状态观测器

状态观测器
摘要
观测器在控制理论中非常重要。

当状态不能观测时,应设计状态观测器来估计状态。

理论分析和数值仿真证实了用所设计的观测器来估计状态的有效性。

关键字：观测器;状态观测器;设计
一 全维状态观测器的设计
极点配置是基于状态反馈,因此状态X 必须可观测。

当状态不能观测时,则应设计状态观测器来估计状态。

x A x B u y C x =+⎧⎨=⎩
（1） 若系统完全能观测,则可构造如图1所示的状态观测
器。

由上图可得观测器的状态方程为
ˆˆˆx
A x
B u L
C x L y =+-+ （2） 即 ˆˆ x (A L C )x B u L y =-++ 其特征多项式为()()f s sI A L C =--
由于工程上要求ˆ x
能比较快速的逼近 x ，只要调整反 馈矩阵 L, 观测器的极点就可以 任意配置达到要求的性能。

假定单变量所要求的 n 个 观测器的极点为:
123.................n λλλλ , 则可求出期望的状态观测器的特征方程为:
112()( n n n
n n f s s a s a λλλλλλ-=---=++
这时可求得反馈矩阵 L 为：
1
0()...1o o L f A V -⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦ （3） 式中1...o n C C A V C A -⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦是将系统期望的观测器特征方程中 S 换成系统矩阵 A
后的矩阵多项式。

利用对偶原则, 可使设计问题大为简化, 求解过程如下：
( 1)构造系统式( 1)的对偶系统
T T
T z A z C B z ηω⎧=+⎪⎨=⎪⎩ （4） ( 2)用MATLAB 的函数 p l ace ( )及 acker ( ), 根据下式可求得状态观测器的反馈矩阵L
k e r(,,)T T T L a c A C P =或(,,)T T T
L p la c e A C P = （5） 其中, P 为给定的极点, L 为状态观测器的反馈矩阵。

二 降维观测器的设计
前面所讨论的状态观测器的维数和被控系统的维数相同, 故称为全维观测器。

实际上系统的输出 Y 总是能够观测的。

因此, 可以利用系统的输出量 Y 来直接产生部分状态变量, 从而降低观测的维数。

假设系统是完全能观测,若状态 X 为 n 维, 输出 Y 为 m 维, 由于 Y 是可测的,因此只需对( n- m )个状态进行观测。

也就是说用 ( n- m )维的状态观测器可以代替全维观测器。

这样, 观测器的结
构可以大大简化。

已知线性定常系统
x A x B u y C x =+⎧⎨=⎩
完全能观测, 则可将状态 X 分为可量测和不可量测两部分, 相应的系统方程可写成分快矩阵的形式
[]111211*********,,1,0x A A x B x A A x B x y x μ⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎪=⎢⎥⎪⎣⎦⎩ （6）
由此可看出, 状态x1能够直接由输出量 Y 获得, 不必再通过观测器观测,
所以只要求对 n- m 维状态变量由观测器进行重构,由上式可得关于x2的状态方程
2222212111122
x A x A y B y A y B A x μμ=++⎧⎨=-=⎩ （7） 它与全维状态观测器方程进行对比, 可得到两者之间的对应关系, 如表所示:
由此可得降维状态观测器的等效方程:
c c c z A z b C z ηω=+⎧⎨=⎩
其中, 2212212,,c c c A A b A y B C A ημ==+=
然后, 使用MATLAB 的函数 p l ace( )或 acker ( ), 根据全维状态观测器的设计方法求解反馈矩阵 L 。

降维观测器的方程为:
22212211121()()()()y y x z L z A L A z L A L A y B L B μ=+⎧⎪⎨=-++-+-⎪⎩
(8) 三 带状态观测器的状态反馈系统
状态观测器解决了受控系统的状态重构问题, 为那些状态变量不能直接观测到的系统实现状态反馈创造了条件,带状态观测器的状态反馈系统由三部分组成, 即原系统、 观测器和控制器, 图 2所示是一个带有全维观测器的 状态反馈系统。

设能控能观测的受控系统为
x
A x
B u y
C x =+⎧⎨
=⎩
状态反馈控制律为
ˆu r kx
=- 状态观测器方程为
ˆˆ()x
A L C x
B u L y =-++ 由以上三式可得闭环系统的状态空间表达式为:
{ˆx A x B K x
B u L y =-++ （9） ˆˆˆ()x
A x
B K x B u L y x
L C x A L C B K x B r y C x =-++⎧⎪=+--+⎨⎪=⎩
（10） 可以证明, 由观测器构成的状态反馈闭环系统, 其特征多项式等于状态反馈部分特征多项式 | sI- (A - BK ) |和观测器部分的特征多项式 | sI- (A - LC) |的乘积, 而且两者相互独立。

因此, 只要系统# 0 (A, B, C)能控能观测, 则系统的状态反馈矩阵 K 和观测器反馈矩阵 L 可分别根据各自的要求,独立进行配置, 这种性质被称为分离特性。

同理, 用降维观测器构成的反馈系统也具有分离特性。

如已知开环系统
[]10001120.60y x
x x μ⎧=⎡⎤⎪+⎨⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎪⎢⎥⎣⎦
⎩ （11）
设计状态反馈, 使闭环系统点为 1.8 2.4j -±
，而且状态不可观测,设
计状观测器使其闭环极点为 - 8 , - 8 。

状态反馈和状态观测器的设计应分开进行。

状态观测器的设计借助于对偶原理, 在设计之前, 应先判别系统的可控性和可观测性。

MATLAB 的仿真程序为:
% Examp le
A = [ 0 1 ; 20 . 6 0]; b= [ 0 ; - 1]; c= [ 1 0];
% Check Contrillablity and Observab lity
d isp( %Th
e rank o
f Control lablity Matric) '
rc= rank( ctrb( A, b) )
d isp( Th
e ra nk o
f ObserbliityMatr ic) '
r0= rank( obsv(A, C) )
% Desing Regulator
p= [ - 1 . 8+ 2 . 4 * j - 1 . 8- 2 . 4 * j];
k= acker(A, b , p)
% Desing State Observer
A1= A; 'b1= C; 'C1= b;'
P1= [ - 8 8];
K1= acker ( A1 , b1 , P1) ;
L= K1 '
执行后得:
The rank of Controllab lityM atrix
Ro=
2
The ra nk of Observab ility Matrix
Ro=
2
k=
29 . 6000 3 . 6000
L=
16 . 0000
84 . 000
四结论
本文利用状态观测器的控制方法, 通过对系统状态的控制来实现对系统的控制, 反馈增益矩阵容易获得,提高了该方法的实用性。

仿真试验表明了该方法可以对混沌系统进行控制,通过对状态观测器系统的数值仿真, 结果证明了该方法的正确性和有效性, 此种方法在工程实践上具有良好的应用前景
五参考文献:
[ 1]李国勇,谢克明. 控制系统数字仿真与CAD[M ]. 北京:电子工业出版社, 2003 : 240- 247 .
[ 2]高金峰,罗先觉,马西奎等. 控制与同步连续时间混沌系统的非线性反馈方法[ J]. 物理学报, 1999( 9 ): 1618-1626 .
[ 3]谭 文,王耀南,刘祖润等. 非线性系统混沌运动的神经网络控制[ J]. 物理学报, 2002( 11): 2463- 2466 .
[ 4]陆朝海, 陆君安. 统一混沌的控制[ J]. 物理学报,2003( 2): 281- 284 .
[ 5]胡寿松.自动控制原理(第三版) [M ] .北京: 国防工业出版社, 1999 : 598- 599 .
[ 6]李友善.自动控制原理(下册) [M ]. 北京: 国防工业出版社, 1990 : 205- 220 .。