专题03 数列与数学文化-高考中的数学文化试题 (解析版)

专题03 数列与数学文化

纵观近几年高考，数列以数学文化为背景的问题，层出不穷，让人耳目一新。同时它也使考生们受困于背景陌生，阅读受阻，使思路无法打开。本专题通过对典型高考问题的剖析、数学文化的介绍、及精选模拟题的求解，让考生提升审题能力，增加对数学文化的认识，进而加深对数学文理解，发展数学核心素养。

【例1】 (2018北京) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这 个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ） A 32

B 322

C ．1252

D ．1272

【答案】D

【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122 率为f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为122的等比数列，记为

{}n a ，则第八个单音频率为128171282)2a f -=⋅=，故选D ．

【试题赏析】本题以《律学新说》中的“十二平均律”为背景，考查等比数列的应用，既考查了等比数列的相关知识，又展示了我国古代在音乐、数学、天文等方面的成就．

【例2】（2017新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍 加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一 层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 【答案】B

【解析】设塔顶共有灯1a 盏，根据题意各层等数构成以1a 为首项，2为公比的等比数列，

∴77171(12)

(21)38112

a S a -=

=-=-，解得13a =．选B ． 【试题赏析】《算法统宗》是由明代数学家程大位写的数学巨著，它是一部应用数学书， 反映了中华文明源远流长，中国古代为世界数学做出了杰出的贡献。

【例3】（2017新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学 的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知 数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是02，接下来的两项是02，

12，再接下来的三项是02，12，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前

N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）

A ．440

B ．330

C ．220

D ．110 【答案】A

【解析】对数列进行分组如图

则该数列前k 组的项数和为(1)

1232

k k k ++++⋅⋅⋅+= 由题意可知100N >，即

(1)

1002

k k +>，解得14k ≥，n ∈*N 即N 出现在第13组之后．

又第k 组的和为

122112

k

k -=--，前k 组的和为 1(12)(122)k +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+12(21)(21)(21)k =-+-+⋅⋅⋅+- 12(222)k k =++⋅⋅⋅+-122k k +=--，

设满足条件的的N 在第1k +(k ∈*

N ,13k ≥)组，且第N 项为第1k +的第m ()m ∈*

N 个数，第1k +组的

前m 项和为21

1222

m -+++⋅⋅⋅+21m =-，

要使该数列的前N 项和为2的整数幂，

即21m

-与2k --互为相反数，即212m k -=+，所以23m

k =-，

由14k ≥，所以2314m -≥，则5m ≥，此时52329k =-=

k

321

∙∙∙，

22

2121，2k 22，21，20，20，20，20

对应满足的最小条件为29(291)

54402

N +=

+=，故选A ． 【试题赏析】本题以富有时代气息的大学生创业为背景，通过阅读分析，综合运用等差等比数列知识，进行解决。

【例4】（2016上海高考）小明用数列{}n a 记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为： 当第k 天下过雨时，记1k a =，当第k 天没下过雨时，记1(131)k a k =-，他用数列{}n b 记录该地区该月每 天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记1n b =，当预报第k 天没有雨时，记1n b =-记录 完毕后，小明计算出112233313125a b a b a b a b +++⋯+=，那么该月气象台预报准确的总天数为 ． 【解析】由题意，气象台预报准确时1k k a b =，不准确时1k k a b =-， 112233313125283a b a b a b a b +++⋯+==-，

∴该月气象台预报准确的总天数为28．

【试题赏析】本题考查数列知识的运用，考查利用数学知识解决实际问题的能力．

1．《九章算术》

《九章算术》大约成书于公元一世纪，是中国古代第一部数学著作，是“算经十书”中最重要的一种．《九章算术》共收有246个与生产实践有联系的应用题，包括问、答和求三部分，并配有插图，分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股等九章．《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作，其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造，“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则． 2．《算法统宗》

《算法统宗》是由明代数学家程大位(公元1533—公元1606年)经过数十年的努力，于公元1592年60岁时写成的数学巨著．《算法统宗》是一部应用数学书，以珠算为主要的计算工具，共17卷，有595个应用题．

1. (2019合肥模拟)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言．”题意是：把996斤绵分给8个儿子做盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ）