第3章 关系规范化基础

又如：给出上面已经介绍过的职工关系(职工号，姓名， 性别，年龄，职务)，教师任课关系(教工号，姓名，职称， 课程号，课程名，课时数，课时费)和学生关系（学号， 姓名，性别，系号，系名，系主任名），求出它们的最小 函数依赖集。 分析：设它们的最小函数依赖集依次用FD1、FD2和FD3 表示，由以前对它们每个关系的函数依赖分析可以得出如 下： FD1={职工号→姓名，职工号→性别，职工号→年龄，职 工号→职务} FD2={教工号→姓名，教工号→职称，课程号→课程名， 课程号→课时数，（职称，课程号）→课时费} FD3={学号→姓名，学号→性别，学号→系号，系号→系 名，系号→系主任名}
第3章 关系规范化基础
一、各种函数依赖
1．函数依赖的概念 函数依赖就是讨论一个关系中属性值之间所存在的 函数关系。 在一个关系中，属性相当于数学上的变量，属性的 域相当于变量的取值范围，属性在一个元组上的取 值相当于属性变量的当前值。 例如：在下面的这个职工关系中，职工号、姓名、 性别、年龄、职务等属性都相当于变量；职工号属 性的域为四位十进制数字，性别属性的域为{男、女}。

5．求关系的侯选码应用举例

例1：设一个教学关系为（教师号，姓名，课程号， 课程名，课程学分，专业号，专业名，教学等级 分），假定每个教师有一个唯一的教师号，每门课 程有一个唯一的课程号，每个专业有一个唯一的专 业号，每个教师号对应一个姓名，每个课程号对应 一个课程名和一个课程学分，每个专业号对应一个 专业名，教学等级分是根据某个教师给某个专业上 某门课程的教学评价效果而得到的分数，每个教师 可以给不同的专业上不同的课程，请通过函数依赖 分析，求出该关系的候选码。
4．完全和部分函数依赖 定义：设一个关系为R(U)，X和Y为属性集U上的子 集，若存在X→Y，同时X的一个真子集X′也能够函 数决定Y，即存在X′→Y，则称X→Y的函数依赖为部 分函数依赖，或者说，X部分函数决定Y，Y部分函 数依赖于X，可记作为X Y，X→Y的部分函数依赖 也称为局部函数依赖；否则若在X中不存在一个真子 集X′，使得X′也能够函数决定Y，则称X完全函数决 定Y，或Y完全函数依赖于X，可记作为X Y， X→Y的完全函数依赖也称为直接函数依赖。

例如：职工号同其他每个属性之间的函数依赖都是 完全函数依赖。“（职工号，性别）→年龄”的函 数依赖为部分函数依赖，因为在其中存在着“职工 号→年龄”的函数依赖。 又例如：设一个教师任课关系为（教工号，姓名， 职称，课程号，课程名，课时数，课时费），假定 每个教师可以讲授多门课程，每门课程可以由不同 教师来讲授。（教工号，课程号）的组合为此关系 的候选码，并可选定为此关系的主码。


例如：在上面介绍过的职工关系中，它的最小函数依赖集 FD1为：{职工号→姓名，职工号→性别，职工号→年龄， 职工号→职务}，职工号为该关系的一个候选码；若在该 关系中还带有身份证号属性，则身份证号属性的每一个值 也能够唯一标识一个元组，身份证号也是一个候选码。 又如：在上面介绍过的教师任课关系中，它的最小函数依 赖集为： {教工号→姓名，教工号→职称，课程号→课程名，课程 号→课时数， （职称，课程号）→课时费} 求侯选码分析：一个属性子集（教工号，课程号），看它 能否成为此关系的候选码。由于它能够函数决定所有属性， 所以它是该关系的一个候选码，并且是唯一的候选码。

职工号 3050 3051 3074 3065 3053 姓名 张光 刘平 王海 陈敏 刘新 性别 男 男 男 女 女 年龄 36 48 32 43 28 职务 正处 副处 正科 副处 科员
单值函数和多值函数概念：元组中一个属性或一些 属性值对另一个属性值的影响相当于自变量值对函 数值的影响。当给定一个自变量值能求出唯一的一 个函数值时，称此为单值函数或单映射函数，否则 为多值函数。 如f(x)=2x, f(n)=(-1)^n, f(x)=x^3+1等都是单值函数。 属性之间的函数依赖概念：在一个关系中，若一个 或一组属性的值对另一个或一组属性值起到决定性 的作用，则称它们之间存在着函数依赖。

二、最小函数依赖集 若属性或属性集X能够函数决定相应的属性或属性集 Y，则称X函数决定Y，或者说Y函数依赖于X，记作 X→Y。可以是完全依赖、部分依赖、平凡依赖、非 平凡依赖、传递依赖等5种。

1．函数依赖之间的变换规则
设一个关系为R(U)，其中X、Y、Z、W是U上的子 集，则函数依赖存在着以下一些常用的变换规则： (1) 自反性：若X⊇Y，则存在X→Y。 如（学生号，课程号）→学生号，（学生号，课程 号）→课程号。 (2) 增广性：若X→Y，则存在XZ→YZ。 如学生号→系号，则“（学生号，课程号）→（系 号，课程号）”同样成立。 (3) 传递性：若X→Y和Y→Z，则存在X→Z。 因为X惟一对应Y，Y惟一对应Z，所以X也惟一对应 Z，X到Z存在着依赖关系。如教工号→职称，职称→ 职务工资，则存在教工号→职务工资。

2．最小函数依赖集 定义：设一个关系为R(U)，X和Y为U的子集，若 X→Y为完全函数依赖，同时Y为单属性，则称X→Y 为R的最小函数依赖。由R中所有最小函数依赖构成 R的最小函数依赖集，并且在最小函数依赖集中不允 许包含有冗余的传递函数依赖。 例如：设一个关系为R(A,B,C,D)，它的函数依赖集 为FD={A→B,B→C,A→C,B→D}，判断它是否为R 的最小函数依赖集。 分析：由FD中的A→B和B→C可得到A→C，所以给 出的A→C是冗余的，应去掉。原FD不是R的一个最 小函数依赖集，若修改为FD={A→B,B→C,B→D}， 就成为R的最小函数依赖集。






3．平凡和非平凡函数依赖 定义：设一个关系为R(U)，X和Y为属性集U上的子集， 若X→Y且X不包含Y，则称X→Y为非平凡函数依赖，否 则若X⊇Y则称X→Y为平凡函数依赖。 若X⊇Y，则平凡函数依赖X→Y必然存在，或者说整体总 是决定局部的。平凡函数依赖称为函数依赖的自反性。 例如：职工号总能函数决定它本身，记作“职工号→职工 号”。 又如：“（职工号，性别）→职工号”和“（职工号，性 别）→性别”为平凡函数依赖。 通常，主要讨论的是非平凡函数依赖，即X→Y且X⊉Y。 职工号→性别就是非平凡函数依赖。“（职工号，姓名） →性别”也是非平凡函数依赖。



注意：（教工号，课程号）到教工号、姓名、职称、 课程号、课程名、课时数等是部分函数决定，而到 课时费是传递函数决定。即“（教工号，课程号） →（职称，课程号）→课时费”是伪传递性。 再如：在上面介绍的学生关系中，它的最小函数依 赖集为：{学号→姓名，学号→性别，学号→系号， 系号→系名，系号→系主任名}，学号是学生关系的 一个候选码。

对此关系进行函数依赖分析：该关系中存在“教工 号→姓名”和“教工号→职称”这两个完全函数依 赖。该关系中又存在着“课程号→课程名”和“课 程号→课时数”这两个完全函数依赖。一个教师所 讲某门课程的课时费通常是由教师的职称和课程号 共同决定的，即存在“（职称，课程号）→课时费” 这个完全函数依赖。 该关系的侯选码为（教工号，课程号），“（教工 号，课程号）→姓名”，“（教工号，课程号）→ 职称”，“（教工号，课程号）→课程名”， “（教工号，课程号）→课时数”等都是部分函数 依赖。（教工号，课程号）→课时费也是完全函数 依赖，但又是传递函数依赖。
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(6) 伪传递性：若X→Y和WY→Z，则存在WX→Z。 如把WY→Z中的Y替换成它的决定因素X属性后，函 数依赖WX→Z仍然成立。因为X→Y，根据增广性， 两边同时添加W，所以WX→WY，又因为WY→Z， 根据传递性，所以存在WX→Z。又如教工号→职称， （职称，工龄）→基本工资，则存在（教工号，工 龄）→基本工资的传递依赖。 (7) 合并性：若X→Y和X→Z，则存在X→YZ。 如学生号→姓名，学生号→性别，则学生号→（姓 名，性别）。 (8) 分解性：若X→Y，且Y⊇Z，则存在X→Z 如学生号→（姓名，性别），则存在学生号→姓名， 学生号→性别。
3．根据最小函数依赖集求出关系中的侯选 码
候选码定义：设一个关系为R(U)，X为U的一个子集， 若X能够函数决定U中的每个属性，并且X的任何真 子集都不能函数决定U中的每个属性，则称X为关系 R的一个候选码。 等价定义：若关系中的一个属性或属性组能够函数 决定整个元组，并且它的任何真子集都不能函数决 定整个元组，则它被称为该关系的一个候选码。

4．根据实际需要给关系添加候选码
如平常使用的标识系列---职工编号、学生号、身份 证号、借书证号、驾驶证号、车牌号、银行账号、 订单号、合同号、图书编号、设备编号、零件编号、 住址编号等都是人们为处理对象的方便而附加的候 选码。 如在学生号编码中，可以规定前两个字符表示所在 系或学院的编码，中间两个字符表示所学专业的编 码，最后三个字符表示在该专业中学生的数字顺序 号，这样每个学生号编码为7个字符组成的字符串。 例如12-30-125就是一个9字符的学生号编码。


例如：设一个学生关系为（学号，姓名，性别，系号，系 名，系主任名），通常每个学生只属于一个系，每个系有 许多学生，每个系都对应唯一的系名和系主任名。 函数依赖分析：在该关系中，存在“学号→姓名”、“学 号→性别”、“学号→系号”的完全函数依赖，又存在 “系号→系名”和“系号→系主任名”的完全函数依赖。 还存在“学号→系名”和“学号→系主任名”这两个完全 函数依赖，它是通过系号属性而传递的函数依赖，所以称 这两个函数依赖是传递函数依赖。 包括平凡函数依赖、非平凡函数依赖、部分函数依赖、完 全函数依赖、传递函数依赖等5种。在非平凡函数依赖中， 又分为部分函数依赖、完全函数依赖（直接函数依赖）和 传递函数依赖。

2．函数依赖的定义 定义：设一个关系为R(U)，X和Y为属性集U上的子 集，若对于X上的每个值都有Y上的一个唯一值与之 对应，则称X和Y之间存在函数依赖，并称X函数决 定Y，或称Y函数依赖于X，记作X→Y，称X为此函 数依赖的决定因素。 例如：设一个职工关系为（职工号，姓名，性别， 年龄，职务），职工号用来标识每个职工，选作为 该关系的主码。职工号函数决定姓名，或称姓名函 数依赖于职工号，记作“职工号→姓名”，职工号 为该函数依赖的决定因素。职工号函数决定性别、 年龄、职务等描述职工特征的每个属性，可以分别 记作为“职工号→性别”、“职工号→年龄”、 “职工号→职务”。

4) 复合性：若X→Y和Z→W，则存在XZ→YW。 如学生号→姓名，课程号→课程名是两个独立的函 数依赖，把它们左、右对应组合后，变为（学生号， 课程号）→（姓名，课程名）仍然是一对函数依赖。 (5) 自增性：若X→Y，则存在WX→Y。 如学生号→姓名，则存在：（学生号，课程号）→ 姓名，不过由原来的直接依赖变为现在的部分依赖。




5．传递函数依赖 定义：一个关系为R(U)，X，Y和Z为属性集U上的子集， 其中存在X→Y和Y→Z，但Y不反过来决定X，同时Y不包 含Z，则存在X→Z，称此为传递函数依赖，即X传递函数 决定Z，或者说Z传递函数依赖于X。 注意：在这里必须强调的是Y不反过来函数决定X，因为 如果X→Y同时Y→X，则X和Y为相互决定的函数依赖关 系，记作为“X←→Y”，这样X和Y是等价的，在函数依 赖中是可以互换的，X→Z就是直接函数依赖，而不是传 递函数依赖了。 另外，Y不包含Z也是必须满足的条件，因为如果Y⊇Z， 则X→Y必然包含着X直接函数决定Y中的每个子集，这使 得X→Z为直接函数依赖而不是传递函数依赖。

相互函数依赖：若规定不允许职工有重名，则姓名 也能够唯一标识一个元组，这样姓名也能够函数确 定其他每个属性，此时职工号和姓名在取值上一一 对应，相互成为决定因素，即构成相互函数依赖， 记作为“职工号←→姓名”。 若一个关系中的属性子集X不能函数决定另一个属性 子集Y，则记作X Y，读作X不能函数决定Y，或Y不 能函数依赖于X。