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切线长定理
淮阳一高 邱百灵
数学探究
如图，纸上有一⊙O ，PA为⊙O的一条 切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A 重合的点为B。
A
问题： O
1.OB是⊙O的一条半径吗？ P
2.PB是⊙O的切线吗？
B
3.PA、PB有何关系？
4.∠APO和∠BPO有何关系？
数学探究
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线 段的长叫做切线长。
O
A
B
C
思考：当切点F在弧AB上运动时，问△PED 的周长、∠DOE的度数是否发生变化，请说 明理由。
AD
OF
P
E B
（2）如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC， AB切于D，E，F；如果 AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC=11cm,
AC= 6cm
AB= 9cm
A
2 F
E 4
2. 边长为5、5、6的三角形的内切圆的半径为——
3. 已知:△ABC的面积S=4cm,周长等于 10cm.求内切圆⊙O的半径r.
例题选讲
例：如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm， BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长。
Hale Waihona Puke Baidu
x A x F 9﹣x
三角形的内心： 三角形的内切圆的圆心叫 做三角形的内心
三角形的内心是三角形三 条角平分线的交点，它到 三角形三边的距离相等。 B
A
D
O
F
E
C
已知：四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA和圆O 分别相切于L，M，N，P。探索圆外切四边形边 的关系。
D N C （1）找出图中所有相等的线段 P O M DN=DP，AP=AL，BL=BM，CN=CM
C B7 D
例3、 已知四边形ABCD的边AB、BC、CD、 DA分别与⊙O相切于P、Q、M、N， 求证：AB+CD=AD+BC。
D MC
N Q
O
A
P
B
思考 如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下
一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
I D
数学探究 三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
求证： PA PB,APO BPO
一、判断
练习
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。
二、填空
(1)如图PA、PB切圆于A、B两点，APB 50
连结PO，则 APO 25
度。 A
O
P
B
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、 C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的 切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ A ）
例1、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为 切点，∠OAB＝30°． （1）求∠APB的度数； （2）当OA＝3时，求AP的长．
A
O
P
B
随堂训练 如图，AC为⊙O的直径，PA、PB分别切⊙O于 点A、B，OP交⊙O于点M，连结BC。 (1)若OA=3cm, ∠APB=60°，则PA=______.
（3）图中全等三角形 3 对，分别是
（4）如果半径为3cm，PO=6cm，则点P到⊙ O的切线长
为 3 3 cm，两切线的夹角等于 60 度
（5）如果PA=4cm，PD=2cm， A
试求半径OA的长。
x
E
OC D
P
B
PA2 OA2 OP2
即：4 2 x 2 x 22
解得： x= 3cm
半径OA的长为3cm
(2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。
A
O
M
P
C
B
试一试：已知：如图，P为⊙O外一点，PA，
PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径。
∠C＝50，
①求∠APB的度数
②求证：AC∥OP。 C
A
O
P
B
试一试：如图1，一个圆球放置在V形架中。图 2是它的平面示意图，CA和CB都是⊙O的切线， 切点分别是A、B。如果⊙O的半径为 c2m，3 且AB=6cm，求∠ACB。
解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则 A AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm
x+y=13
xx 依题意得方程组 y+z=14
F y By
E
Oz
C
Dz
x+z=9
X+y+z=18
x+y=13
解得: Z=5
AF、BD、CE的长分别是4cm、9cm、5cm。
（1）Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系
为什么？ 你还能得出什么结论？
·A
O·E
·P
B
已知：如图PA、PB是⊙ O的两 A
条切线，A、B为切点。直线OP
交⊙ O于D、E，交AB于C。 E
OC D
P
（1）图中互相垂直的关系 3 有
对，分别是 OA PA,OB PB,OP AB B
（2）图中的直角三角形有 6 个，分别是
等腰三角形有 2 个，分别是
·A
O·
·P
B
切线长和切线的区别和联系:
切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上 的一条线段的长，可以度量。
·A O·
B
切线长定理 从 圆外一点可以引 圆的两条切线，
·P 它们的切线长相 等，这一点和圆 心的连线平分两 条切线的夹角。
已知：如图，P为⊙ O外一点，PA、PB为 ⊙ O的切线，A、B为切点，连结PO
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切圆,∠C
是直角,三边长分别是a,b,c. 求⊙O的半径r.
A D
abc
O
●┗
F
r
.B
┓
EC
2
(2)已知:如图,△ABC的面积为S,三边长分别为
a,b,c. 求内切圆⊙O的半径r.
A
D
F
O
●
┓
B
E
C
r 2S . S 1 ra b c.
abc
2
1.边长为3、4、5的三角形的内切圆的半径为——
（2）填空：AB+CD = AD+BC
A L B （>,<,=) 结论：圆的外切四边形的两组对边和相等。 比较圆的内接四边形的性质：
圆的内接四边形：角的关系
圆的外切四边形：边的关系
练习四 已知：△ABC是⊙O外切三角形，切点
为D，E，F。若BC＝14 cm ，AC＝9cm，AB＝
13cm。求AF，BD，CE。
A 16cm C 12cm
B 14cm D 8cm
AD
C
P
E B
例2、如图，过半径为6cm的⊙O外一点P作圆 的切线PA、PB，连结PO交⊙O于F，过F作 ⊙O切线分别交PA、PB于D、E，如果PO＝ 10cm， 求△PED的周长。
AD
OF
P
E B
数学探究 思考：连结AB，则AB与PO有怎样的位置关系？
E
B
O
13﹣x
D 9﹣x
13﹣x
C
随堂训练
1、如图，△ABC中,∠ ABC=50°，∠ACB=75 °, 点O 是△ABC的内心，求∠ BOC的度数。