隐函数微分法

sin x y yzco(xsyz)2 x
F (x ,y ,z ) x 2 e t2 d tx y sti d tn x y z ct2 o d ts
0
0t
0
Fx ex2(x2)x'
sinxy xy
(xy)x'
c(o xys z)2 (xyz)x '
2x ex4
sin x y yzco(xsyz)2 x
9.5 隐函数微分法
教学要求：会求隐函数的导数或偏导数；了解隐 函数存在定理的条件与结论.
一、一个方程的情形
1 . F (x,y)0
隐函数存在定理 1 设函数F ( x, y)在点P( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 ) 0 ， Fy ( x0 , y0 ) 0，则方程F ( x, y) 0 在点P( x0 , y0 ) 的
合并得 ( F 1 F 3 ) d ( F 2 x F 1 ) d ( F 2 y F 3 ) d ,
解得
dzF F 1 2 F F 3 3 d xF F 2 2 F F 1 3d,y
例5 设 F ( x y ,y z , z x ) 0 ,其中 F具有
连续偏导数, 且
z ___________________________, x z ___________________________. y 二、设2 sin( x 2 y 3z) x 2 y 3z,
证明：z z 1. x y
三 、 如 果 函 数 f ( x , y , z ) 对 任 何t 恒 满 足 关 系 式
u(
x
)
由
方
程
组
g(
x,
y, z)
0
所确定,
h( x , z ) 0
且 g 0, h 0, 求 du . ( f , g , h 均 可 微 )
y z
dx
七 、 设 y f ( x , t ), 而t 是 由 方 程 F ( x , y , t ) 0 所 确 定 的
x , y 的 函 数 , 求 dy . dx
五、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数:
1、 设
z x2 y2
x
2
2
y
2
3z
2
20
, 求 dy , dz . dx dx
2、 设
u v
f ( ux , v y ) ， 求 g(u x,v 2 y)
u x
, v x
.
（其中 f,g具有一阶连续偏导数）
u f (x, y)
六
、
设函数
四 、 2 z z ( z 4 2 xyz 2 x 2 y 2 ) .
xy
( z 2 xy ) 3
五 、 1、 dy
x (6 z 1) dz ,
x；
dx 2 y ( 3 z 1) dx 3 z 1
2、
u x
u f 1( 2 yv g 2 1 ) f 2 g 1 ( x f 1 1 )( 2 yv g 2 1 ) f 2 g 1
1.
证 由题意知方程确定函数 zz(x,y).在题设
方程两边取微分, 得
d ( x F y ,y z ,z x )d0 0,
即有 F 1 d ( x y ) F 2 d ( y z ) F 3 d ( z x ) 0 . F 1 ( d d ) x F 2 ( d y d ) y F 3 ( d z d ) z 0 .x
z f ( x, y)，它满足条件z0 f ( x0 , y0 ) ，
并有 z Fx ， z Fy .
x Fz
y Fz
由方程 F (x ,y,z) 0 所确定的二元函数 z = f ( x , y ) , 求 z , z
x y
F[x, y, f(x, y)]
x
F
F dx x dx
0
0t
0
确定 z = z ( x , y ) ， 求 z , z
x y
解：令
F (x ,y ,z ) x 2 e t2 d tx y sti d tn x y z ct2 o d ts
0
0t
0
Fx
ex4(x2)x'
sinxy xy
(xy)x'
c(o xys z)2 (xyz)x '
2x ex4
F x ey1, Fy 1xey
dy dxHale Waihona Puke Baidu
Fx Fy
e y 1 1 xe y
,
d2 y d x2
ddx(1eyxe1y )
(1xye)d(ey1)(ey1)d(1xye)
dx
dx
(1xey)2
例2：设 yxeyx0 求 d 2 y
d x2
解： F (x,y)yxeyx
dy
dx
e y 1 1 xe y
fu fu
xzfv yzfv
,
把 y看成 x,z的函数对 z求偏导数得
1 fu y z1 fv x yx z y z
y z
1fufu xxzvfyvf.
例5 设 F ( x y ,y z , z x ) 0 ,其中 F具有
连续偏导数, 且
F 2 F 3 0, 求证
z x
yz
F(0,1)0, F y(0,1)20,
依定理知方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻域内 能唯一确定一个单值可导、且 x 0时 y 1的函数 y f ( x)．
例 １ 验 证 方 程 x2y210在 点 (0,1)的 某 邻 域 内 能 唯 一 确 定 一 个 单 值 可 导 、 且 x0时 y1 的 隐 函 数 yf(x)， 并 求 这 函 数 的 一 阶 和 二 阶 导 数 在 x0的 值 .
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续
导数的函数 y f ( x)，它满足条件 y0 f ( x0 ) ，并
有
dy Fx .
dx Fy
隐函数的求导公式
1 . F (x,y)0
将 y = f (x) 代入方程得： F [x ,f(x )] 0
x
d F[x, f(x)] dx
F
y
x
F dx F d y x dx y dx
,
d2 y d x2
(1xye)d(ey1)(ey1)d(1xye)
dx
dx
(1xey)2
(1xy)e eyy(1 (ex ye y 1 ))2 (eyxyy e) ey(1(e1y)x(xeeyy)2x2)
2 . F (x ,y ,z) 0
隐函数存在定理 2 设函数F ( x, y, z)在点P( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 , z0 ) 0，Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 ，则方程F ( x, y, z) 0 在点P( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内恒能唯一确 定一个单值连续且具有连续偏导数的函数
F 2 F 3 0, 求证
z x
yz
1.
证 解得 从而 于是
( F 1 F 3 ) d ( F 2 x F 1 ) d ( F 2 y F 3 ) d ,
dzF F 1 2 F F 3 3 d xF F 2 2 F F 1 3d,y
z x
F1 F2
F3 F3
,
z y
F2 F2
x y
fu fu
xzfv yzfv
,
把 y看成 x,z的函数对 z求偏导数得
1 fu y z1 fv x yx z y z
例4
设
z f(x y z ,x)y 求,z xz ,
x y
,
y z
.
解
z x
1fufu yxzvfyvf,
把 x看成 z,y 的函数对 y求偏导数得
x y
FF13,
z x
z y
F2 F3 F2 F3
1.
例4：设 zx yz确定 z为x、y的函数，求 dz.全微
例5：设 xzy f(x2z2),其中f 有连续导数， 证明 :zzyz x x y
例5 已知 x 2 e t2 d tx ystid tn x y z cto 2 d ts 0
三、小结
隐函数的求导法则（分以下几种情况）
(1 ) F (x ,y ) 0
(2 )F (x ,y ,z ) 0
(3)
F(x,y,u,v)0 G(x,y,u,v)0
作业：习题9---5: 1, 6, 8
练习题
一、填空题:
1、设ln x 2 y 2 arctan y ,则 x
dy ___________________________. dx 2、设z x y z ,则
f ( tx , ty , tz ) t k f ( x , y , z ) , 则 称 函 数 f ( x , y , z ) 为
k 次 齐 次 函 数 , 试 证 :k 次 齐 次 函 数 满 足 方 程
f x
f y
f z
kf
(x, y,z).
x y z
四 、 设 z 3 3 xyz a 3 , 求 2 z . xy
z x
Fx Fz
2x
e x4
sin x x
y
yzco(xsyz)2
xyco(xsyz)2
z y
Fy Fz
sin x y xzco(xsyz)2 y
xyco(xsyz)2
二、方程组的情形(G F不((xx,要,yy,,uu求,,vv)))00
例 6 ： x y设 e eu u u u c sio v v,n 求 s u x, u y, x v, v y.
F F d y 0 x y dx
d y dx
F
x F
y
例１ 验证方程 x2 y2 1 0在点(0,1)的某邻 域内能唯一确定一个单值可导、且 x 0时 y 1 的隐函数 y f ( x)，并求这函数的一阶和二阶导
数在 x 0的值.
解 令 F (x,y)x2y21则 Fx2x, Fy 2y,
,
v x
g 1 ( x f 1 u f 1 1 ) ( x f 1 1 )( 2 yv g 2 1 ) f 2
g 1
.
六、ddu x fx
fxgx gy
fy gz hx gyhz
fxgyhz fxgxhzfygzhx. gyhz
七、dyFt fx Fx ft. dx FtFy ft
函数的一 dy 阶 Fx导 y 数 1,d为 y 2 dx Fy x1dx x0
八、 设 z z(x, y)由方程 F (x x , y z )=0 所确定, yx
证 明 : x z y z z xy . x y
练习题答案
一 、1、 x y ； x y
2 、 z x ln z ； xz x 1 y z ln y
3、
zy z 1
.
xz x 1 y z ln y
F z
z x
0
xx zy y
z x
F
x F
z
z y
F
y F
z
例3
设x2
y2
z2
4z
0，求
2z x 2
.
解 令 F (x ,y ,z ) x 2 y 2 z 2 4 z ,
则
Fx2x, Fz2z4,
z Fx x , x Fz 2z
2z x 2
(2 z) x z
x (2 z)2
(2 z) x x
2z (2 z)2
(2 z)2 (2 z)3
x2
.
例4
设
z f(x y z ,x)y 求,z xz ,
x y
,
y z
.
解 令 u x y z ,vxy, z则 zf(u,v),
把 z看成 x,y的函数对 x求偏导数得
z x
fu 1 x z fv y z x x z y
若F(x, y)具 有 连 续 的 二， 阶则 偏可 导求 数方
F(x, y)0确 定 的 隐y函f(数 x)的 二 阶.导 数
解 令 F (x,y)x2y21则 Fx2x, Fy 2y,
F(0,1)0, F y(0,1)20,
dy Fx x ,
dx F y
y
dy 0, dx x0
d2y dx 2
y
xy y2
y
x
y2
x y
1 y3 ,
d2y dx2
x0
1.
例2：设
yxeyx0
求
d2 y d x2
解： F (x,y)yxeyx
z x
1fufu yxzvfyvf,
把 x看成 z,y 的函数对 y求偏导数得
0 fu x y1 fv x zy zx y
例4
设
z f(x y z ,x)y 求,z xz ,
x y
,
y z
.
解
z x
1fufu yxzvfyvf,
把 x看成 z,y 的函数对 y求偏导数得
0 fu x y1 fv x zy zx y
Fy
0
sinxy xy
(xy)'y
co (xy sz)2(xyz)'y
sin x y xzco(xsyz)2 y
Fz0 0 c( o xy s z)2(xyz)z 'xyco(xsyz)2
Fx
2x ex4
sin x y x
yzco(xsyz)2
Fy
sin x y y
xzco(xsyz)2
Fz xyco(xsyz)2