分形几何学在物理学中的应用

• 在经济管理学中的应用
分形学在经济和管理学领域的应用，已经形成了分支学科一非线 性经济学。 在股票、证券市场的应用，如用于分形市场假设、股票证券价格 和收益的波动规律、证券市场交易数据的变化趋势等分析。 在管理科学中有许多应用，如在企业管理学、城市管理学、分形 管理学等方面。此外，在经济弹性、国民收入、资本和财产的分布、 经济刺痛变化趋势预测、经济混沌及经济奇异吸引子的分维测度、经 济时序动力系统、人口学等方面也有应用。
• 分形主要是研究自然和社会中广泛存在的零碎而复杂，无 序，不规则，非线性，不光滑，具有自相似，自仿射和标 度不变性的复杂系统。 • 曼德布罗特对分形的最基本定义是：“A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way”。然而，经 过理论和应用的检验，对于什么是分形，到目前为止还不 能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有 严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特 性来加以说明，类似的对分形下定义，可以认为具有以下 分形特征的集合就是分形。
对于Koch 曲线, 如果用一维的尺度 来测, 其结果为无穷大, 说明所采用 的尺度太细, 而用二维的尺度来测, 其结果为零, 说明采用的尺度太粗, 那么肯定要用介于一维与二维之间的 一个非整数维数来测量它, 才能定量 地表现Koch 曲线的性质。不仅Koch 曲线, 而且对于别的分形图形也具有 同样的情况, 人们用非整数维即分形 维数来定量地刻画分形图形的复杂性。
使用分形理论分析物流系统相似 性及应用
主要内容
• • • • 基本概念 研究现状和研究方法 主要文献介绍 参考文献
基本概念
• 分形的定义 • 美籍法国数学家曼德布罗特(Benoit B Mandelbrot ) 于1967 年在《科学》杂志上发表了一篇题为“英国的海岸线有多 长? 统计自相似性与分数维数”(How Long is the Coast of Britain , Statistical Self Similarity and Fractional Dimension) 的 论文, 通常被认为是“分形”学科诞生的标志。 • 分形(Fractal)一词，是1973年曼德布罗特由拉丁语Frangere 一词创造而成的，其原意具有不规则、支离破碎等意义， 故又可称为"碎形"。
• 分形理论的应用 • 分形几何学在物理学中的应用
如在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它不间断地作 无规则运动（布朗运动），这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞（ 每秒钟多达十亿亿次）下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹，由各种 尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段 的部分，其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续，又处 处无导数的曲线。
• 在水文、地理学中的应用
分形理论已广泛用于解释和分析复杂的天文、水文、地质、地理 等领域。在气象学领域，分形用于研究云系的形状、气象卫星云图的 特征和数据压缩，降水的模式和强度，降水量在土壤中的渗透模式等 。在水文领域，用于研究河流形态、洪涝干旱序列、水文过程线(如水 位、流量、含沙量等)等的形状特征。在地貌学领域，运用分形理论研 究地表面的起伏，例如山川、地形、地貌的形态，以及它们产生、发 展、分布的规律等，已经形成了分形地貌学(fractal geomorpho形理论 • 研究分形性质及其应用的学科统称为“分形理论”。 • 分形理论是一门新兴的横断学科，它给自然科学、社会科 学、工程技术、文学艺术等极广泛的学科领域，提供了一 般的科学方法和思考方式。就目前所知，它有很高程度的 应用普遍性。这是因为，具有标度不变性的分形结构是现 实世界普遍存在的一大类结构。 • 自相似和标度不变性是分形图形两个性质。自相似性是指 某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看 都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与 整体类似。标度不变性是指在分形上任选一局部区域，不 论将其放大或缩小，它的形态、复杂程度、不规则性等各 种特性均不会发生变化，所以标度不变性又称为伸缩对称 性。 • 形象地说，就是当用不同倍数的照相机拍摄研究对象时， 无论放大倍数如何改变，看到的照片都是相似的(统计意 义) ，而从相片上也无法断定所用的相机的倍数，即标度 不变性。
• • •
• 分形维数
• 维数是几何图形的一个特征量。众所周知, 点是零维的, 直 线是一维的, 平面是二维的。当测量直线段的长度时, 若用 单位面积的正方形来测, 那么测出的结果为零, 说明所采用 的尺度太粗；类似地, 当测量圆面的面积时, 若用单位长度 的线段来测, 那么测出的结果为无穷大, 说明所采用的尺度 太细。这也就是说, 在测量几何图形时, 测量的结果与测量 所采用的尺度有关。 • 科赫曲线：其构造过程如下图所示。设E0是单位长线段, E1是由E0去掉中间三分之一的线段, 而代之以底边在被除 去线段上的等边三角形的另外两条边所得到的图形。它包 含四条线段。对E1的每条线段都进行同一过程来构造E2. 依此类推可得到一个曲线序列{Ek}, 其中Ek是把Ek-1的每一 条线段中间三分之一用等边三角形的另外两条边取代而得 到的。当K 趋于无穷大时, 该曲线序列趋于一个极限曲线 被称之为科赫曲线。
•
• •
分型图形的典型特征：
分形集都具有任意小尺度下的复杂结构，或者说它具有 精细的结构。 分形集不能用传统的集合语言来描述，它既不是满足某 些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集，即具 有不规则性。 分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者 统计的自相似。 一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑 维数。 在大多数令人感兴趣的情况下，分形集由非常简单的方 法定义，可能以变换的迭代产生。
• 电化学方面的应用
在某些电化学反应中，电极附近成绩的固态物质，以不规则的树 枝形状向外增长。受到污染的一些流水中，粘在藻类植物上的颗粒和 胶状物，不断因新的沉积而生长，成为带有许多须须毛毛的枝条状， 就可以用分维。
• 自然界当中的应用
自然界中更大的尺度上也存在分形对象。一枝粗干可以分出不规 则的枝杈，每个枝杈继续分为细杈……，至少有十几次分支的层次， 可以用分形几何学去测量。还有就是雪花的结构也具有分形特点。