电梯模型

基于电梯配置的随机模型

摘要

本文主要研究了电梯上行交通模式下的调度问题，通过运筹学规划思想建立了乘客侯梯时间的最优化模型，该模型对电梯分组的不同情况，采用计算机逐步搜索迭代法进行求解，得到了最优调度方案，并提出了模型的改进方向。

对于模型一，采用极端假设的方法，不考虑乘客到来的随机性和等待时间，在规定的时间内，电梯每次都是满载的，同时求解出在确定的时间内电梯调度的最大运载能力，建立直接模型，确定电梯运输能力的范围。

对于模型二，在极端假设的条件下，对所有的楼层进行分段，每个电梯负责特定的楼层，利用随机的分组方法，得出非线性规划方程组，求的最优的分段数。在确定分区点后，以电梯运行一次的往返时间为目标函数，建立模型，通过Matlab软件对分段模型进行模拟运行，以枚举法求解，得出多段最有分区。

模型一和模型二要求将数学模型进一步实际化，首先应考虑电梯上行下行是的加速度、最大速度、乘客上下电梯所用时间和开关电梯门的平均时间，帅选出最优方案。

关键词：迭代法；非线性规划；Matlab软件；枚举法

1 问题重述

有一座建筑物高30层，其中第一层高度25ft ，2—30层每层高度均为12ft10in 。该建筑物需要安装若干部电梯，所有指标如下

1.1基本数据：

2－30层人数分别为：208, 177, 222, 130, 181, 191, 236, 236, 139, 272, 272, 272, 270, 300, 264, 200, 200, 200, 200, 207, 207, 207, 207, 205, 205, 132, 132, 136,140；

每层楼电梯的最大间隔： 30s ；

实际可以安装的最多电梯组数： 5；

各种类型电梯的速度分别为：500, 700, 800, 1000, 1200fi/min ；

电梯容量：19人；

电梯的最大加速度：4ft/s/s （说明：电梯加速与减速的加速度相同） 电梯又静止到达到最大加速运行时，加速度的变化率为：2ft/s/s/s ； 电梯上1人需要的时间：1s ；

电梯下1人需要的时间：0.8s ；

电梯开(关)门时间：3s ；

所有电梯的最小运送能力：每5分钟至少运送全体人员的12%；

1.2电梯安排的要求：

每组电梯为相邻若干层人员服务；

为高层服务的电梯速度不小于为底层服务的电梯速度；

每组电梯个数必须为偶数。

2 问题分析

本文的目标是针对建筑物的具体情况，合理的配置电梯调度的优化方案。我们从电梯的基本运行规律和对乘客的服务两个指标入手分析：

2. 1 电梯的基本运行规律

设电梯的最大运行速度为0v ，从静止到静止需要运行的距离为x ，需要的运行时间为)(x T ，最大加速度为a 且加速度的变化率为q 。记

如果不考虑变速问题，则0/)(v x x T =；

如果不考虑加速度的变化，则又电梯的初速度为0得电梯速度满足t a v ⋅=，

从而加速达到最大速度需要的时间为a v t /01=，其运行距离为2//201a v d =。考

虑到电梯运行中加速与减速度对称性得：

当2/1x d ≤时，正常运行时间为a v v x v d x t ///)2(00012-=⋅-=，故总运行时间为

a

v v x t t x T 00122)(+=⋅+= 当2/1x d >时，电梯的运行不可能达到正常速度，能够达到的最大速度为x a v ⋅=，运行时间为a x t /0=，从而a x x T /2)(=。

如果考虑加速度的变化，则又电梯的初速度为0且初始加速度也为0。电梯的加速度满足qt ，速度满足2/2t q v ⋅=，运行距离为6/3t q ⋅，达到最大加速度的

时间为q a t /1=，实际运行距离为)6/(231q a d ⋅=且速度为)2/(21q a v ⋅=。假设电梯的设计是合理的，则必有01v v ≤。此后电梯按照加速度a 加速，速度及运行距离分别为t a v ⋅+1和2/21t a t v ⋅+⋅。达到最大速度的时间及运行距离分别为

a v v t /)(102-=和)2/()(20212a v v d ⋅-=。与不考虑加速度变化类似可得：

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪

⎪⎨⎧<+--+⋅+⋅>+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⋅++⋅>⋅⋅=2222)2(2262)(210212*********x d d v d d x t t x d d a v d x a v t x d q x x T 事实上，电梯加速度比较小且楼层距离在3m 左右，一般不会出现2/1x d >的情况，从而)(x T 的表达式可以采用后两段即可。

2. 2 对乘客的服务

由于乘客乘电梯的需求是随机的，而且上下电梯的地点也是随机的，从而首先需要对一个确定的电梯服务过程进行系统分析。设电梯的服务范围是从第L 层开始的连续N 层人员。为了研究电梯的服务质量，我们采用最大最小原则，即使得服务质量最差时的服务质量达到最好。电梯服务质量最差的时间一定为人员对电梯需求最大的时间，故我们采用上班时间的高峰期作为考察电梯服务质量的时间。此时，乘客全部在一楼进入电梯，而且在自己的工作地点下电梯。

为了研究在一楼上r 个乘客的电梯运行情况，必须了解电梯停靠的次数及位置。由于这r 个乘客随机分布在电梯服务范围内的任意楼层，从而电梯的电梯的停靠次数S 以及停靠位置S m m m ,,,21 也是随机变量。如果已知S m m m S ,,,,21 ，则可以得到电梯完成运送乘客且返回一楼所需要的时间由以下几部分组成：

a. 电梯上下乘客的时间为：)(u l r +⋅；

b. 电梯开关门的时间：)1(+⋅S d ；

c. 电梯直达第一个停靠点的运行时间：))2('(1-⋅+m h h T ；

d. 电梯在各停靠点之间的运行时间：))(())((112--⋅++-⋅S S m m h T m m h T ；

f. 电梯返回一楼的运行时间：))2('(-⋅+S m h h T ；

g ．在以上时间之和上再增加10％的安全系数。

为了计算方便，我们假设r 个乘客等可能的分布在每层楼。

尽管一般电梯满足2/21h d d ≤+，但是存在部分电梯满足2/21h d d >+。另一方面，所有电梯满足h d d ≤+21，故当高速电梯在相邻两个楼层停靠时，运行