《机械控制工程基础》-2物理系统的数学模型及传递函数
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1） 2）
5 dt
3
2
dt
2
dt
2y 6
dt
7x
d4y d3y d2y dy 2 6 3 2 y 4x 4 3 2 dt dt dt dt
解：取拉氏变换并求商得 Y ( s) 6s 7 1） G( s) 3 2
X (s)
5s 2 s s 2
T s 2T s 1 , (0 1) 1 s
2 2
1 (Ts 1)
1 , 2 2 (T s 2Ts 1)
(0 1)
e
s
控制工程基础
2.4 系统的方框图及其化简
结构框图
是将系统中各元件的名称或功用写在框图单元 中，并标明它们之间的连接顺序和信号流向，主 要用来
2.4 系统的方框图及其化简
函数框图
是把元件或环节的传递函数写在框图单元内， 并用表明信号传递方向的箭头将这些框图单元连 接起来，主要用来说明环节特性、信号流向及变 量关系，便于分析系统。
本节主要讲述函数框图的绘制。 (1)框图单元
X i (s)
G (s)
X o (s)
图 2-33 框图单元
2 2
下列微分方程描述的系统为非线性系统：
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（4）系统运动微分方程的建立
电气系统
电阻、电感和电容器是电路中的三个基本元件。通常利用基尔霍夫 定律来建立电气系统的数学模型。 基尔霍夫电流定律：
i(t ) 0
A
E Ri
基尔霍夫电压定律： 欧姆定律：
2.2.1 传递函数的定义 线性定常系统的传递函数定义为：当全部 初始条件为零时，输出量y(t)的拉氏变换 Y(s)与输入量x(t)的拉氏变换X(s)之比 叫做系统的传递函数G(s)。表示为：
Y ( s) G( s) X ( s)
三要素：线性定常系统 零初始条件 输出与输入的拉氏变换之比
控制工程基础
d mx d m1 x d m2 x dx bm m bm1 m1 bm2 m2 b1 b0 x dt dt dt dt
式中，n≥m; an，bm均为系统结构参数所决定 的定常数 。（n，m=0、1、2、3…）
控制工程基础
2.2.2 传递函数的求法
如果变量及其各阶导数初值为零（初始 条件为零），取等式两边拉氏变换后得
Xi ( s)
1 Ts
Xo ( s)
式中T为积分时间常数。
特点： （1）输出叠加 （2）输出的滞后作用 （3）记忆功能
例如：
例如： 其传递函数为： X o (s) 1 G(s) X i ( s ) ms 2 cs k 写成标准形式
2 n G(s) 2 2 s 2 n s n
an s nY ( s) an1s n 1Y ( s) a1sY ( s) a0Y ( s) bm s m X ( s) bm1s m1 X ( s) b1sX ( s) b0 X ( s)
根据传递函数的定义，即得系统的传递函 数G(s)为
Y (s) bm s m bm1s m1 ...... b1s b.0 G( s) X (s) an s n an1s n1 ...... a1s a0
2.3.1 比例环节
比例环节的微分方程式为 xo (t ) Kxi (t ) 则传递函数为 X o ( s) G( s) K X i ( s) 式中k—比例系数
控制工程基础
常见的比例环节
3.微分环节
微分方程：
xo (t ) Tx i (t )
X 0 ( s) Ts X i ( s)
控制工程基础
2. 物理系统的数学模型及传递函数
1. 2. 本章重点 系统微分方程的列写。 传递函数的概念，特点及求法；典型环节 的传递函数。 系统的方框图及其化简。 本章难点 系统微分方程的列写。 系统的方框图及其化简。
3.
1. 2.
控制工程基础
2.1 系统的数学模型
2.1.1 数学模型
2. 3. 4.
控制工程基础
2. 物理系统的数学模型及传递函数
基本要求 5. 了解传递函数框图的组成及意义；能够根 据系统的微分方程，绘制系统传递函数框 图，并实现简化，从而求出系统的传递函 数。 6. 掌握闭环系统中向前通道传递函数、开环 传递函数、闭环传递函数的定义及求法。 掌握干扰作用下，系统的输出及传递函数 的求法和特点。 7. 了解相似原理的概念。
i 1
n
控制工程基础
（2）并联
X(s) G1(s) Y1(s) + Y(s) X(s) + G2(s) Y2(s) G(s)=G1(s)+G2(s) Y(s)
图 2-35 并联连接
Y ( s) Y1 ( s) Y2 ( s) G( s) G1 ( s) G2 ( s) X ( s) X ( s) X ( s)
Xi ( s) Ts Xo ( s)
传递函数： G( s)
式中T为微分时间常数。
特点： （1）一般不能单独存在 （2）反映输入的变化趋势 （3）增强系统的阻尼 （4）强化噪声
4.积分环节
1 微分方程： xo (t ) T xi (t )dt
传递函数：
X ( s) 1 G( s) o X i (s) Ts
(1) (2) (3)
(4) (5)
3y 2x 4 d2y dy dx 2 y 6 3x 2 dt dt dt d3y d2y dy 5 2 5 6 y 4x 3 dt dt dt
3 y x 2 3xy x d y dy y x 2 dt dt
控制工程基础
2.2.2 传递函数的求法
（1）解析法（根据定义求取） 设线性定常系统输入为x(t) ，输出为y(t) ，描 述系统的微分方程的一般形式为 :
dny d n1 y d n2 y dy an n an1 n 1 an 2 n2 a1 a0 y dt dt dt dt
齐次性(均匀性) 如果系统在输入x(t)作用下的输出为Y(t)， 并记为： x(t) → y(t) 则 kx(t) → ky(t) 式中k为常数，称为齐次性。
控制工程基础
线性系统两个重要性质
叠加性 若系统在输入x1(t)作用下的输出为y1(t),而 在另一个输入x2(t)作用下的输出为y2(t)， 并记为 x1(t) → y1(t) x2(t) → y2(t) 则以下关系 x1(t) + x2(t) → y1(t)+ y2(t)
2）
G(s)
Y (s) 4 4 X ( s) s 2s 3 6s 2 3s 2
控制工程基础
2.2.3 传递函数的性质
1）传递函数是通过输入和输出之间的关系 来描述系统本身特性的，而系统本身特性 与输入量无关； 2）传递函数不表明所描述系统的物理结构， 不同的物理系统，只要它们动态特性相同， 就可用同一传递函数来描述。这样的系统 称为相似系统。
控制工程基础
2.4 系统的方框图及其化简
(2)相加点（比较点）
控制工程基础
2.4 系统的方框图及其化简
(3)分支点（引出点）
控制工程基础
2.4.1 环节的基本连接方式
（1）串联
X(s) G1(s) Y1(s) G2(s) Y(s) X(s) G(s)= G1(s) G2(s) Y(s)
图 2-34 串联连接
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（5）非线性系统的线性化方法 具有本质非线性特性的系统： 忽略非线性因素 或用非线性理论去处理。 非本质非线性特性的系统 切线法，或称微小偏差法处理。
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（5）非线性系统的线性化方法
控制工程基础
2.2 传递函数
称为叠加性或叠加原理。
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（2）非线性系统 如果系统的数学模型是非线性的，这种 系统称为非线性系统。 工程上常见的非线性特性如下： 饱和非线性 死区非线性 间隙非线性 摩擦非线性……
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（3）举例 下列微分方程描述的系统为线性系统：
控制工程基础
2. 物理系统的数学模型及传递函数
2.1 系统的数学模型 2.2 传递函数 2.3 典型环节的传递函数 2.4 系统的方框图及其化简 *2.5 物理系统传递函数的推导
控制工程基础
2. 物理系统的数学模型及传递函数
1. 基本要求 了解数学模型的基本概念。能够运用动力 学、电学及相关专业知识，列写机械系统、 电网络的微分方程。 掌握传递函数的概念、特点，会求传递函 数的零点、极点及放大系数。 能够用分析法求系统的传递函数。 掌握各个典型环节的特点，传递函数的基 本形式及相关参数的物理意义。
零初始条件： 输入及其各阶导数在t =0-时刻均为0； 输出及其各阶导数在t =0-时刻均为0。 形式上记为：
Y (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm G( s ) X (s) a0 s n a1s n1 an1s an
建立数学模型的意义 (1)可定性地了解系统的工作原理及其特性; (2)更能定量地描述系统的动态性能; (3)揭示系统的内部结构、参数与动态性能 之间的关系。
控制工程基础
2.1 系统的数学模型
2.1.2 建立数学模型的方法
两种方法是相辅相成的。
控制工程基础
2.1 系统的数学模型
2.1.3 非线性系统的线性化 （1）线性系统 如果系统的数学模型是线性的，这种系 统称为线性系统。 线性系统两个重要性质。
传递函数列写大致步骤： 方法一：列写系统的微分方程 消去中间变量 在零初始条件下取拉氏变换 求输出与输入拉氏变换之比 方法二：列写系统中各元件的微分方程 在零初始条件下求拉氏变换 整理拉氏变换后的方程组，消去中间变量 整理成传递函数的形式
控制工程基础
2.2.2 传递函数的求法
（2）实验法 （3）例试写出具有下述微分方程式的传递 函数。 d 3 y d 2 y dy dx
数学模型就是描述系统 的输出、输入与系统本 身结构与参数之间的数 学表达式，或图形表达 式或数字表达式。描述 系统特性，揭示变量间 的关系。 控制系统的数学模型按系 统运动特性分为：静态 数学 模型和动态数学模型。（静 态模型是t→∞时系统的动态 模型。） 微分方程是基本的数学模型，是列写传递函数的基础.
L
R C u o (t )
u R iR R
uL L di dt
uR iR R
iL
u i (t )
i (t )
电感定律：
1 u L dt L
电容定律：
uc
1 idt C
1 dui ic C dt
(ia为电枢电流) (ed为感应反电势, Kd为反电势常数)
(Km为转矩常数)
其中：
k n m
B 2 mk
质量-阻尼-弹簧系统
实际上，任何线性系统都可由8种（或其中若干种） 典型环节构成，这8种典型环节的传递函数如下： 1、放大环节（或比例环节） K 2、理想微分环节 Ts 3、一阶微分环节 T s 1 4、二阶微分环节 5、积分环节 6、惯性环节 7、振荡环节 8、延迟环节
控制工程基础
2.2.3 传递函数的性质
3）传递函数可以是有量纲的，也可以是无 量纲的； 4）传递函数是复变量s的有理分式。对于实 际系统有m≤n。 传递函数分母多项式中s的最高幂数代表 了系统的阶数，如s的最高幂数为n则该系 统为n阶系统。
控制工程基础
2.3 典型环节的传递函数
环节与典型环节 熟悉掌握典型环节有助于对复杂系统的分 析和研究
Y ( s) Y1 ( s) Y ( s) G( s) . G1 ( s)G2 ( s) X ( s) X ( s) Y1 ( s) 上式说明，由串联环节所构成的系统，当无负载 效应影响时，它的总传递函数等于个环节传递函 数的乘积。当系统由n个环节串联而成时，总传 递函数为：
G ( s ) Gi ( s )
5 dt
3
2
dt
2
dt
2y 6
dt
7x
d4y d3y d2y dy 2 6 3 2 y 4x 4 3 2 dt dt dt dt
解：取拉氏变换并求商得 Y ( s) 6s 7 1） G( s) 3 2
X (s)
5s 2 s s 2
T s 2T s 1 , (0 1) 1 s
2 2
1 (Ts 1)
1 , 2 2 (T s 2Ts 1)
(0 1)
e
s
控制工程基础
2.4 系统的方框图及其化简
结构框图
是将系统中各元件的名称或功用写在框图单元 中，并标明它们之间的连接顺序和信号流向，主 要用来
2.4 系统的方框图及其化简
函数框图
是把元件或环节的传递函数写在框图单元内， 并用表明信号传递方向的箭头将这些框图单元连 接起来，主要用来说明环节特性、信号流向及变 量关系，便于分析系统。
本节主要讲述函数框图的绘制。 (1)框图单元
X i (s)
G (s)
X o (s)
图 2-33 框图单元
2 2
下列微分方程描述的系统为非线性系统：
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（4）系统运动微分方程的建立
电气系统
电阻、电感和电容器是电路中的三个基本元件。通常利用基尔霍夫 定律来建立电气系统的数学模型。 基尔霍夫电流定律：
i(t ) 0
A
E Ri
基尔霍夫电压定律： 欧姆定律：
2.2.1 传递函数的定义 线性定常系统的传递函数定义为：当全部 初始条件为零时，输出量y(t)的拉氏变换 Y(s)与输入量x(t)的拉氏变换X(s)之比 叫做系统的传递函数G(s)。表示为：
Y ( s) G( s) X ( s)
三要素：线性定常系统 零初始条件 输出与输入的拉氏变换之比
控制工程基础
d mx d m1 x d m2 x dx bm m bm1 m1 bm2 m2 b1 b0 x dt dt dt dt
式中，n≥m; an，bm均为系统结构参数所决定 的定常数 。（n，m=0、1、2、3…）
控制工程基础
2.2.2 传递函数的求法
如果变量及其各阶导数初值为零（初始 条件为零），取等式两边拉氏变换后得
Xi ( s)
1 Ts
Xo ( s)
式中T为积分时间常数。
特点： （1）输出叠加 （2）输出的滞后作用 （3）记忆功能
例如：
例如： 其传递函数为： X o (s) 1 G(s) X i ( s ) ms 2 cs k 写成标准形式
2 n G(s) 2 2 s 2 n s n
an s nY ( s) an1s n 1Y ( s) a1sY ( s) a0Y ( s) bm s m X ( s) bm1s m1 X ( s) b1sX ( s) b0 X ( s)
根据传递函数的定义，即得系统的传递函 数G(s)为
Y (s) bm s m bm1s m1 ...... b1s b.0 G( s) X (s) an s n an1s n1 ...... a1s a0
2.3.1 比例环节
比例环节的微分方程式为 xo (t ) Kxi (t ) 则传递函数为 X o ( s) G( s) K X i ( s) 式中k—比例系数
控制工程基础
常见的比例环节
3.微分环节
微分方程：
xo (t ) Tx i (t )
X 0 ( s) Ts X i ( s)
控制工程基础
2. 物理系统的数学模型及传递函数
1. 2. 本章重点 系统微分方程的列写。 传递函数的概念，特点及求法；典型环节 的传递函数。 系统的方框图及其化简。 本章难点 系统微分方程的列写。 系统的方框图及其化简。
3.
1. 2.
控制工程基础
2.1 系统的数学模型
2.1.1 数学模型
2. 3. 4.
控制工程基础
2. 物理系统的数学模型及传递函数
基本要求 5. 了解传递函数框图的组成及意义；能够根 据系统的微分方程，绘制系统传递函数框 图，并实现简化，从而求出系统的传递函 数。 6. 掌握闭环系统中向前通道传递函数、开环 传递函数、闭环传递函数的定义及求法。 掌握干扰作用下，系统的输出及传递函数 的求法和特点。 7. 了解相似原理的概念。
i 1
n
控制工程基础
（2）并联
X(s) G1(s) Y1(s) + Y(s) X(s) + G2(s) Y2(s) G(s)=G1(s)+G2(s) Y(s)
图 2-35 并联连接
Y ( s) Y1 ( s) Y2 ( s) G( s) G1 ( s) G2 ( s) X ( s) X ( s) X ( s)
Xi ( s) Ts Xo ( s)
传递函数： G( s)
式中T为微分时间常数。
特点： （1）一般不能单独存在 （2）反映输入的变化趋势 （3）增强系统的阻尼 （4）强化噪声
4.积分环节
1 微分方程： xo (t ) T xi (t )dt
传递函数：
X ( s) 1 G( s) o X i (s) Ts
(1) (2) (3)
(4) (5)
3y 2x 4 d2y dy dx 2 y 6 3x 2 dt dt dt d3y d2y dy 5 2 5 6 y 4x 3 dt dt dt
3 y x 2 3xy x d y dy y x 2 dt dt
控制工程基础
2.2.2 传递函数的求法
（1）解析法（根据定义求取） 设线性定常系统输入为x(t) ，输出为y(t) ，描 述系统的微分方程的一般形式为 :
dny d n1 y d n2 y dy an n an1 n 1 an 2 n2 a1 a0 y dt dt dt dt
齐次性(均匀性) 如果系统在输入x(t)作用下的输出为Y(t)， 并记为： x(t) → y(t) 则 kx(t) → ky(t) 式中k为常数，称为齐次性。
控制工程基础
线性系统两个重要性质
叠加性 若系统在输入x1(t)作用下的输出为y1(t),而 在另一个输入x2(t)作用下的输出为y2(t)， 并记为 x1(t) → y1(t) x2(t) → y2(t) 则以下关系 x1(t) + x2(t) → y1(t)+ y2(t)
2）
G(s)
Y (s) 4 4 X ( s) s 2s 3 6s 2 3s 2
控制工程基础
2.2.3 传递函数的性质
1）传递函数是通过输入和输出之间的关系 来描述系统本身特性的，而系统本身特性 与输入量无关； 2）传递函数不表明所描述系统的物理结构， 不同的物理系统，只要它们动态特性相同， 就可用同一传递函数来描述。这样的系统 称为相似系统。
控制工程基础
2.4 系统的方框图及其化简
(2)相加点（比较点）
控制工程基础
2.4 系统的方框图及其化简
(3)分支点（引出点）
控制工程基础
2.4.1 环节的基本连接方式
（1）串联
X(s) G1(s) Y1(s) G2(s) Y(s) X(s) G(s)= G1(s) G2(s) Y(s)
图 2-34 串联连接
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（5）非线性系统的线性化方法 具有本质非线性特性的系统： 忽略非线性因素 或用非线性理论去处理。 非本质非线性特性的系统 切线法，或称微小偏差法处理。
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（5）非线性系统的线性化方法
控制工程基础
2.2 传递函数
称为叠加性或叠加原理。
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（2）非线性系统 如果系统的数学模型是非线性的，这种 系统称为非线性系统。 工程上常见的非线性特性如下： 饱和非线性 死区非线性 间隙非线性 摩擦非线性……
控制工程基础
2.1.3 非线性系统的线性化
（3）举例 下列微分方程描述的系统为线性系统：
控制工程基础
2. 物理系统的数学模型及传递函数
2.1 系统的数学模型 2.2 传递函数 2.3 典型环节的传递函数 2.4 系统的方框图及其化简 *2.5 物理系统传递函数的推导
控制工程基础
2. 物理系统的数学模型及传递函数
1. 基本要求 了解数学模型的基本概念。能够运用动力 学、电学及相关专业知识，列写机械系统、 电网络的微分方程。 掌握传递函数的概念、特点，会求传递函 数的零点、极点及放大系数。 能够用分析法求系统的传递函数。 掌握各个典型环节的特点，传递函数的基 本形式及相关参数的物理意义。
零初始条件： 输入及其各阶导数在t =0-时刻均为0； 输出及其各阶导数在t =0-时刻均为0。 形式上记为：
Y (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm G( s ) X (s) a0 s n a1s n1 an1s an
建立数学模型的意义 (1)可定性地了解系统的工作原理及其特性; (2)更能定量地描述系统的动态性能; (3)揭示系统的内部结构、参数与动态性能 之间的关系。
控制工程基础
2.1 系统的数学模型
2.1.2 建立数学模型的方法
两种方法是相辅相成的。
控制工程基础
2.1 系统的数学模型
2.1.3 非线性系统的线性化 （1）线性系统 如果系统的数学模型是线性的，这种系 统称为线性系统。 线性系统两个重要性质。
传递函数列写大致步骤： 方法一：列写系统的微分方程 消去中间变量 在零初始条件下取拉氏变换 求输出与输入拉氏变换之比 方法二：列写系统中各元件的微分方程 在零初始条件下求拉氏变换 整理拉氏变换后的方程组，消去中间变量 整理成传递函数的形式
控制工程基础
2.2.2 传递函数的求法
（2）实验法 （3）例试写出具有下述微分方程式的传递 函数。 d 3 y d 2 y dy dx
数学模型就是描述系统 的输出、输入与系统本 身结构与参数之间的数 学表达式，或图形表达 式或数字表达式。描述 系统特性，揭示变量间 的关系。 控制系统的数学模型按系 统运动特性分为：静态 数学 模型和动态数学模型。（静 态模型是t→∞时系统的动态 模型。） 微分方程是基本的数学模型，是列写传递函数的基础.
L
R C u o (t )
u R iR R
uL L di dt
uR iR R
iL
u i (t )
i (t )
电感定律：
1 u L dt L
电容定律：
uc
1 idt C
1 dui ic C dt
(ia为电枢电流) (ed为感应反电势, Kd为反电势常数)
(Km为转矩常数)
其中：
k n m
B 2 mk
质量-阻尼-弹簧系统
实际上，任何线性系统都可由8种（或其中若干种） 典型环节构成，这8种典型环节的传递函数如下： 1、放大环节（或比例环节） K 2、理想微分环节 Ts 3、一阶微分环节 T s 1 4、二阶微分环节 5、积分环节 6、惯性环节 7、振荡环节 8、延迟环节
控制工程基础
2.2.3 传递函数的性质
3）传递函数可以是有量纲的，也可以是无 量纲的； 4）传递函数是复变量s的有理分式。对于实 际系统有m≤n。 传递函数分母多项式中s的最高幂数代表 了系统的阶数，如s的最高幂数为n则该系 统为n阶系统。
控制工程基础
2.3 典型环节的传递函数
环节与典型环节 熟悉掌握典型环节有助于对复杂系统的分 析和研究
Y ( s) Y1 ( s) Y ( s) G( s) . G1 ( s)G2 ( s) X ( s) X ( s) Y1 ( s) 上式说明，由串联环节所构成的系统，当无负载 效应影响时，它的总传递函数等于个环节传递函 数的乘积。当系统由n个环节串联而成时，总传 递函数为：
G ( s ) Gi ( s )