分形几何学在物理学中的应用

• 电化学方面的应用
在某些电化学反应中，电极附近成绩的固态物质，以不规则的树 枝形状向外增长。受到污染的一些流水中，粘在藻类植物上的颗粒和 胶状物，不断因新的沉积而生长，成为带有许多须须毛毛的枝条状， 就可以用分维。
• 自然界当中的应用
自然界中更大的尺度上也存在分形对象。一枝粗干可以分出不规 则的枝杈，每个枝杈继续分为细杈……，至少有十几次分支的层次， 可以用分形几何学去测量。还有就是雪花的结构也具有分形特点。
• 分形理论 • 研究分形性质及其应用的学科统称为“分形理论”。 • 分形理论是一门新兴的横断学科，它给自然科学、社会科 学、工程技术、文学艺术等极广泛的学科领域，提供了一 般的科学方法和思考方式。就目前所知，它有很高程度的 应用普遍性。这是因为，具有标度不变性的分形结构是现 实世界普遍存在的一大类结构。 • 自相似和标度不变性是分形图形两个性质。自相似性是指 某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看 都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与 整体类似。标度不变性是指在分形上任选一局部区域，不 论将其放大或缩小，它的形态、复杂程度、不规则性等各 种特性均不会发生变化，所以标度不变性又称为伸缩对称 性。 • 形象地说，就是当用不同倍数的照相机拍摄研究对象时， 无论放大倍数如何改变，看到的照片都是相似的(统计意 义) ，而从相片上也无法断定所用的相机的倍数，即标度 不变性。
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• 分形维数
• 维数是几何图形的一个特征量。众所周知, 点是零维的, 直 线是一维的, 平面是二维的。当测量直线段的长度时, 若用 单位面积的正方形来测, 那么测出的结果为零, 说明所采用 的尺度太粗；类似地, 当测量圆面的面积时, 若用单位长度 的线段来测, 那么测出的结果为无穷大, 说明所采用的尺度 太细。这也就是说, 在测量几何图形时, 测量的结果与测量 所采用的尺度有关。 • 科赫曲线：其构造过程如下图所示。设E0是单位长线段, E1是由E0去掉中间三分之一的线段, 而代之以底边在被除 去线段上的等边三角形的另外两条边所得到的图形。它包 含四条线段。对E1的每条线段都进行同一过程来构造E2. 依此类推可得到一个曲线序列{Ek}, 其中Ek是把Ek-1的每一 条线段中间三分之一用等边三角形的另外两条边取代而得 到的。当K 趋于无穷大时, 该曲线序列趋于一个极限曲线 被称之为科赫曲线。
使用分形理论分析物流系统相似 性及应用
主要内容
• • • • 基本概念 研究现状和研究方法 主要文献介绍 参考文献
基本概念
• 分形的定义 • 美籍法国数学家曼德布罗特(Benoit B Mandelbrot ) 于1967 年在《科学》杂志上发表了一篇题为“英国的海岸线有多 长? 统计自相似性与分数维数”(How Long is the Coast of Britain , Statistical Self Similarity and Fractional Dimension) 的 论文, 通常被认为是“分形”学科诞生的标志。 • 分形(Fractal)一词，是1973年曼德布罗特由拉丁语Frangere 一词创造而成的，其原意具有不规则、支离破碎等意义， 故又可称为"碎形"。
对于Koch 曲线, 如果用一维的尺度 来测, 其结果为无穷大, 说明所采用 的尺度太细, 而用二维的尺度来测, 其结果为零, 说明采用的尺度太粗, 那么肯定要用介于一维与二维之间的 一个非整数维数来测量它, 才能定量 地表现Koch 曲线的性质。不仅Koch 曲线, 而且对于别的分形图形也具有 同样的情况, 人们用非整数维即分形 维数来定量地刻画分形图形的复杂性。
• 分形理论的应用 • 分形几何学在物理学中的应用
如在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉，会看见它不间断地作 无规则运动（布朗运动），这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞（ 每秒钟多达十亿亿次）下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹，由各种 尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率，就可以发现原以为是直线段 的部分，其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续，又处 处无导数的曲线。
• 分形主要是研究自然和社会中广泛存在的零碎而复杂，无 序，不规则，非线性，不光滑，具有自相似，自仿射和标 度不变性的复杂系统。 • 曼德布罗特对分形的最基本定义是：“A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way”。然而，经 过理论和应用的检验，对于什么是分形，到目前为止还不 能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有 严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特 性来加以说明，类似的对分形下定义，可以认为具有以下 分形特征的集合就是分形。
• 在水文、地理学中的应用
分形理论已广泛用于解释和分析复杂的天文、水文、地质、地理 等领域。在气象学领域，分形用于研究云系的形状、气象卫星云图的 特征和数据压缩，降水的模式和强度，降水量在土壤中的渗透模式等 。在水文领域，用于研究河流形态、洪涝干旱序列、水文过程线(如水 位、流量、含沙量等)等的形状特征。在地貌学领域，运用分形理论研 究地表面的起伏，例如山川、地形、地貌的形态，以及它们产生、发 展、分布的规律等，已经形成了分形地貌学(fractal geomorphology)这 一地貌学新的分支。
• 在经济管理学中的应用
分形学在经济和管理学领域的应用，已经形成了分支学科一非线 性经济学。 在股票、证券市场的应用，如用于分形市场假设、股票证券价格 和收益的波动规律、证券市场交易数据的变化趋势等分析。 在管理科学中有许多应用，如在企业管理学、城市管理学、分形 管理学等方面。此外，在经济弹性、国民收入、资本和财产的分布、 经济刺痛变化趋势预测、经济混沌及经济奇异吸引子的分维测度、经 济时序动力系统、人口学等方面也有应用。
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分型图形的典型特征：
分形集都具有任意小尺度下的复杂结构，或者说它具有 精细的结构。 分形集不能用传统的集合语言来描述，它既不是满足某 些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集，即具 有不规则性。 分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者 统计的自相似。 一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑 维ห้องสมุดไป่ตู้。 在大多数令人感兴趣的情况下，分形集由非常简单的方 法定义，可能以变换的迭代产生。