24.1.2垂直于弦的直径

C
c
C
C
A
D O
B
O
O A D E B
O A E B
A E D B
是
不是
是
不是
注意：定理中的两个条件（直 径，垂直于弦）缺一不可！
例2.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的 弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BD 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 AE－CE＝BE－DE。 所以，AC＝BD
圆
圆心为O，半径为r 的圆可以看成是: 所有到定点的距离等于定长r 的点的集合。
弦(直径) 连接圆上任意两点的线段叫做弦， 经过圆心的弦叫做直径．
弧(半圆) 圆上任意两点间的部分叫做圆弧
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧， 每一条弧都叫做半圆
劣弧与优弧
等圆(同心圆)与等弧
能够重合的两个圆叫做等圆
1 1 AD AB 37.4 18.7, 2 2
O
OD=OC－CD=R－7.2 ∵∠ADO=90 ∴OA2=AD2+OD2 即 R2=18.72+（R－7.2）2 解得：R≈27．9（m）
例3．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等 的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边 形ADOE是正方形．
C
O A
M D

垂径定理：
由 ① CD是直径 B ② CD⊥AB
③AM=BM,
可推得
⌒ ⌒ ④AC=BC,
推论：
由 ① CD是直径 ③ AM=BM B

⌒ ⑤AD=BD.
②CD⊥AB,
⌒
O
可推得
A
M D
⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⑤AD=BD. ⌒
如何应用垂径定理：
练习 例1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm， 圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
︵
︵
A A
B B
示
已知：在⊙O中,CD是直径,AB是弦,CD⊥AB。
求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。 证明： 连结OA,OB ∵ CD⊥AB ,OA=OB ∴AE=BE ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称
验证
垂直于弦 CD 所在的直线 ⌒ ⌒ AB的直径 ⌒ ⌒ 是⊙O的对称轴。 C
(1)右图是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么？
(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧?
(1)是轴对称图形,其对称轴是直线CD (2) AE=BE, AC = BC, AD = BD, 即直径CD平分弦AB，并且 平分AB及ACB 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧。
C O E D
演
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90
EAD 90
ODA 90
1 1 ∴四边形ADOE为矩形，AE AC，AD AB 2 2 C 又 ∵AC=AB
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形.
A D B E
·
O
讲解
4. 已知：⊙O中弦AB∥CD。 求证：AC＝BD 证明：作直径MN⊥AB。
∵CD过圆心(CD为直径)，CD ⊥ AB，
C
∴AE=BE，AC= BC, AD= BD 注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可
Owk.baidu.com
进一步，我们还可以得到结论：
A
E
B
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧。 •即：如果CD过圆心，且AE=BE 则CD⊥AB， AC= BC, AD= BD
圆心相同的圆叫做同心圆
在同圆或等圆中, 能够互相重合的弧叫做等弧
?
可以发现： 1、圆是轴对称图形。
1.圆是轴对称图形吗? 如果是，它的对称轴是什么？ 2.你能找出多少条对称轴？你能用什么方 B 法解决上述问题？
A
任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
2.它有无数条对称轴，可用对折方法解决上述问题
思考： 问题1.图中有相等的线段吗？有相等的劣弧吗？如果
A
5.已知⊙O的直径是20cm, ⊙O的两 条平行弦AB=12cm.CD=16cm, 则它们之间的距离______.
A C B D
4
·
E
O
C
D
A
B
B
.O
C D
.O
判断下列说法的正误
②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑦垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧
赵州桥主桥拱的半径是多少？
O OE就是 弦心距
A C E D B
.
2.⊙O的半径是10cm, 弦AB的长是12cm，则AB的弦心 距是______ 3.过⊙O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长8cm，那么 ⊙O的半径等于____，OM的长为_____
4.如图：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，
若AE=9， BE=1， 求CD的长。
有，你能找到多少对？ 相等的线段有：OA=OC=OB=OD，AB=CD 相等的弧有： AC = BD, BC = AD,
C
B O
问题2.AB作怎样的变换时，
AC = BC, AD = BD,
结论：当CD⊥AB时，
A
AC= BC, AD= BD
D
问题3.将弦AB进行平移时，如图
已知:在⊙O中,CD是直径,AB是弦，CD⊥AB于E。
问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的 跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到 弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
你能利用垂径定理解决求 赵州桥拱半径的问题吗?
7.2m
37.4m
C
A
R 18.7
D
R-7.2
用 弧AB表示主桥拱，设弧AB 所在圆的圆心为O，半径为R． 经过圆心O 作OC⊥AB 于D， B OC交AB 于点D，连接AO AB=37.4，CD=7.2，
·
E D A
O
∴当圆沿着直径CD折叠时, A点和B点重合， AC、AD分别与BC、BD重合。
⌒ AD ⌒ = BD, ⌒ ∴ AC = BC, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 垂径定理 : 垂直于弦的直径平分弦， ⌒ ⌒ 并且平分弦所对的两条弧。
B
叠合法
结论：
• 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并
且平分弦所对的两条弧。
⌒ ⌒
M
C A
.O
D B
∵AB∥CD，∴MN⊥CD。 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分 N 弦的直径平分弦所对的弦） ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AM－CM＝BM－DM ⌒ ⌒ 圆的两条平行弦所夹的弧相等 ∴AC＝BD
解：
OE AB
在Rt △ AOE 中
2 2
1 1 AE AB 8 4 2 2
2
A A
E
B
AO OE AE
O
·
AO OE 2 AE 2 = 32 +42 =5cm 答：⊙O的半径为5cm.
如上图.若⊙O的半径为10cm, OE=6cm,则AB= cm。
1.下列图形是否具备垂径定理的条件？