浅谈高中生数学思维能力的培养
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关键词：高中生；数学思维；培养
数学知识是在不断发展的，因此，在高中数学教学中，不但要帮助学生学习基础知识、掌握方法，更重要的是培养学生的学习能力， 提高学生的数学素养。数学思维是以数学问题为载体，通过发现问题、解决问题的形式，达到对现实世界的空间形式和数量关系的本质的 一般性的认识的思维过程。新课程标准指出：高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。事实上，培 养学生的数学思维能力，有助于增强学生学习数学和运用数学的能力，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。数 学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。本文结合自己的教学实践，就如何培养数学思维能力谈几点体会。
浅谈高中生数学思维能力的培养
发表时间：2017-02-22T15:12:50.693Z 来源：《中学课程辅导●教学研究》2016年12月下 作者： 叶海丰
[导读] 数学思维能力是数学学科所独有的思维能力。
摘要：数学思维能力是数学学科所独有的思维能力。培养学生的数学思维能力是新课程标准的基本理念，也是数学教育的基本目标。 本文结合数学教学中的一些实践，谈谈在教学中如何培养学生的思维能力。
一、一题多解，培养思维的灵活性 有些问题，我们可以从不同的侧面用不同的方法求出其解，通过方法的变化，培养学生多角度分析问题的能力。 案例1.椭圆 的焦点是 ，椭圆上一点P满足 ，下面结论正确的是——( ) A.P点有两个 B.P点有四个 C.P点不一定存在 D.P点一定不存在 解法一：以 为直径构圆，知：圆的半径 ，即圆与椭来自百度文库不可能有交点。故选D 解法二：由题知 ，而在椭圆中： ， 不可能成立 故选D 解法三：由题意知当p点在短轴端点处 最大，设 ， 此时 为锐角，与题设矛盾。故选D 解法四：设 ，假设 ， 则 ，而 即： ，不可能。故选D 解法五：设圆方程为： 椭圆方程为： 两者联立解方程组得： 不可能,故圆 与椭圆 无交点 即 不可能垂直 ,故选D. 本例从不同角度看题设条件,从不同方向进行思考,这样就可以全面认识数学问题的本质,从而培养学生数学思维的灵活性. 二、一题多变，培养思维的发散性 在教学过程中，适时运用变式教学，有助于学生数学知识的灵活迁移，增强学生的辨析能力，激发学生的求知热情，有助于培养学生 的问题意识，提高学生的创新能力。所谓变式，广义地说，就是同一事物非本质属性的转换。从数学角度来说，就是对问题的条件或结论 进行适当的调整，或增减或转换，也可以对问题的呈现方式、表达形式进行适当的变化，还可以是解题思想方法，思维方法的变化。在研 究问题的过程中，为了揭示问题的本质属性，掌握解决问题的一般方法，我们常常通过对构成问题的各个要素进行局部的调整，得到形式 虽异而解法类似的一系列问题，不断强化学生对相关知识的理解和掌握。下面以三角函数值域的求法为例，谈谈发散性思维的培养. 例如在算法教学中有关算法结构和语句笔者也设计下列变式： 案例2.设计算法 变式1. 变式2. 变式3. 变式4. 变式5. 变式6.已知 ，当 时，求n的最大值。 通过以上的变式，让学生感悟出循环结构就象递推数列一样寻找相邻两步和关系，理解了循环结构的三要素是如何确定的。 三、多题一解，培养思维的深刻性 案例3. 在直线 上求一点M，使它到 、 的距离之和最小。 分析：(1)首先判断是在直线的同侧还是异侧。(2)若在同侧，先求出 (或 )关于L的对称点 ( )，再求直线 ( )所在的直线方程，与已知直 线方程联立，求出 点坐标。(3)若在异侧，只需求出 所在直线的方程，与已知直线方程联立，求出 点坐标。 解：令 ， , 所以 、 在直线同侧。设 关于 的对称点为 ，则利用对称知识得： 所以 所以 的方程为 y=3 由 得 所以 为所求的点。 案例4.光线从 发出，射到 轴上 点，经反射后射到圆C： 上，求光线经过的最短距离。 分析：求出点 关于轴的对称点 ，这个最短距离可转化为 到圆 的最短距离。即 减去圆的半径。由 的方程，可得 点坐标。 案例5.求 的最小值。 分析：这道题目用代数的方法来解决也比较困难。考虑到根号内的部分非常接近两点间的距离公式可如下整理、变形： 看作点 到点 , 的距离之和最小问题。由于点 , 在 轴同侧，可求 关于 轴的对称点 ，那么 与 之间的距离即为 的最小值。 以上三道题目，所使用的方法是一样的，就像同一个人穿了几套不同的衣服，其本质是考查用对称思想解题。通过多题一解的训练， 领会同一数学思想、数学方法在不同题目背景下的不同体现，能够加深对数学思想和方法的理解，促进数学能力和数学素养的提高。 思维发展心理学认为，思维是在实践活动中发生和发展的。注重问题引申的推广的教学活动中，学生由于被激发起好奇欲望、探索欲 望的创造欲望，所以他们就积极地去探索、去研究，并且将所获得的材料、信息在自己的大脑中进行“分析和综合、抽象和概括、归纳和类 比、实验和猜想、一般化和特殊化等一系列新的、高级的、复杂的思维操作”，而经过这样的一个过程，学生装不仅创造出新颖、独特的“产
品”，而且由于努力地、不断地去探索、去推广结论，久而久之就会自然养成爱探索问题的良好习惯，进而培养和发展学生的数学思维能 力。
(作者单位：浙江省乐清市芙蓉中学 325600)
数学知识是在不断发展的，因此，在高中数学教学中，不但要帮助学生学习基础知识、掌握方法，更重要的是培养学生的学习能力， 提高学生的数学素养。数学思维是以数学问题为载体，通过发现问题、解决问题的形式，达到对现实世界的空间形式和数量关系的本质的 一般性的认识的思维过程。新课程标准指出：高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。事实上，培 养学生的数学思维能力，有助于增强学生学习数学和运用数学的能力，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。数 学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。本文结合自己的教学实践，就如何培养数学思维能力谈几点体会。
浅谈高中生数学思维能力的培养
发表时间：2017-02-22T15:12:50.693Z 来源：《中学课程辅导●教学研究》2016年12月下 作者： 叶海丰
[导读] 数学思维能力是数学学科所独有的思维能力。
摘要：数学思维能力是数学学科所独有的思维能力。培养学生的数学思维能力是新课程标准的基本理念，也是数学教育的基本目标。 本文结合数学教学中的一些实践，谈谈在教学中如何培养学生的思维能力。
一、一题多解，培养思维的灵活性 有些问题，我们可以从不同的侧面用不同的方法求出其解，通过方法的变化，培养学生多角度分析问题的能力。 案例1.椭圆 的焦点是 ，椭圆上一点P满足 ，下面结论正确的是——( ) A.P点有两个 B.P点有四个 C.P点不一定存在 D.P点一定不存在 解法一：以 为直径构圆，知：圆的半径 ，即圆与椭来自百度文库不可能有交点。故选D 解法二：由题知 ，而在椭圆中： ， 不可能成立 故选D 解法三：由题意知当p点在短轴端点处 最大，设 ， 此时 为锐角，与题设矛盾。故选D 解法四：设 ，假设 ， 则 ，而 即： ，不可能。故选D 解法五：设圆方程为： 椭圆方程为： 两者联立解方程组得： 不可能,故圆 与椭圆 无交点 即 不可能垂直 ,故选D. 本例从不同角度看题设条件,从不同方向进行思考,这样就可以全面认识数学问题的本质,从而培养学生数学思维的灵活性. 二、一题多变，培养思维的发散性 在教学过程中，适时运用变式教学，有助于学生数学知识的灵活迁移，增强学生的辨析能力，激发学生的求知热情，有助于培养学生 的问题意识，提高学生的创新能力。所谓变式，广义地说，就是同一事物非本质属性的转换。从数学角度来说，就是对问题的条件或结论 进行适当的调整，或增减或转换，也可以对问题的呈现方式、表达形式进行适当的变化，还可以是解题思想方法，思维方法的变化。在研 究问题的过程中，为了揭示问题的本质属性，掌握解决问题的一般方法，我们常常通过对构成问题的各个要素进行局部的调整，得到形式 虽异而解法类似的一系列问题，不断强化学生对相关知识的理解和掌握。下面以三角函数值域的求法为例，谈谈发散性思维的培养. 例如在算法教学中有关算法结构和语句笔者也设计下列变式： 案例2.设计算法 变式1. 变式2. 变式3. 变式4. 变式5. 变式6.已知 ，当 时，求n的最大值。 通过以上的变式，让学生感悟出循环结构就象递推数列一样寻找相邻两步和关系，理解了循环结构的三要素是如何确定的。 三、多题一解，培养思维的深刻性 案例3. 在直线 上求一点M，使它到 、 的距离之和最小。 分析：(1)首先判断是在直线的同侧还是异侧。(2)若在同侧，先求出 (或 )关于L的对称点 ( )，再求直线 ( )所在的直线方程，与已知直 线方程联立，求出 点坐标。(3)若在异侧，只需求出 所在直线的方程，与已知直线方程联立，求出 点坐标。 解：令 ， , 所以 、 在直线同侧。设 关于 的对称点为 ，则利用对称知识得： 所以 所以 的方程为 y=3 由 得 所以 为所求的点。 案例4.光线从 发出，射到 轴上 点，经反射后射到圆C： 上，求光线经过的最短距离。 分析：求出点 关于轴的对称点 ，这个最短距离可转化为 到圆 的最短距离。即 减去圆的半径。由 的方程，可得 点坐标。 案例5.求 的最小值。 分析：这道题目用代数的方法来解决也比较困难。考虑到根号内的部分非常接近两点间的距离公式可如下整理、变形： 看作点 到点 , 的距离之和最小问题。由于点 , 在 轴同侧，可求 关于 轴的对称点 ，那么 与 之间的距离即为 的最小值。 以上三道题目，所使用的方法是一样的，就像同一个人穿了几套不同的衣服，其本质是考查用对称思想解题。通过多题一解的训练， 领会同一数学思想、数学方法在不同题目背景下的不同体现，能够加深对数学思想和方法的理解，促进数学能力和数学素养的提高。 思维发展心理学认为，思维是在实践活动中发生和发展的。注重问题引申的推广的教学活动中，学生由于被激发起好奇欲望、探索欲 望的创造欲望，所以他们就积极地去探索、去研究，并且将所获得的材料、信息在自己的大脑中进行“分析和综合、抽象和概括、归纳和类 比、实验和猜想、一般化和特殊化等一系列新的、高级的、复杂的思维操作”，而经过这样的一个过程，学生装不仅创造出新颖、独特的“产
品”，而且由于努力地、不断地去探索、去推广结论，久而久之就会自然养成爱探索问题的良好习惯，进而培养和发展学生的数学思维能 力。
(作者单位：浙江省乐清市芙蓉中学 325600)