泰勒公式在高考试题中的命制分析
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
此 ,要使(a + l > 最大,则需 6 > 0•由(* * ) 式解得% =
ln(a + l ) , 6 = (a + 1) - (a +
( i ) 求/(x ) 的 解 析 式 及 单 调 区 间 ;(n ) 若
/(%) &
+ CW:+ 6 ,求( a + 1 ) 6 的最大值_
解 析 :(1 )由已知 得/ b ) + x ,所以/ ( I ) = / ( 1 ) - / ( 0 ) + 1 ,即/ ( 0 ) = 1•又 /(〇) z / CUe —1,所 以 /(I ) = e ,所以/(a:)
( II ) / ( x ) ^
+ ax ^
^ (a +
+
I n - 1 + … ),这是估算自然对数的重要公式.因此,
6( * ) 恒 成 立 . (* ) 式的命题背景解析:以/ “ )= Z 在;I;= %。处的泰勒展开式, = 一 ( 1 + (% - %。)+
1 ^ 2!
wenku.baidu.com
1! + … + 1^
命^
2 4 % = y ,则可得 ln2 = 2 ( y + ^ :+
— + •••) « 〇. 693.
i5
>
变 式 2 (2〇15年北京卷理科18题 )已知函数
f {x ) = l n p ^.
( I ) 求曲线/(X) 在 点 (0 ,/(0 ) ) 处的切线方
程 ;(H ) 求证:当X e (〇,1 ) 时 ,Z U ) > 2 U + ^ ) ;
_x
r
(7) (8 ) 证明略去. 如图3,当 切 点 移 动 到
优弧^(除圆与坐标轴交点
J5 Vq
AKB \
X
\\
"O
?
// \ \ ,it e p
A
J
以外)上 任 意 一 点 时 ,以上结
图3
论仍然成立.
泰勒公式在局考试题中的命制分析
福 建 省 泉 州 市 第 七 中 学 (362000) 彭耿於
22
中学数学研究
2019年第2 期
mr + nr - r 2 m
r2 m nr ,所以 P C + CM + MA
+ r + - — mn
r2 - mr _ mnr - mr2 - n r 2
m 3 r2
(t * )\
将 ( 的¥ 互换,得 忐 + 忐 + 忐
mnr - mr - nr2 + r3 r2 : • 所 以 死 + 亟
n
m
_2 mr
_2 - nr
n
m、 1
r- m
r -71 )
r
mn - n ( r - n ) - m (r - m ) (r - 7n) ( r - n )
mn - nr - mr + m2 + n2 1
(r - m ) (r - ti)
r
(r - mn - nr - mr + 广2 m) (r - n)
证 明 :将 PC = 一 _ 狀 和乂ilf = r' ~ mr 中
m
n
互换,分 别 得 到 仙 =
=
n
t j ,所以
m
P C = N B ,P D = AM.
(3)(4 )(5) 显然可得,下面证明结论(6 ).
111
证 明 : r MA PC
111 DN PD NB
mnr - mr
丄(.
厂2 + r3 r〇
n\
1 :+ …)为背景,取前两项
可 得 多 e% + e% ( 1 - %。),而右边正是;x = e% 在 %
= % 处的切线方程的表达式,故切线的斜率ft = e%°
= a + 1 ,b = ex〇( l -^〇)(* *).
如 图 可 知 ,(* ) 式恒成 立 ,必 须 a + 1 = ,〇> 〇,因
泰勒定理:函数/(«〇在点%。处的泰勒展开式为
f (x ) = f (x0) + f (x0)(x - x0) + 2 !。 ( x - x0) 2 +
■■■+ ’ ra(〔〇) ( x - x0) n + 〇(( x - x0)n).
例 1 (2〇l 2 新 课 标 I 卷理科21 题)已知函数
/ 〇 ) 满足/ O ) = / ( 1 ) ^ -/(〇 )*+ ^ 2.
+
故/ (% ) = 6 * - 1 + x ,故当 * e (-〇〇,0 ) 时,
/ ( x ) < 0 ,当x e (0 , + x ) 时,/(%) >〇•所以/(幻
2019年第2 期
中学数学研究
23
的单调递减区间为( - I ,0 ) ,单调递 增区间 为(0 , + 〇〇).
n
两式相减得l n\f ^- x 2 ( ^ + y + y + •••+
近年来,国家高考试卷中带有高等数学背景的 压 轴 题 经 常 出 现 , 这 主 要 源 于 两 个 因 素 :一是高考试 题 要 考 查 学 生 的 创 新 学 习 能 力 ,这 就 需 要 有 一 个 比
较 公 平 又 有 区 分 度 的 知 识 背 景 ,而 高 等 数 学 的 一 些 内 容 可 以 通 过 初 等 数 学 的 方 法 和 手 段 解 决 ,是考 查 学 生 进 一 步 学 习 高 等 数 学 潜 能 的 良 好 素 材 ;二是高 考 命 题 组 成 员 为 大 学 老 师 ,他 们 在 命 题 时 受 自 身 研 究高数背景的影响,因此一些具有高等数学倾向的 问 题 逐 步 走 进 高 考 . 事 实 上 高 等 数 学 中 “泰 勒 公 式 ” 经常通过改编而成为高考试题、各地模拟质检的压 轴 题 目 ,从而考查 学 生 的 数 学 学 科 素 养 . 本 文 特 精 选 几道以“泰勒公式”为背景的高考压轴题进行分析, 希望读者有所启示,并预祝能在高考中胜出!
丄 =丄
1 + $ . 我 们 观 察 到 CM
MA = P D + 诵
+ r mnr
-
mr2
-
n r2
,
3
'3 是 一 个 关 于 的 轮 换 式 ,再
mn
由 和 C P 的代数特征,可以得出如下的结论:
⑴ CM = D N ;
(2 )P C = N B ,P D = A M -
(3 )P C + A M = P D + B N ;
1l
ll
{4 )pc + m a = pd + W '
(5 )P C ■AM = PD ■B N ;
1
11
1111
K J CM MA PC DN PD NB r ;
(^ )^AOBQ * ^APQC = ^AOAQ * ^APQD ; SAqBN •SAqAM = SAqPC •SAqPD.
( 1 ) 显然可得,下面证明结论(2).