复合材料层合梁和夹层梁屈曲问题数值分析
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摘 要：该文基于锯齿理论构造了两节点梁单元，并用此单元分析了软核夹层梁屈曲问题。该文使用的锯齿理论 能够预先满足层间应力连续条件，并且未知变量的个数独立于层合梁的层数。为了说明锯齿理论的准确性，Reddy 理论和一阶理论也被选择作为比较。数值结果表明：基于锯齿理论构造的梁单元能够准确的预测软核夹层梁的临 界载荷，然而 Reddy 理论和一阶理论明显高估了此结构临界载荷。 关键词：固体力学；复合材料；锯齿理论；软核夹层梁；两节点梁单元 中图分类号：O343.8; V214.8 文献标识码：A
uk (x, y, z) = u0 (x, y) + zu1(x, y) + z2u2 (x, y) +
———————————————
收稿日期：2009-10-09；修改日期：2010-04-01 基金项目：国家自然科学基金项目(10802052) 作者简介：*邹爱丽(1979―)，女，黑龙江人，讲师，硕士，主要从事壳体结构动力学与稳定性能的相关研究(E-mail: zouaili0412@163.com)；
度，它们是： D&D[12]：基于混合 Layerwise 理论，Dafedar 和 Desai[12]给出的解析解。此理论是准三维理论，因此 本文采用此结果作为参考解。 K&P[13]：基于三阶理论，Kant 和 Patil[13]给出的解 析解。这是一个典型软核夹层梁压缩稳定问题，
表 2 给出了基于各种理论计算的结果对比。结果表 明 ， 基 于 锯 齿 理 论 的 有 限 元 (ZZT) 结 果 与 混 合 Layerwise 理论结果符合的很好，然而其它理论明 显高估了软核夹层梁临界载荷。
(9)
e
e
其中：λ 为待求的临界载荷；Γ 为位移列阵；K e 为
单元刚度矩阵，可表示为：
∑∫ ∫ N
Ke =
i=1
zi (
zi −1
BTQiBdx) dz
(10)
K
e G
为单元几何刚度矩阵，可表示为：
∫ K
wenku.baidu.com
e G
=
GT NGdv
Ve
(11)
其中：
G = ⎧⎨0 ⎩
∂F1 ∂x
0
∂Fx1 ∂x
0
∂F2 ∂x
ZZTC (24)：基于锯齿理论，本文给出的有限元解， 整梁被剖分 24 个单元。 Reddy：基于 Reddy 理论[6]，本文给出的有限元解。 FSDT：基于一阶理论[7]，本文给出的有限元解，修 正系数 5/6 被使用。
为了验证本文构造单元性能，本文首先分析各
G12 = 0.266GPa ，ν12 = 1×10−5 无量刚临界载荷为： Nx = λL2 / E2 f h3 。下面参考解用于检验本文单元精
快，采用 12 个单元就已经收敛了。为了保证结果 的准确性，本文采用 24 个单元分析问题。 例 2. 三层软核夹层梁压缩稳定问题。 x = 0 和
根据线性应变-位移关系，第 k 层应变为：
⎧⎪ε ⎨ ⎪⎩ε
k x
k xz
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
=
[∂
]
⎪⎧ ⎨ ⎪⎩
uk wk
⎪⎫ ⎬ ⎪⎭
= [∂]Lku Du
=
B{δ
e}
(8)
⎡∂
其中：
[∂
]
=
⎢ ⎢
∂x
⎢∂
⎢⎣ ∂z
0
⎤ ⎥
∂
⎥；B ⎥
= [B1
∂x ⎥⎦
B2 ] ；
Bi =
⎡ ⎢ ⎢
∂Ni ∂x
⎢
利用形函数，位移可以表示为[11]：
Du = Nδ e
(7)
其中：
⎡N1 0 0 0 N2 0 0 0 ⎤
⎢ ⎢
0
F1
0
Fx1
0
F2
0
Fx 2
⎥ ⎥
N =⎢0
⎢
⎢ ⎢⎣
0
0 N1 0
∂F1 0 ∂Fx1
∂x
∂x
0 0
0
∂F2 ∂x
N2 0
0 ⎥；
∂Fx2
⎥ ⎥
∂x ⎥⎦
F1 = (2 + ξ )(1 − ξ )2 / 4 ； F2 = (2 − ξ )(1 + ξ )2 / 4 ；
element
复合材料具有轻质高强、材料可设计性、耐高 问题，基于整体型高阶理论计算的结果精度非常
温和隐身性能等特点。由于其优良的力学物理性 低。本文尝试采用基于锯齿理论[10]构造的两节点层
能，各种先进的复合材料层合结构已经广泛用于航 合梁单元分析此类问题。锯齿理论特点是预先满足
空航天、船舶工程、建筑工程、车辆制造工业和机 横向剪切应力和面内位移沿板厚度方向层间连续。
BUCKLING ANALYSIS OF LAMINATED COMPOSITE AND SANDWICH BEAMS
*ZOU Ai-li , REN Xiao-hui , QIN Zheng-qi
(School of Aeronautics and Astronautics, Shenyang Institute of Aeronautical Engineering, Shenyang, Liaoning 110136, China)
Abstract: Based on the zig-zag theory, a two-node beam element is constructed. Moreover, this element is used to analyze the buckling problems of soft-core sandwich beams. The zig-zag theory used herein can become a priori condition for satisfying interlaminar continuity of transverse shear stresses, and the total number of unknowns is independent of the layer number of laminated beams. At the same time, Reddy’s theory as well as first-order theory is chosen for comparison. Numerical results show that beam element based on zig-zag theory is able to accurately predict critical loads of soft-core sandwich beams. However, Reddy’s theory and first-order theory obviously overestimate the buckling response of the special structures. Key words: solid mechanics; composite material; zig-zag theory; soft-core sandwich beam; two-node beam
第 28 卷第 4 期 Vol.28 No.4
工程力学
2011 年 4 月 Apr. 2011
ENGINEERING MECHANICS
134
文章编号：1000-4750(2011)04-0134-04
复合材料层合梁和夹层梁屈曲问题数值分析
*邹爱丽，任晓辉，秦政琪
(沈阳航空工业学院航空宇航工程学院，辽宁，沈阳 110136)
械工程等不同领域。为了有效地分析复合材料层合 结构的静力、动力和稳定问题，各国学者已经发展 了大量的复合材料层合板理论[1―7]。已有的研究表 明[1,3]，对于一般的层合结构稳定问题，整体型高阶
1 锯齿理论及两节点层合梁单元
1.1 锯齿理论 本文使用锯齿理论[10]的初始位移模式为：
理论甚至一阶理论能够给出非常准确的结果。然 而，最近的研究[8―9]表明：对于软核夹层结构屈曲
⎢0
⎢⎣
φ2k
∂2 Fi ∂x2
⎛ ⎜1+ ⎝
∂φ2k ∂z
⎞ ⎟ ⎠
∂Fi ∂x
φ1k
∂Ni ∂x
Ni
∂φ1k ∂z
⎛ ⎜1 ⎝
φ2k
∂2 Fxi ∂x2
+
∂φ2k ∂z
⎞ ⎟ ⎠
∂Fxi ∂x
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
，
i=1―2。
将式(7)和式(8)代入式(5)，整理后可以写成下
列特征值问题：
( ) ∑ ∑ K e − λ KGe Γ = 0
3
5.9721 5.9568 (12) 6.3708 (12) 7.1395(12)
5.9817 (6) 6.3736 (6) 7.1398 (6)
4.0087 (24) 5.2126 (24) 5.2002 (24)
4
3.9626 4.0135 (12) 5.2156 (12) 5.2019 (12)
任晓辉(1977―)，女，黑龙江人，讲师，硕士，主要从事复合材料结构力学研究(E-mail: xiaohuiren2002@yahoo.com.cn)； 秦政琪(1974―)，男，辽宁人，副教授，硕士，主要从事飞机装配工艺、柔性工装设计的研发(E-mail: qinzhengqi1974@163.com).
1.2 有限元分析
层合梁的势能可表示为：
∫ U = 1 εTQ ε dv v2
(3)
外力做功的增量为：
∫ δW =
v
Nx
∂w δ ∂x
⎛ ⎜⎝
∂w ∂x
⎞ ⎟⎠
dv
(4)
将式(3)和式(4)代入最小势能原理：
δU −δW =
∫ ∫ δ
1 εTQ ε dv − v2
v
Nx
∂w δ ∂x
⎛ ⎜⎝
∂w ∂x
表 1 无量纲临界载荷比较，L/h=5 Table 1 Comparison of the nondimensional critical load
(L/h=5)
层次
HSDT-98[3]
ZZTC
Reddy
FSDT
5.9506 (24) 6.3702 (24) 7.1394(24)
种层数层合梁稳定问题。表 1 在给出基于各种理论 计算的临界载荷对比的同时也给出了基于各种理 论单元收敛率。结果表明，本文构造的单元收敛很
为常数，但是推导过程与文献[10]相同。应用横向
剪切应力连续条件和自由表面条件，此理论最终位
移表达式为：
uk = u0 + φ1k (z)u3 + φ2k w0,x ,
wk = w0。
(2)
其中，φik 的表达式见附录。
z
x
zn
zn−1
zn−2 h
#
z1 z0 图 1 复合材料层合梁截面示意图 Fig.1 Schematic diagram for laminated beam segment
0
∂Fx2 ∂x
⎫ ⎬ ⎭
；
N = Nx ； Nx 为正压力。
2 数值算例
为了检验构造单元的性能，本文分析了两个典 型层合梁压缩稳定问题。 例 1. 对边简支层合梁[ 0° / 90° / 0°" ]压缩稳定问
136
工程力学
题。材料常数为： E2 = E3 = 106 GPa ； E1 = 25E2 ； G12 = G13 = 0.5E2 ； G23 = 0.2E2 ；ν12 =ν13 =ν 23 = 0.25。其中：下标 1 表示平行纤维的方向；下标 2 和下标 3 表示垂直纤维的方向。无量刚临界载荷为： Nx = 12L2λ / (π2E2h2 ) 。其中： L 为梁的长度；h 为 梁 的 厚 度 。 边 界 条 件 ： u0 = w0 = 0 ( x = 0 ) ； w0 = 0 ( x = L )。本文选择了 x = L 几个参考解用于 检验本文单元特性，它们是： HSDT-98：基于九阶理论[3]，Matsunaga 给出的解 析解。
⎞ ⎟⎠
dv
=
0
(5)
其中：ε = {ε x γ xy}T ；Q 为材料转换刚度矩阵；Nx
为正压力。式(2)的锯齿理论可以进一步写为：
⎧⎪uk (x, z)⎫⎪
⎨ ⎪⎩
wk (x)
⎬ ⎪⎭
=
Lku
Du
(6)
其中：
Lku
=
⎡1 ⎢ ⎣0
0 φ1k 10
φ2k
⎤ ⎥
；
0⎦
Du = [u0 w0 u3 w0,x ] 。
Fx1 = le (1 − ξ )2 (1 + ξ ) / 4 ； Fx2 = −le (1 − ξ )(1 + ξ )2 ；
N1 = (1 − ξ ) / 2 ； N2 = (1 + ξ ) / 2 ；le = (x2 − x1) / 2 ；
δ
e i
={u0i
w0i
u3i
w0,xi}T； xi 是节点坐标，i=1―2。
工程力学
135
k −1
∑ z3u3 (x, y) + Sxi (z − zi )H (z − zi ) ， i =1
wk (x, y, z) = w0 (x, y) 。
(1)
这里： H (z − zi ) 为 Heaviside 函数； zi 为层间横向
坐标，见图 1。应当指出这里横向位移沿厚度方向
uk (x, y, z) = u0 (x, y) + zu1(x, y) + z2u2 (x, y) +
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收稿日期：2009-10-09；修改日期：2010-04-01 基金项目：国家自然科学基金项目(10802052) 作者简介：*邹爱丽(1979―)，女，黑龙江人，讲师，硕士，主要从事壳体结构动力学与稳定性能的相关研究(E-mail: zouaili0412@163.com)；
度，它们是： D&D[12]：基于混合 Layerwise 理论，Dafedar 和 Desai[12]给出的解析解。此理论是准三维理论，因此 本文采用此结果作为参考解。 K&P[13]：基于三阶理论，Kant 和 Patil[13]给出的解 析解。这是一个典型软核夹层梁压缩稳定问题，
表 2 给出了基于各种理论计算的结果对比。结果表 明 ， 基 于 锯 齿 理 论 的 有 限 元 (ZZT) 结 果 与 混 合 Layerwise 理论结果符合的很好，然而其它理论明 显高估了软核夹层梁临界载荷。
(9)
e
e
其中：λ 为待求的临界载荷；Γ 为位移列阵；K e 为
单元刚度矩阵，可表示为：
∑∫ ∫ N
Ke =
i=1
zi (
zi −1
BTQiBdx) dz
(10)
K
e G
为单元几何刚度矩阵，可表示为：
∫ K
wenku.baidu.com
e G
=
GT NGdv
Ve
(11)
其中：
G = ⎧⎨0 ⎩
∂F1 ∂x
0
∂Fx1 ∂x
0
∂F2 ∂x
ZZTC (24)：基于锯齿理论，本文给出的有限元解， 整梁被剖分 24 个单元。 Reddy：基于 Reddy 理论[6]，本文给出的有限元解。 FSDT：基于一阶理论[7]，本文给出的有限元解，修 正系数 5/6 被使用。
为了验证本文构造单元性能，本文首先分析各
G12 = 0.266GPa ，ν12 = 1×10−5 无量刚临界载荷为： Nx = λL2 / E2 f h3 。下面参考解用于检验本文单元精
快，采用 12 个单元就已经收敛了。为了保证结果 的准确性，本文采用 24 个单元分析问题。 例 2. 三层软核夹层梁压缩稳定问题。 x = 0 和
根据线性应变-位移关系，第 k 层应变为：
⎧⎪ε ⎨ ⎪⎩ε
k x
k xz
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
=
[∂
]
⎪⎧ ⎨ ⎪⎩
uk wk
⎪⎫ ⎬ ⎪⎭
= [∂]Lku Du
=
B{δ
e}
(8)
⎡∂
其中：
[∂
]
=
⎢ ⎢
∂x
⎢∂
⎢⎣ ∂z
0
⎤ ⎥
∂
⎥；B ⎥
= [B1
∂x ⎥⎦
B2 ] ；
Bi =
⎡ ⎢ ⎢
∂Ni ∂x
⎢
利用形函数，位移可以表示为[11]：
Du = Nδ e
(7)
其中：
⎡N1 0 0 0 N2 0 0 0 ⎤
⎢ ⎢
0
F1
0
Fx1
0
F2
0
Fx 2
⎥ ⎥
N =⎢0
⎢
⎢ ⎢⎣
0
0 N1 0
∂F1 0 ∂Fx1
∂x
∂x
0 0
0
∂F2 ∂x
N2 0
0 ⎥；
∂Fx2
⎥ ⎥
∂x ⎥⎦
F1 = (2 + ξ )(1 − ξ )2 / 4 ； F2 = (2 − ξ )(1 + ξ )2 / 4 ；
element
复合材料具有轻质高强、材料可设计性、耐高 问题，基于整体型高阶理论计算的结果精度非常
温和隐身性能等特点。由于其优良的力学物理性 低。本文尝试采用基于锯齿理论[10]构造的两节点层
能，各种先进的复合材料层合结构已经广泛用于航 合梁单元分析此类问题。锯齿理论特点是预先满足
空航天、船舶工程、建筑工程、车辆制造工业和机 横向剪切应力和面内位移沿板厚度方向层间连续。
BUCKLING ANALYSIS OF LAMINATED COMPOSITE AND SANDWICH BEAMS
*ZOU Ai-li , REN Xiao-hui , QIN Zheng-qi
(School of Aeronautics and Astronautics, Shenyang Institute of Aeronautical Engineering, Shenyang, Liaoning 110136, China)
Abstract: Based on the zig-zag theory, a two-node beam element is constructed. Moreover, this element is used to analyze the buckling problems of soft-core sandwich beams. The zig-zag theory used herein can become a priori condition for satisfying interlaminar continuity of transverse shear stresses, and the total number of unknowns is independent of the layer number of laminated beams. At the same time, Reddy’s theory as well as first-order theory is chosen for comparison. Numerical results show that beam element based on zig-zag theory is able to accurately predict critical loads of soft-core sandwich beams. However, Reddy’s theory and first-order theory obviously overestimate the buckling response of the special structures. Key words: solid mechanics; composite material; zig-zag theory; soft-core sandwich beam; two-node beam
第 28 卷第 4 期 Vol.28 No.4
工程力学
2011 年 4 月 Apr. 2011
ENGINEERING MECHANICS
134
文章编号：1000-4750(2011)04-0134-04
复合材料层合梁和夹层梁屈曲问题数值分析
*邹爱丽，任晓辉，秦政琪
(沈阳航空工业学院航空宇航工程学院，辽宁，沈阳 110136)
械工程等不同领域。为了有效地分析复合材料层合 结构的静力、动力和稳定问题，各国学者已经发展 了大量的复合材料层合板理论[1―7]。已有的研究表 明[1,3]，对于一般的层合结构稳定问题，整体型高阶
1 锯齿理论及两节点层合梁单元
1.1 锯齿理论 本文使用锯齿理论[10]的初始位移模式为：
理论甚至一阶理论能够给出非常准确的结果。然 而，最近的研究[8―9]表明：对于软核夹层结构屈曲
⎢0
⎢⎣
φ2k
∂2 Fi ∂x2
⎛ ⎜1+ ⎝
∂φ2k ∂z
⎞ ⎟ ⎠
∂Fi ∂x
φ1k
∂Ni ∂x
Ni
∂φ1k ∂z
⎛ ⎜1 ⎝
φ2k
∂2 Fxi ∂x2
+
∂φ2k ∂z
⎞ ⎟ ⎠
∂Fxi ∂x
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
，
i=1―2。
将式(7)和式(8)代入式(5)，整理后可以写成下
列特征值问题：
( ) ∑ ∑ K e − λ KGe Γ = 0
3
5.9721 5.9568 (12) 6.3708 (12) 7.1395(12)
5.9817 (6) 6.3736 (6) 7.1398 (6)
4.0087 (24) 5.2126 (24) 5.2002 (24)
4
3.9626 4.0135 (12) 5.2156 (12) 5.2019 (12)
任晓辉(1977―)，女，黑龙江人，讲师，硕士，主要从事复合材料结构力学研究(E-mail: xiaohuiren2002@yahoo.com.cn)； 秦政琪(1974―)，男，辽宁人，副教授，硕士，主要从事飞机装配工艺、柔性工装设计的研发(E-mail: qinzhengqi1974@163.com).
1.2 有限元分析
层合梁的势能可表示为：
∫ U = 1 εTQ ε dv v2
(3)
外力做功的增量为：
∫ δW =
v
Nx
∂w δ ∂x
⎛ ⎜⎝
∂w ∂x
⎞ ⎟⎠
dv
(4)
将式(3)和式(4)代入最小势能原理：
δU −δW =
∫ ∫ δ
1 εTQ ε dv − v2
v
Nx
∂w δ ∂x
⎛ ⎜⎝
∂w ∂x
表 1 无量纲临界载荷比较，L/h=5 Table 1 Comparison of the nondimensional critical load
(L/h=5)
层次
HSDT-98[3]
ZZTC
Reddy
FSDT
5.9506 (24) 6.3702 (24) 7.1394(24)
种层数层合梁稳定问题。表 1 在给出基于各种理论 计算的临界载荷对比的同时也给出了基于各种理 论单元收敛率。结果表明，本文构造的单元收敛很
为常数，但是推导过程与文献[10]相同。应用横向
剪切应力连续条件和自由表面条件，此理论最终位
移表达式为：
uk = u0 + φ1k (z)u3 + φ2k w0,x ,
wk = w0。
(2)
其中，φik 的表达式见附录。
z
x
zn
zn−1
zn−2 h
#
z1 z0 图 1 复合材料层合梁截面示意图 Fig.1 Schematic diagram for laminated beam segment
0
∂Fx2 ∂x
⎫ ⎬ ⎭
；
N = Nx ； Nx 为正压力。
2 数值算例
为了检验构造单元的性能，本文分析了两个典 型层合梁压缩稳定问题。 例 1. 对边简支层合梁[ 0° / 90° / 0°" ]压缩稳定问
136
工程力学
题。材料常数为： E2 = E3 = 106 GPa ； E1 = 25E2 ； G12 = G13 = 0.5E2 ； G23 = 0.2E2 ；ν12 =ν13 =ν 23 = 0.25。其中：下标 1 表示平行纤维的方向；下标 2 和下标 3 表示垂直纤维的方向。无量刚临界载荷为： Nx = 12L2λ / (π2E2h2 ) 。其中： L 为梁的长度；h 为 梁 的 厚 度 。 边 界 条 件 ： u0 = w0 = 0 ( x = 0 ) ； w0 = 0 ( x = L )。本文选择了 x = L 几个参考解用于 检验本文单元特性，它们是： HSDT-98：基于九阶理论[3]，Matsunaga 给出的解 析解。
⎞ ⎟⎠
dv
=
0
(5)
其中：ε = {ε x γ xy}T ；Q 为材料转换刚度矩阵；Nx
为正压力。式(2)的锯齿理论可以进一步写为：
⎧⎪uk (x, z)⎫⎪
⎨ ⎪⎩
wk (x)
⎬ ⎪⎭
=
Lku
Du
(6)
其中：
Lku
=
⎡1 ⎢ ⎣0
0 φ1k 10
φ2k
⎤ ⎥
；
0⎦
Du = [u0 w0 u3 w0,x ] 。
Fx1 = le (1 − ξ )2 (1 + ξ ) / 4 ； Fx2 = −le (1 − ξ )(1 + ξ )2 ；
N1 = (1 − ξ ) / 2 ； N2 = (1 + ξ ) / 2 ；le = (x2 − x1) / 2 ；
δ
e i
={u0i
w0i
u3i
w0,xi}T； xi 是节点坐标，i=1―2。
工程力学
135
k −1
∑ z3u3 (x, y) + Sxi (z − zi )H (z − zi ) ， i =1
wk (x, y, z) = w0 (x, y) 。
(1)
这里： H (z − zi ) 为 Heaviside 函数； zi 为层间横向
坐标，见图 1。应当指出这里横向位移沿厚度方向