解析几何中最值问题的解法解析几何的最值问题是数学竞赛和高考

解析几何最值问题的解法

上海市松江一中 陆珲

解析几何的最值问题是高中数学的难点和重点，也是数学竞赛和高考的常见题型。由于高中解析集合研究的都是二次曲线，所以通常情况下，解此类问题的方法和解函数中的求最值问题方法类似，常用下面几种方法：

1、化为二次函数，求二次函数的最值；

2、化为一元二次方程，利用△；

3、利用不等式；

4、利用函数的单调性和有界性；

5、利用几何法。

在解此类问题时，以上方法也可能会混合运用。同时，恰当利用解析几何中二次曲线定义和性质，或利用参数方程，或建立适当的坐标系，也可以简化问题，方便解题。

例题1：如图已知P 点在圆22(4)1x y +-=上移动，

Q 点在椭圆2

219

x y +=上移动，求||PQ 的最大值。

[分析：如图先让Q 点在椭圆上固定，显然PQ 通过圆心1O 时||PQ 最大，因此要||PQ 的最大值，只要求1||O Q 的最大值。]

解：设Q 点坐标(,)x y ，则2221||(4)O Q x y =+- ①，

因Q 点在椭圆上，故2

219

x y += ②

把②代入①得222211||9(1)(4)8()272O Q y y y =-+-=-++

Q Q 点在椭圆上移动，11y ∴-≤≤ 1

2

y ∴=-时，1min ||2733OQ == min ||331PQ ∴=+

说明：此解法就是典型的运用化为二次函数，通过求二次函数的最值来解决问题。但是在利用二次函数求最值时，不能机械地套用最值在顶点处取得的模式，首先要求出定义域，然后再看顶点是否在定义域内，若在，则可套用，若不在，则要按二次函数在其定义域内的单调性来判定。 例题2：如图，定长为3的线段AB 的两端在抛物线2y x =上移动，且线段中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标。 [分析：点M 到y 轴的最短距离，即求点M 横坐标的最小值。] 解法一：化为一元二次方程，利用△ 设1122(,),(,),(,)A x y B x y M x y 则

12122

11

2

22

221212

22()()9x x x y y y y x y x x x y y ⎧+=⎪

+=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪-+-=⎩ ③④代入⑤，整理得221212()()19y y y y ⎡⎤-++=⎣⎦，即 222121212(2)()19y y y y y y ⎡⎤+-++=⎣⎦ ⑥

由①③④得2212122y y x x x +=+= ⑦

21212()22y y y y x +-=

②代入上式得212242y y y x =- ⑧

②⑦⑧代入⑥并整理得4216(416)940y x y x +-+-= ⑨

y R ∈Q ，∴△2(416)64(94)0x x =---≥，即(45)(47)0x x -+≥

① ② ③ ④ ⑤

5470,4x x +>∴≥

Q ，将5

4

x =代入⑨得22y =±

所以AB 中点M 到y 轴的最短距离是5

4，相应的点M 的坐标为52(,

)42

或52

(,)42

- 说明：此类解法是学生比较容易掌握的方法，解题时将未知的元素都进行适当的假设，并通过已知条件找出它们与解题目标的关系并化为一元二次方程，利用△计算。在运用此法时，不仅要判断方程是否有解，还应注意方程解的特点，如正负根等，此时可进一步应用方程的根与系数的关系（韦达定理）等进行讨论和判断。同时，此类解法字母较多，计算量大，解题时应更加仔细。 解法二：利用不等式

同解法一，得⑨，整理得242(164)1649y x y y +=++，

22

22

91649191521641616441644

y x y y y +=+=+-≥-=++ 以下同前。

说明：利用不等式性质（,,2,a b R a b ab a b +∈+≥=时等号成立）的解法也是比较常用的解题方法，但是应用时应该考虑不等式性质成立的前提和性质的特点，在进行计算式变形时目的要明确，同时等号成立是变量的取值要关注到位。若题设条件无法在a b =时取得最值，则应利用函数的单调性和有界性求得最

值。

解法三：几何法

如图设

22(,),(,)

A m m

B n n ，则以

AB

为直径的圆为

22()()()()0x m x n y m y n --+--=

准线14

x =-上离圆最远的点1'(,

)42

m n

M +-代入上式得， 222111()()()()()044224

m n m n m n m n mn ++----+--=+≥ 故准线14x =-与圆相离或相切，又圆半径为32，圆与准线相切时，即1

4

mn =-

时，点M 到y 轴的最短距离是315244-=，即点M 横坐标的222m n +最小值为5

4

点M 的纵坐标2222

151222242882

m n m n mn m n mn ++=±++=±+=±-=±

所以点M 的坐标为5

2

(,

)42

或52(,)42-

说明：利用几何法的前提是对曲线的概念和性质有充分的理解，并对题设条件具有相当的迁移能力。

例题3：在半径为R 的圆O 中，2AB R =，点P 为»AB 上一动点，过点P 作AB

的垂线交AB 于点Q ，求△APQ 的面积最大值。 [分析：通过建立函数关系式，利用函数求最值的方法解决问题] 解法一：

如图，以圆心O 为坐标原点，过O 平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系。

因为△AOB 为等腰直角三角形，所以A 坐标为22

(,)22

R R -

设P 点坐标(cos ,sin )R R θθ，(45,135)θ∈o o