x63连续性原理伯努利方程

§6.3连续性原理伯努利方程

三、伯努利方程及其应用

把机械能守恒定律应用于理想不可压缩流体在细流管中的定常流动。

理想流体中作用于流体面元∆S上的压强与∆S的取向无关。

2

横截面S1,S2。

∆t时间内

（1）S1,S2移动距离

∆ 1=v1∆t,∆ 2=v2∆t

连续性原理∆m=ρ1S1∆ 1

=ρ2S2∆ 2

4

（2）动能增量∆E k=1

2

(v2

2

−v2

1

)∆m

（3）重力势能增量

∆E p=g(h2−h1)∆m

5

（4）外力p1S1,p2S2作功

A1=p1S1·∆ 1=p1

ρ1

∆m

A2=−p2S2·∆ 2=−p2

ρ2

∆m

6

机械能守恒（相邻流层之间的相对运动不产生能量损耗）：

A1+A2=∆E k+∆E p

p1ρ1+

1

2

v2

1

+gh1=

p2

ρ2

+

1

2

v2

2

+gh2

p ρ+

v2

2

+gh=常量（沿同一流线）

8

特殊情形

（1）v1=v2时

p2=p1+ρg(h1−h2)

重力势能减小不产生动能（2）流线上两点p1=p2时

1 2v2

2

+gh2=

1

2

v2

1

+gh1

10

11

大气压p0

液面下降速度u≈0

p0ρ+

u2

2

+gh=

p0

ρ

+

v2

2

12

v=

2gh

Qτ=

vS

考虑截面收缩Qτ=αvS

14

例2：虹吸现象

15

例3：文丘里流量计

管筒，S1；

收缩的管颈，S2；

流体密度ρ不变

连续性方程：Qτ=S1v1=S2v2

p1+1

2

ρv2

1

=p2+

1

2

ρv2

2

压强差：p1−p2=(ρ −ρ)gh

17

Qτ=S1S2

2(p1−p2)

ρ(S21−S22)

例4：皮托管流速计

气体ρ；

管中液体ρ1

；

驻点：流场中速度为零的点

19

U形管中液面高差h

流速v=

2ρ1gh

ρ

20

§6.4粘性流体的流动

层流运动，粘性切应力

f =µdu

dy

21

一、泊肃叶公式

水平圆管中不可压缩流体定常流动，两端压强p1,p2

22

水平圆管中不可压缩流体定常流动，两端压强p1,p2

考虑到对称性v=v(r)。

取长 的空心柱体，受力分析：

23

内侧面受粘性力

f1=−2πr µdv dr

r

外侧面受粘性力

f2=2πr µdv

dr

r+dr

24

粘性力之合力

d f=

d

dr

2πr µ

dv

dr

dr

定常流动，受力平衡

(p1−p2)·2πrdr+d f=0

d(r dv

dr

)+

p1−p2

µ

rdr(1)

26

定常流动，受力平衡

(p1−p2)·2πrdr+d f=0

d(r dv

dr

)+

p1−p2

µ

rdr=0(1)

附加条件r=0,dv

dr

=0

r=R,v=0

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积分（1）式得流速分布

v(r)=p1−p2

4 µ

(R2−r2)

质量流量

Q m=

R

ρv·2πrdr

=πρ(p1−p2)R4

8 µ

外加压强差用于克服粘性阻力

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二、斯托克斯公式

粘性流体中，小球体缓慢运动，Re<1，受到粘性阻力

f=6πrµv

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三、粘滞流体的运动复杂多样性

低Re数，层流⇒高Re数，湍流；例如圆柱绕流

31

32

作业7(p190)：

1，3，5，6，7，9，11 12，13，15，16，17

33

第七章振动

某物理量随时间周而复始的往复运动，统称为振动

分类：

(1)振动规律：简谐与非简谐振动

(2)系统结构：线性与非线性振动

(3)能量输入：自由、受迫、自激、参变振动

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