2017年高考数学江苏卷第19题的反思与推广
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L22:利用等差数列的定义及性质，得 到 a 4 = a 3 + d a 5 = a3 + 2d a 6 = a 3 + 3d .
L23 :把以上三个等式代入，得 到 a 2 = a 3 —d ， 进而说明了 {an } 从 第 2 项起成等差数列.
“ P ( 3 ) 数 列 ”，证 明 { ^ } 是 等 差 数 列 . 证明 （1 ) 因 为 数 列 { ^ } 是 等 差 数 列 ，设其
公 差 为 ^ ，则犪狀二心+ (n —1)<i ，从 而 当 n > 4 时 ，
犪n-k + 犪n+k = 犪1 + (n —k — X)d + 犪1 + (n + k —
〜-3切《 _2+ 咕 („+1= 4 « „ - ! ( « > 3 ) ?»+ 3 = 4 a „ + i(« > 2 )
等式相加|----------------------------------►
|a « -3 + a « -2 + « n -i+ «« + i+ « n +2+ an-3 + 2 a „ = 4 < 3 „ -i+ 4 a „ +i ( n > 3 ) j
代 /4i 八 > M汰 - |
^ P
\ a«-l+«n+l=-2 a „ (n > 3 )
图1
由第一步已经证明{an }从 第 3 项起成等差数 列 ，不妨设其公差为d .
第 二 大 步 L2 :证明{an} 从 第 2 项起成等差数 列 ，可分为三小步：L21，L22, L23.
L21:利用特殊法，令 等 式 ① 中 的 n 取 4 ，得到 a 2 + a 3 + a 5 + a 6 = 4a 4.
理 可 得 a 2 = a 3 — d ，即 证 明 了 数 列 { a n } 从 第 2 项
起成等差数列．
Βιβλιοθήκη Baidu
同理，由 ① 知 ， n = 3 时 ， a : + a 2 + a 4 + a 5 =
4a 3 ，贝lj a 】+ a 2 + (a2 + 2 d )+ (a2 + 3 d ) = 4 (a 2 +
思想策略三方面对解题过程进行反思.
2. 1 反思解题结构，实现解题思路明晰化
首先提炼其解题步骤，大致可以分为三大步，
记为 L1 ，L2 ，L3.
第 一 大 步 L1 :证 明 {a n } 从 第 3 项起成等差数 列.有这样一个信息流程图（图 1 )
从理解题意中捕捉有用信息1
1 符号信息1
1 符号信息1
1)犱= 2犪1 + 2 (n — 1) d = 2 a n，k = 1 ，2 , 3.
所以当 n > 3 时 ，犪n—3 + 犪n—2 + 犪n—1 + 犪n+1 + 犪n+2 + 犪n+3 = 6犪n.
因 此 等 差 数 列 { a n } 是 “ P ( ) 数 列 ”. ( ) 若 数 列 {‘ } 既 是 “P ( 2 ) 数 列 ” 又 是 “^ ( 3 ) 数 列 ”，则
即 a —i + a n+ i = 2 a n (n > 3 ) ，即 证 得 数 列 （a n } 从第
3 项 起 成 等 差 数 列 ，不 妨 设 其 公 差 为 d .
由 ① 知 ，n = 4 时 ，a 2 + a 3 + a 5 + a 6 = 4 a 4，即
a2 + a 3 + (a3 + 2 d )+ (a3 + 3 d ) = 4 (a3 + d ).整
例 1 (2017 •江 苏 卷 ）对 于 给 定 的 正 整 数 々，若 数 列 { a „ } 满足: 犪n-k ^ 犪n-k+1 ^ … ^ 犪n-1 ^
犪n+1 + … +犪 n-k+1 + 犪 狀+犽二2犽犪狀对任意的正整数
n (> k ) 总 成 立 ，则 称 数 列 {‘ } 是 “P ( k ) 数 列 ”. ( 1 ) 证 明 ：等 差 数 列 { n } 是 “ P ( 3 ) 数 列 ” ( ) 若 数 列 {‘ } 既 是 “P ( 2 ) 数 列 ” 又 是
2017年 第 9 期
中学数学月刊
2017年高考数学江苏卷第1 9 徵的反思与推广
钱 月 凤 （苏 州 大 学 数 学 科 学 学 院 215006)
怎样提高解题能力？有些学生书读了很多， 数 学 题 也 解 了 很 多 ，但 是 解 题 能 力 却 没 有 很 大 的 进步.一个很重要的原因是在解题反思上花的功 夫 太 少 . 本 文 从 一 道 高 考 数 列 题 出 发 ，从解题反 思 的 角 度 对 其 进 行 解 题 分 析 ，并 结 合 现有经验总 结了自己的几点想法. 1 案例呈现
= 4a n—1 ，③
a n—1 + an + an+2 + an+3 = 4 an+1. ④
③ + ④ ，得 a n—3 + a n—2 + a n—1 + a n+1 + a n+2 +
an+3 + 2 an = 4 an—1 + 4 an+1. ⑤ 将 ② 代 入 ⑤ ，得 8a n = 4 a n—1 + 4 a n + 1 (n > 3 ) ，
d ).整 理 可 得 a 1 = a 2 — d ，即证明了数列{a n } 是 成等差数列
综 上 ，若 数 列 U n } 既 是 “P ( 2 ) 数 列 ”又是 “P (3)数列”，则 {a n } 是等差数列. 2 解题过程的反思
第 （1 ) 问的情况比较简单，我们分析的重点 放 在 第 （2 ) 问 ，主要从解题思路、问题表征以及
当 n > 3 时 ，a n—2 + a n—1 + a n+1 + a n+2 = 4 a n n
>2)①
当 n > 4 时 ，a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n+1 + a n+2 +
a n+3 = 6a n(n > 3 ) . ② 当 n > 3 时 ，由 ① 得 a n—3 + a n—2 + a n + a n+1
从 记 忆 网 络 中 提 取 有 关 信 息
^
| a ； r2 + < V i+ a n+i+ a„+ 2= 4 a „ ( « > 2 ) | | a„-3+a»-2+a«-i+«/H -i+a»+ 2+«n -3 = 6 a „ ( « > 3 ) | 替换法|-------------------------------------- -
L23 :把以上三个等式代入，得 到 a 2 = a 3 —d ， 进而说明了 {an } 从 第 2 项起成等差数列.
“ P ( 3 ) 数 列 ”，证 明 { ^ } 是 等 差 数 列 . 证明 （1 ) 因 为 数 列 { ^ } 是 等 差 数 列 ，设其
公 差 为 ^ ，则犪狀二心+ (n —1)<i ，从 而 当 n > 4 时 ，
犪n-k + 犪n+k = 犪1 + (n —k — X)d + 犪1 + (n + k —
〜-3切《 _2+ 咕 („+1= 4 « „ - ! ( « > 3 ) ?»+ 3 = 4 a „ + i(« > 2 )
等式相加|----------------------------------►
|a « -3 + a « -2 + « n -i+ «« + i+ « n +2+ an-3 + 2 a „ = 4 < 3 „ -i+ 4 a „ +i ( n > 3 ) j
代 /4i 八 > M汰 - |
^ P
\ a«-l+«n+l=-2 a „ (n > 3 )
图1
由第一步已经证明{an }从 第 3 项起成等差数 列 ，不妨设其公差为d .
第 二 大 步 L2 :证明{an} 从 第 2 项起成等差数 列 ，可分为三小步：L21，L22, L23.
L21:利用特殊法，令 等 式 ① 中 的 n 取 4 ，得到 a 2 + a 3 + a 5 + a 6 = 4a 4.
理 可 得 a 2 = a 3 — d ，即 证 明 了 数 列 { a n } 从 第 2 项
起成等差数列．
Βιβλιοθήκη Baidu
同理，由 ① 知 ， n = 3 时 ， a : + a 2 + a 4 + a 5 =
4a 3 ，贝lj a 】+ a 2 + (a2 + 2 d )+ (a2 + 3 d ) = 4 (a 2 +
思想策略三方面对解题过程进行反思.
2. 1 反思解题结构，实现解题思路明晰化
首先提炼其解题步骤，大致可以分为三大步，
记为 L1 ，L2 ，L3.
第 一 大 步 L1 :证 明 {a n } 从 第 3 项起成等差数 列.有这样一个信息流程图（图 1 )
从理解题意中捕捉有用信息1
1 符号信息1
1 符号信息1
1)犱= 2犪1 + 2 (n — 1) d = 2 a n，k = 1 ，2 , 3.
所以当 n > 3 时 ，犪n—3 + 犪n—2 + 犪n—1 + 犪n+1 + 犪n+2 + 犪n+3 = 6犪n.
因 此 等 差 数 列 { a n } 是 “ P ( ) 数 列 ”. ( ) 若 数 列 {‘ } 既 是 “P ( 2 ) 数 列 ” 又 是 “^ ( 3 ) 数 列 ”，则
即 a —i + a n+ i = 2 a n (n > 3 ) ，即 证 得 数 列 （a n } 从第
3 项 起 成 等 差 数 列 ，不 妨 设 其 公 差 为 d .
由 ① 知 ，n = 4 时 ，a 2 + a 3 + a 5 + a 6 = 4 a 4，即
a2 + a 3 + (a3 + 2 d )+ (a3 + 3 d ) = 4 (a3 + d ).整
例 1 (2017 •江 苏 卷 ）对 于 给 定 的 正 整 数 々，若 数 列 { a „ } 满足: 犪n-k ^ 犪n-k+1 ^ … ^ 犪n-1 ^
犪n+1 + … +犪 n-k+1 + 犪 狀+犽二2犽犪狀对任意的正整数
n (> k ) 总 成 立 ，则 称 数 列 {‘ } 是 “P ( k ) 数 列 ”. ( 1 ) 证 明 ：等 差 数 列 { n } 是 “ P ( 3 ) 数 列 ” ( ) 若 数 列 {‘ } 既 是 “P ( 2 ) 数 列 ” 又 是
2017年 第 9 期
中学数学月刊
2017年高考数学江苏卷第1 9 徵的反思与推广
钱 月 凤 （苏 州 大 学 数 学 科 学 学 院 215006)
怎样提高解题能力？有些学生书读了很多， 数 学 题 也 解 了 很 多 ，但 是 解 题 能 力 却 没 有 很 大 的 进步.一个很重要的原因是在解题反思上花的功 夫 太 少 . 本 文 从 一 道 高 考 数 列 题 出 发 ，从解题反 思 的 角 度 对 其 进 行 解 题 分 析 ，并 结 合 现有经验总 结了自己的几点想法. 1 案例呈现
= 4a n—1 ，③
a n—1 + an + an+2 + an+3 = 4 an+1. ④
③ + ④ ，得 a n—3 + a n—2 + a n—1 + a n+1 + a n+2 +
an+3 + 2 an = 4 an—1 + 4 an+1. ⑤ 将 ② 代 入 ⑤ ，得 8a n = 4 a n—1 + 4 a n + 1 (n > 3 ) ，
d ).整 理 可 得 a 1 = a 2 — d ，即证明了数列{a n } 是 成等差数列
综 上 ，若 数 列 U n } 既 是 “P ( 2 ) 数 列 ”又是 “P (3)数列”，则 {a n } 是等差数列. 2 解题过程的反思
第 （1 ) 问的情况比较简单，我们分析的重点 放 在 第 （2 ) 问 ，主要从解题思路、问题表征以及
当 n > 3 时 ，a n—2 + a n—1 + a n+1 + a n+2 = 4 a n n
>2)①
当 n > 4 时 ，a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n+1 + a n+2 +
a n+3 = 6a n(n > 3 ) . ② 当 n > 3 时 ，由 ① 得 a n—3 + a n—2 + a n + a n+1
从 记 忆 网 络 中 提 取 有 关 信 息
^
| a ； r2 + < V i+ a n+i+ a„+ 2= 4 a „ ( « > 2 ) | | a„-3+a»-2+a«-i+«/H -i+a»+ 2+«n -3 = 6 a „ ( « > 3 ) | 替换法|-------------------------------------- -