以f(x) = log3x + x - 4 在

(0,+ ? ) 上最多只有一个零点，所以x2 = 3. 所以x1 + x2 = 4.

显然上面提供的代数解法仅仅局限于能够用观察法求出方程根的情况，对于含有指数式、对数式及整式的方程，一般无法用初等方法求出方程的根，因此可以考虑从整体上求

出x1 + x2.

此题的特殊性决定了题目的确具有更有一般性的代数方法，但是要用到指数与对数的互化，很难想到，下面提供给同学们仅供参考：

3x1 + x1- 4 = 0 ①

log3x2 + x2 - 4 = 0 ②

①

式可以变形为3x1 = - x1+ 4，即为

log3(- x1 + 4)= x1，若设- x1 + 4= t ，

则x1 = 4- t，于是log3t = 4- t，

②式变为

log3 x2 = 4- x2，t 与x2都是方程log3x = 4- x 的根，而这个方程即log3x - 4+ x = 0，又函数f(x) = log3x + x - 4在(0,+? )上为增函数，最多只有

一个实数根，因此必有x2 = - x1 + 4 ，所以x1 + x2 = 4.

几何解法：将方程3x+ x- 4= 0 变形为3x= - x + 4 ，将方程

log3x + x - 4 = 0变形为log3x = - x + 4，在同一坐标系内分别作出函数y = 3 ,

.. .- x ..

y = log3x , y = - x + 4的图像，因为y二3与y = log3 x互为反函数，图像关于直

线y = x对称，而y=-x+4与y = x垂直，设垂足为

x

y = log3x的图像的交点A，B关于点C对称，易求得C点坐标为(2,2)，又A点坐标为(x^yj，B点坐标为(x2,y2)，由中点坐标

公式得x1 + x2 = 4.

这里的几何解法也具有一般性，而且比代数解法容易掌握

例题2：已知实数a 0,函数f(x) ax2x 1在区间(-1,1)上有零点，求实数a

的取值范围.

代数解法：本题是函数存在零点问题，可以先转化为方程有解问题，而方程有解问

题又可以转化为函数值域问题，因此我们还可以有下面的代数解法：

解:(1)当x = 0时,f (0) 1,故x = 0不是f (x)的零点.

⑵当1 x 0,或0 x 1时，

2

f (x) ax x 1 = 0可以转化为

1- x

2 = J)2

x x

②当 k 0 时，

4k 2 4k 4k(k 1).，

1

当 1 x 0时，丄＜ -1 ,

x

1 2 1

••• a >(- 1-

)2 - = 2, 2 4

1 当 0x1 时， >1, x

1 2 1

•- a > (1 - ) - = 0,

2 4

综上f(x) ax 2 x 1的值域为(0, )

• a 的取值范围是(0,

).

上述解法用了分离参数的方法

，分离参数后所得 a 是关于x 的函数.一般地，当

分离参数后所得的函数是一个比较简单的函数时

，用分离参数法比较简单•

几何解法：本题若从端点并结合二次函数图像仔细分析 ，可以有下面简捷明快几何

解法：

解：(1 )当a =0时，f (x)=x-1,函数f (x)的零点为x=1，且1 ? (

1,1),不符合

题意.

0时,

取值范围.

代数解法：原方程即上丄kx 2.

x 2

1

— kx ，即 x 2

1 0，

x 0恒为方程的一个解, 因此问题转化为方程 k|x|有三个不同的实数解•

由 f(0)

1 0, f(1)

a 0知f (x)在区间(0,1)上至少有一个零点 ，因此

f (x)在区间(-1,1)

上有零点•

综上所述,满足条件的实数 例题3：已知函数f (x)

a 的取值范围是(0,

且，方程

x 2

f(x)

)•

2

kx 有四个不同的实数解，求实数k 的

⑴当x 0时，方程化为: kx 2

2kx

①k 0时，方程无解;