二项式定理公开课ppt课件

(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2
这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系 数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
C
2 4
C
3 4
C44
结果：(a+b)4=C40a4 +C41a3b +C42a2b2 +C43ab3 +C44b4
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请同学们猜一猜:
(a b)5 = ? ......(a b)n = ?
尝试猜想
(a b)n ? (n N *)
知识，只有以我们自主探 索的方式获得才显得更为珍贵。
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初步归纳
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
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(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
问题：
1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
C 99 100
71
C 100 100
70
∴8100被7除的余数是1，因此 8100 天后的这
一天是星期六.
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1.知识收获：二项式定理；二项式定理的表达 式及展开式的通项、二项式系数与系数的概念。
对于某个k (k∈{ 0,1,2,…,n }), 对应的项an-kbk是由
n-k个（a+b）中选a, k个（a+b）中选b得到的.由于b选定后,
a的选法也随之确定, 因此, an-kbk出现的次数相当于
从n个(a+b)中取k个b的组合数 Cnk , 这样,(a+b)n的展开式中， ankbk共有Cnk个，将它们合并同类项, 就得到二项展开式:
右边的多项式叫做 a bn 的二项展开式，
其中各项的系数 Cnk k 0,1,2n 称为二项式系数，
式中的 Cnk ank bk 叫做二项展开式的通项，它是二项
展开式的第 k 1项,记作: Tk 1 Cnk ankbk
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第 k 1 项的二项式系数通项
a b n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnk ankbk Cnnbn
(n 11N * )
二项式定理（binomial theorem)
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnk ankbk Cnnbn
二项式
二项展开式
(n N)
这个公式叫做 二项式定理,左边的多项式叫做 二项式,
2)．各项前的系数代表着什么？ 各项前的系数 代表着这些项在展开式 中出现的次数
3)．你能分析说明各项前的系数吗？ 7
3)．你能分析说明各项前的系数吗？
(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)
项： a4
a3b
a2b2 ab3
b4
都
取
不
一
取
个
b
b
取取
取
两三
四
个个
个
b
b
b
系数：C40 C41
在上式中，令 x = 1，则有：
2n = Cn0 + C1n + Cn2 +L + Cnr +L + Cnn
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例1:求(1 2X )5 的展开式
解：（1 2x)5 C50 (2x)0 C51(2x)1 C52 (2x)2 C53 (2x)3 C（54 2x)4 C55 (2x)5 110x 40x2 80x3 80x4 32x5
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二项式
二项展开式
1.系数规律：C
n0、Cn1、C
n2、
、C
n n
2.指数规律：（1）各项的次数均为n；
（2）a的次数按降幂排列，由n降到0，
b的次数按升幂排列，由0升到n. 3.项数规律：展开式共有n+1个项
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在二项式定理中，令a=1，b=x，则有：
(1 + x)n = 1 + C1nx + Cn2x2 +L + Crnxr +L + Cnnxn
求（1 2x)5 展开式第三项以及其二项式系数，求x3项的系数
T3 C52 (2x)2 40x2 二项式系数为C52 10 x3项T4 C53 (2x)3 -80x3
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x3项系数- 80
• 引例：今天是星期五，若 8100 天后的这一天是星
期几呢？
解: 8100 （7 1）100 C1000 7100 C1100 799 C1r00 7100r
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（三）、存疑设问——突破难点
推陈出新
(a b)1 a b (a b)2 a2 2ab b2
(a b)3 ?
(a b)4 = ?
(a b)5 = ?
……
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对 (a b)2 展开式的分析
(a+b)2是2个(a+b)相乘，即(a+b)2= (a+b)* (a+b)
= (a + b)* (a + b)=aa+ab+ba+bb
猜想:(a+b)n展开式又是怎样的呢？
(a b)n （）an （）an1b L （）ankbk L （）bn (a b)n Cn0an Cn1an1b Cnk ankbk Cnnbn
(n N*)
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证明:
(a+b)n是n个(a+b)相乘,每个(a+b)在相乘时有两种选择选a 或选b,而且每个(a+b)中的a或b都选定才能得到展开的一 项。在合并同类项之前,由分步乘法计数原理,(a+b)n的展 开式共有2n项,而且每一项都是 an-kbk(k=0，1，2，…，n) 的形式.
香河一中秦淑霞
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（二）、创设情境——引出问题 问题:今天是星期五,
7天后的这一天是星期几呢？ 15天后的这一天呢？
算法：用各个数除以7，看余数是多少， 再用五加余数来推算
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若今天是星期五,再过8100天后的那一天是星期几?
8100除以7的余数是多少？
8100 (7 1)100 （a b)n (n N )的展开式是什么？
每个(a+b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个
(a+b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项。由 分步乘法计数原理，在合并同类项之前， (a+b)2的展 开式共有2*2=22项，而且每一项a,b次数和都是2且每一 项都是都是 a2-kbk(k=0,1,2) 的形式。
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对(a+b)2展开式的分析