电梯模型

基于电梯配置的随机模型
摘要
本文主要研究了电梯上行交通模式下的调度问题，通过运筹学规划思想建立了乘客侯梯时间的最优化模型，该模型对电梯分组的不同情况，采用计算机逐步搜索迭代法进行求解，得到了最优调度方案，并提出了模型的改进方向。

对于模型一，采用极端假设的方法，不考虑乘客到来的随机性和等待时间，在规定的时间内，电梯每次都是满载的，同时求解出在确定的时间内电梯调度的最大运载能力，建立直接模型，确定电梯运输能力的范围。

对于模型二，在极端假设的条件下，对所有的楼层进行分段，每个电梯负责特定的楼层，利用随机的分组方法，得出非线性规划方程组，求的最优的分段数。

在确定分区点后，以电梯运行一次的往返时间为目标函数，建立模型，通过Matlab软件对分段模型进行模拟运行，以枚举法求解，得出多段最有分区。

模型一和模型二要求将数学模型进一步实际化，首先应考虑电梯上行下行是的加速度、最大速度、乘客上下电梯所用时间和开关电梯门的平均时间，帅选出最优方案。

关键词：迭代法；非线性规划；Matlab软件；枚举法
1 问题重述
有一座建筑物高30层，其中第一层高度25ft ，2—30层每层高度均为12ft10in 。

该建筑物需要安装若干部电梯，所有指标如下
1.1基本数据：
2－30层人数分别为：208, 177, 222, 130, 181, 191, 236, 236, 139, 272, 272, 272, 270, 300, 264, 200, 200, 200, 200, 207, 207, 207, 207, 205, 205, 132, 132, 136,140；
每层楼电梯的最大间隔： 30s ；
实际可以安装的最多电梯组数： 5；
各种类型电梯的速度分别为：500, 700, 800, 1000, 1200fi/min ；
电梯容量：19人；
电梯的最大加速度：4ft/s/s （说明：电梯加速与减速的加速度相同） 电梯又静止到达到最大加速运行时，加速度的变化率为：2ft/s/s/s ； 电梯上1人需要的时间：1s ；
电梯下1人需要的时间：0.8s ；
电梯开(关)门时间：3s ；
所有电梯的最小运送能力：每5分钟至少运送全体人员的12%；
1.2电梯安排的要求：
每组电梯为相邻若干层人员服务；
为高层服务的电梯速度不小于为底层服务的电梯速度；
每组电梯个数必须为偶数。

2 问题分析
本文的目标是针对建筑物的具体情况，合理的配置电梯调度的优化方案。

我们从电梯的基本运行规律和对乘客的服务两个指标入手分析：
2. 1 电梯的基本运行规律
设电梯的最大运行速度为0v ，从静止到静止需要运行的距离为x ，需要的运行时间为)(x T ，最大加速度为a 且加速度的变化率为q 。

记
如果不考虑变速问题，则0/)(v x x T =；
如果不考虑加速度的变化，则又电梯的初速度为0得电梯速度满足t a v ⋅=，
从而加速达到最大速度需要的时间为a v t /01=，其运行距离为2//201a v d =。

考
虑到电梯运行中加速与减速度对称性得：
当2/1x d ≤时，正常运行时间为a v v x v d x t ///)2(00012-=⋅-=，故总运行时间为
a
v v x t t x T 00122)(+=⋅+= 当2/1x d >时，电梯的运行不可能达到正常速度，能够达到的最大速度为x a v ⋅=，运行时间为a x t /0=，从而a x x T /2)(=。

如果考虑加速度的变化，则又电梯的初速度为0且初始加速度也为0。

电梯的加速度满足qt ，速度满足2/2t q v ⋅=，运行距离为6/3t q ⋅，达到最大加速度的
时间为q a t /1=，实际运行距离为)6/(231q a d ⋅=且速度为)2/(21q a v ⋅=。

假设电梯的设计是合理的，则必有01v v ≤。

此后电梯按照加速度a 加速，速度及运行距离分别为t a v ⋅+1和2/21t a t v ⋅+⋅。

达到最大速度的时间及运行距离分别为
a v v t /)(102-=和)2/()(20212a v v d ⋅-=。

与不考虑加速度变化类似可得：
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎪⎨⎧<+--+⋅+⋅>+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⋅++⋅>⋅⋅=2222)2(2262)(210212*********x d d v d d x t t x d d a v d x a v t x d q x x T 事实上，电梯加速度比较小且楼层距离在3m 左右，一般不会出现2/1x d >的情况，从而)(x T 的表达式可以采用后两段即可。

2. 2 对乘客的服务
由于乘客乘电梯的需求是随机的，而且上下电梯的地点也是随机的，从而首先需要对一个确定的电梯服务过程进行系统分析。

设电梯的服务范围是从第L 层开始的连续N 层人员。

为了研究电梯的服务质量，我们采用最大最小原则，即使得服务质量最差时的服务质量达到最好。

电梯服务质量最差的时间一定为人员对电梯需求最大的时间，故我们采用上班时间的高峰期作为考察电梯服务质量的时间。

此时，乘客全部在一楼进入电梯，而且在自己的工作地点下电梯。

为了研究在一楼上r 个乘客的电梯运行情况，必须了解电梯停靠的次数及位置。

由于这r 个乘客随机分布在电梯服务范围内的任意楼层，从而电梯的电梯的停靠次数S 以及停靠位置S m m m ,,,21 也是随机变量。

如果已知S m m m S ,,,,21 ，则可以得到电梯完成运送乘客且返回一楼所需要的时间由以下几部分组成：
a. 电梯上下乘客的时间为：)(u l r +⋅；
b. 电梯开关门的时间：)1(+⋅S d ；
c. 电梯直达第一个停靠点的运行时间：))2('(1-⋅+m h h T ；
d. 电梯在各停靠点之间的运行时间：))(())((112--⋅++-⋅S S m m h T m m h T ；
f. 电梯返回一楼的运行时间：))2('(-⋅+S m h h T ；
g ．在以上时间之和上再增加10％的安全系数。

为了计算方便，我们假设r 个乘客等可能的分布在每层楼。

尽管一般电梯满足2/21h d d ≤+，但是存在部分电梯满足2/21h d d >+。

另一方面，所有电梯满足h d d ≤+21，故当高速电梯在相邻两个楼层停靠时，运行
的平均速度最小，即花费的时间最多，而且停靠楼层不相邻时，)(x T 为x 的线性函数。

由于我们希望讨论最坏情况下电梯运行所需要的时间，故可假定i S m m S i +-=。

此时电梯完成一次运送乘客任务需要的总时间
))]2('()()1())
('()1()([1.1-⋅++⋅-+-⋅+++⋅++⋅⋅=S S c m h h T h T S S m h h T S d u l r T
下面研究随机变量S 和S m 的分布。

令1+-=L m H S ，则S 和H 的取值范围均为],1[N 。

设1=i I 表示有人在第1-+i L 层下且0=i I 没有人下，则N I I S ++= 1。

由某人在第i 层下的概率为N /1得
r
i i N I P I P ⎪⎭⎫ ⎝
⎛--==-==111)0(1)1(，故 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅==∑=r N i i N N I E S E 111)()(1 又因为S m 为随机变量S m m ,,1 中最大值，故：P k H P ==)((乘客在第1-+k L 层全部下完)P - (乘客在第2-+k L 层全部下完)，所以
r
r N k N k k H P ⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛==1)(且 ∑∑-==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=1111)(N k r N k r r N k N N k N k k H E 。

由于c T 是S 和H 的线性函数，从而可得电梯环形一周所需时间的期望值
])}3)(['()(]1)([)])
(1)(['(]1)([)({1.1)(-+⋅++⋅-+--+⋅+++⋅++⋅⋅=H E L h h T h T S E S E H E L h h T S E d u l r T E c
对于有m 部同类型电梯的电梯组，假定每个电梯的运行相互独立，则它们运行的期望状态为等间隔分布，由此可得乘客在1楼等待电梯所需要的时间的期望为)2/()(m T E T c w ⋅=。

该组电梯5分钟运送乘客的能力为：
r p T W N L L i i
w ⋅⋅
=∑-+=3001
3 符号定义
0v ： 电梯的最大运行速度；
a ： 电梯的最大加速度；
q ： 加速度的变化率；
x ： 从静止到静止需要运行的距离；
1d ： 运行距离；
2t ： 正常运行时间；
)(x T ： 总运行时间。

4 模型假设
1．假设电梯在运行过程中无故障发生。

2．同一规格的电梯不能同时运行。

3．不考虑其他因素对电梯运行的影响。

4．所有电梯分为若干组，各组服务的方案不同，而每一组内的若干台电梯服务方案是一致的。

5．每个楼层有且只有一组电梯停靠运客。

6．同一规格的电梯不能同时运行。

7．电梯每次运行都是满载的。

5 模型的建立与求解
5.1 电梯要求
5.1.1如果不考虑变速问题，则
0/)(v x x T =
5.1.2如果不考虑加速度的变化，则又电梯的初速度为0得：
①当2/1x d ≤时
②当2/1x d >时
5.1.3如果考虑加速度的变化，则又
即假设电梯的设计合理，则必有01v v ≤。

此后电梯按照加速度a 加速，速度及运行距离分别为t a v ⋅+1和2/21t a t v ⋅+⋅。

达到最大速度的时间及运行距离分
别为a v v t /)(102-=和)2/()(20212a v v d ⋅-=。

与不考虑加速度变化类似可得：
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎪⎨⎧<+--+⋅+⋅>+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⋅++⋅>⋅⋅=2222)2(2262)(210212*********x d d v d d x t t x d d a v d x a v t x d q x x T 考虑实际情况可知，电梯加速度比较小且楼层距离在3m 左右，一般不会出
现2/1x d >的情况，从而)(x T 的表达式可以采用后两段即可。

5.2 对乘客服务的角度
由于乘客乘电梯的需求是随机的，而且上下电梯的地点也是随机的，从而首先需要对一个确定的电梯服务过程进行系统分析。

设电梯的服务范围是从第L 层开始的连续N 层人员。

为了研究电梯的服务质量，我们采用最大最小原则，即使得服务质量最差时的服务质量达到最好。

电梯服务质量最差的时间一定为人员对电梯需求最大的时间，故我们采用上班时间的高峰期作为考察电梯服务质量的时间。

此时，乘客全部在一楼进入电梯，而且在自己的工作地点下电梯。

为了研究在一楼上r 个乘客的电梯运行情况，必须了解电梯停靠的次数及位置。

由于这r 个乘客随机分布在电梯服务范围内的任意楼层，从而电梯的电梯的停靠次数S 以及停靠位置S m m m ,,,21 也是随机变量。

如果已知S m m m S ,,,,21 ，则可以得到电梯完成运送乘客且返回一楼所需要的时间由以下几部分组成：
a. 电梯上下乘客的时间为：)(u l r +⋅；
b. 电梯开关门的时间：)1(+⋅S d ；
c. 电梯直达第一个停靠点的运行时间：))2('(1-⋅+m h h T ；
d. 电梯在各停靠点之间的运行时间：
))(())((112--⋅++-⋅S S m m h T m m h T ；
f. 电梯返回一楼的运行时间：))2('(-⋅+S m h h T ；
g ．在以上时间之和上再增加10％的安全系数。

为了计算方便，我们假设r 个乘客等可能的分布在每层楼。

尽管一般电梯满足2/21h d d ≤+，但是存在部分电梯满足2/21h d d >+。

另一方面，所有电梯满足h d d ≤+21，故当高速电梯在相邻两个楼层停靠时，运行的平均速度最小，即花费的时间最多，而且停靠楼层不相邻时，)(x T 为x 的线性函数。

由于我们希望讨论最坏情况下电梯运行所需要的时间，故可假定i S m m S i +-=。

此时电梯完成一次运送乘客任务需要的总时间：
))]2('()()1())
('()1()([1.1-⋅++⋅-+-⋅+++⋅++⋅⋅=S S c m h h T h T S S m h h T S d u l r T
下面研究随机变量S 和S m 的分布。

令1+-=L m H S ，则S 和H 的取值范围均为],1[N 。

设1=i I 表示有人在第1-+i L 层下且0=i I 没有人下，则N I I S ++= 1。

由某人在第i 层下的概率为N /1得
r
i i N I P I P ⎪⎭⎫ ⎝
⎛--==-==111)0(1)1(， 故
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅==∑=r N i i N N I E S E 111)()(1 又因为S m 为随机变量S m m ,,1 中最大值，则：P k H P ==)((乘客在第1-+k L 层全部下完)P - (乘客在第2-+k L 层全部下完)，所以
r
r N k N k k H P ⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛==1)(且 ∑∑-==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=1111)(N k r N k r r N k N N k N k k H E 。

由于c T 是S 和H 的线性函数，从而可得电梯环形一周所需时间的期望值
])}3)(['()(]1)([)])
(1)(['(]1)([)({1.1)(-+⋅++⋅-+--+⋅+++⋅++⋅⋅=H E L h h T h T S E S E H E L h h T S E d u l r T E c
对于有m 部同类型电梯的电梯组，假定每个电梯的运行相互独立，则它们运行的期望状态为等间隔分布，由此可得乘客在1楼等待电梯所需要的时间的期望为)2/()(m T E T c w ⋅=。

该组电梯5分钟运送乘客的能力为：
r p T W N L L i i
w ⋅⋅
=∑-+=3001
5.3电梯随机分配模型
设电梯管理将建筑物从 2 楼开始分为α段,分隔点为
n =<<<=αβββ 101,且第 i 组电梯的个数、类型和服务楼层分别为i m 、i d 和
第11+=i β到i β所有人员。

记第i 组电梯的等待时间和5分钟运送乘客的能力分别为)
(i w T 和)(i W 。

5.3.1直接模型
可以根据对于电梯运行规律的分析讨论 ,得到电梯选择及分组管理的直接模型:
∑=≤≤ααα1,,11min min i d i d d z i c m
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤<≤≤≤≤≤≤≤≥ααααi 11,1,1,12.0..max )()(为偶数，
i j i
i w i m j i d d i t T i W t s 以上模型为整数非线性规划问题 ,直接求解难度比较大。

为了对于以上模型进行改进 ,建立电梯选择及分组管理的动态规划模型。

5.3.2动态规划模型
由于电梯分组问题可以看作从下到上逐步进行分组的一个过程 ,而且可以将电梯的分组过程作为一个动态过程看待;另一方面 ,电梯的分组问题事实上就是对于楼层进行分段 ,从而可以初步定义状态变量k x 应该包含第k 组电梯服务范围,1[1k k ββ+-,而对应的决策变量),(11++=k k k m d β,即决策过程就是确定下一组满足约束条件的电梯数量及电梯类型。

由于决策k d 的费用与第k 组电梯的类型k y 有关 ,从而该过程明显具有后效性。

为了消除后效性 ,一般采用将引起后效性的因素作为状态变量的新分量。

这样可得电梯问题的动态规划模型:
令状态变量),,(11k k k k k y x ---=βββ,决策变量()111,,+++=k k k k y m d β,且费用函数:
()⎩⎨⎧∞=++，其它。

可行；k
y k k d c m d w k ,11 则由k x 和k d 可以惟一点确定1+k x 。

5.4模型求解
上述给定的动态规划模型基本符合动态规划进行由后向前进行递推求解的要求 ,其中唯一差别在于电梯分的组数恰好为对应动态规划的阶段数 ,即阶段数α并非确定。

由于z ≤α为有限值 ,从而可以独立地求解z ,,1 =α这z 个不同动态规划问题 ,最后再从中选择最优解。

根据以上分析 ,构造电梯问题动态规划模型求解算法如下:
Step1定义费用函数),,(j L k F 表示从L 楼开始分为k 组电梯且最下面一组电梯类型为j 时得到的最优费用 ,显然当0=k 或1+=n L 时 , 0),,(=j L k F ,
故最后状态可表示为],1,0[s n x +=α,令0=k 。

Step2对任意12+-<≤k n L ,求(){}),,(,,1min ),,(11t L L w t L k F j L k F +-=其中:最小对于所有满足1L L <和t j ≤的),(j L 进行 ,且),,(1t L L w 表示用一组t 类电梯为L 到11-L 层服务时的最小费用。

Step3 令1:+=k k ,如果z k <,则继续Step2 ,否则转到Step4。

Step4计算{}z k j k F c S j k ,,1,),2,(min 1 ==≤≤和{}k k c c α
≤≤=1min 。

说明:在 Step4中k c 为恰好将电梯分为k 组时 ,电梯的最优费用 ,而c 为最优目标 ,将每次达到最小的过程逆推 ,即可得到楼层分组、电梯数量及类型的最优解。

由Matlab 程序计算得最优电梯分组为:电梯共分 5 组 ,楼层的分隔层β=
[1 ,5 ,11 ,16 ,22 ,30] ,电梯个数为[2 ,4 ,4 ,4 ,6 ] ，各
组电梯的类型为[1 ,2 ,5 ,5 ,5 ]。

6 模型的评价与改进
6.1模型的优点
(1)模型假设中的条件比较符合现实生活情况，模型简单明了，若采用其中一种模型来运行电梯时，可以很快的算出电梯最优的运行方式。

(2)由于各种方案相互独立，每种方案出现故障时，都不会影响其他方案的顺利运行。

(3)本模型合理的解决了电梯安排与调度，具有很强的实用性。

(4)求解过程中，采用了层次分析法，通过lingo 软件对模型进行编程求最优解，对电梯群控进行了调配，达到了优化的效果。

6.2 模型的不足
(1)该模型是在理想化的条件下建立的，与实际有较大差距。

(2)模型建立比较单一，缺少理论依据。

(3)每次运行都是理想的满载，却只负责有限的楼层。

7模型推广
(1)本模型可以广泛的推广到大型超市、商业楼和高层居民楼，合理的安装电梯数量和运行速度。

(2)适合于车辆调度与人员分配；
(3)可应用到大型工厂的配货、进货以及时间的分配。

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