高中数学精讲教案-双曲线及其性质

•••AF i | = 4a ，|AF 2|= 2a ， |F i F 2|= 2c = 4a ，
• cos / AF 2F 1 |AF 『 +|FlF2|2—|AF 『
近线方程为
设与双曲线L — x 2 = 1 4
=入解得X=— 3.
2
a = 1,
解得2
b 2 = 3,
2 •双曲线的标准方程为x 2—y- = 1.
3
7•已知双曲线的渐近线方程为
2x ±3y = 0,且焦距是2皿，则双曲线方程为 ______________
x 2 y 2 卡 y 2 x 2
答案?-七=1或香一19= 1
2 2
解析设双曲线方程为x_-汽*。

）.
若?>0，贝U a 2 = 9 入 b 2= 4 入 C= a 2+ b 2= 13 入
答案 解析 X 2
—社=1 y =^x 3 12 ' 2
双曲线乞—x 2
= 1的渐近线方程为 y = 4 ±x. 2 2 2 y_— x 2=— 3,即 x-—
y_ 4
3
12 所求双曲线的渐近线方程为
y = £x.
6•如图所示，已知双曲线以长方形 两顶点•若
故所求双曲线方程为 1.
ABCD 的顶点A , B 为左、右焦点，且双曲线过
AB = 4 , BC = 3,则此双曲线的标准方程为 ___________ .
答案
解析 设双曲线的标准方程为
2 2
x y_ 2 — . 2 a b 1（a>0，b>0）.由题意得
B(2,0)，C(2,3)，
2|AF 2||F 1F 2|
4a 2 + 16a 2— 16a 2 4a 2
1 斗
2= 7，选 A.
4 2 x 2a x 4a 16a‘ 5.设双曲线 C 经过点（2,2），且与才—x 2= 1 具有相同渐近线，则
C 的方程为 ;渐
有共同渐近线的方程为
—x 2= X" 0）,又（2,2）在双曲线上，故 4
范闻
xa 或 J ■忑—a ,5
F WK ・$；：：：£』 或
—触
对称轴：樂标轴;
对称中心；慷点
顶点
新近线
頂点出标： A t ( —a
, C 口川) b y=±~r
頂点弋标：
A (U ■ — u) • A (□ .a )
¥ = ± 丁•厂
- b
离心冷
卍=£・屮€€1・}亠》*35中亡=\/a + /J :
R ------------
毂段儿A 叫做収川|线的型•它的长比儿1一 线段H 比叫做心曲线的輕*它的杭H 兄| = '曲叫做煤曲线的实半柚怏/闻谢＜Z 曲线前 崖半轴氏
则双曲线的标准方程为： x 2-汀 1.
其渐近线为y = 士. 3x.
解题法
［考法综述］高考对于双曲线的几何性
双曲线独有的渐近线是高频考点， 常与其他圆锥曲线综合考查， 难
D. y =±$
［解析］（1）如图所示，过点F 2（C ,0）且与渐近线y = b
x 平行的直线为y = b （x — c ）,与另一条渐 a a
b
b
y
=a x -C
， 近线y =— -x 联立得
a
b y
=—
a x ，
质的考查以理解和运用为主， 度较大.
命题法双曲线的几何性质
x 2 y 2
典例 ⑴已知F l 、F 2分别是双曲线 -—2= 1（a>0，b>0）的左、右焦点，过点 F 2与双曲线
a b
的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点
则双曲线离心率的取值范围是 （ ）
A • （1，2） C . （ .3，2）
x 2 y 2
M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外, B • (2
.3)
D . (2，+%)
（2）过双曲线 -—2= 1（a>0，b>0）的左焦点F 作圆O : x 2 + y 2 = a 2的两条切线，切点为 A ，B ， a
b
双曲线左顶点为 C ,若/ ACB = 120°则双曲线的渐近线方程为 （ ）
C . y = ±.2x B •
y
2 2
2若双曲线E : 9 — ；6— 1 的左、右焦点分别为 F 1, F 2，点P 在双曲线 E 上，且 |PF 1|— 3，则
|PF 2|等于(
)
A . 11
B . 9
C . 5
D . 3
答案 B
解析 解法一：依题意知， 点P 在双曲线的左支上， 根据双曲线的定义， 得 |PF 2|— |PF 1|— 2X 3 =6,所以 |PF 2|= 6 + 3= 9,故选 B.
解法二：根据双曲线的定义，得 ||PF 2|—|PF 1|| = 2X 3 = 6,所以||PF 2|— 3| = 6,所以|PF 2= 9或
|PF 2=— 3(舍去)，故选B.
3.将离心率为e i 的双曲线C i 的实半轴长a 和虚半轴长b(a ^ b)同时增加m(m>0)个单位长度， 得到离心率为 e 2的双曲线C 2,贝y (
)
A .对任意的 a , b , e i >e 2
B. 当 a>b 时，e i >e 2；当 a<b 时，e i <e 2
C. 对任意的 a , b , e i <e 2
D. 当 a>b 时，e i <e 2；当 a<b 时，e i >e 2 答案 D
所以e i <e 2；当a<b 时，电1 ,吐皿>1,而b >b +m ,所以 a a + m a a + m
e i <e 2 ；当 a<b 时，e i >e 2，故选 D.
x 7 — ； = 1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于
3
点，贝U AB|=(
7
,所以e i >e 2.所以当a>b 时,
解析 依题意, a 2 + b 2 e
1 = ^ = a -M + b 2弋="2
丘 + *= V a
a + m
b + m
a + m
b + m ab + bm — ab — am m b — a a a + m a a + m
a + m '由于m >0 'a >°'
b >0 '且a " b '所以当a >b 时，。

号仆出 b b + m b 2 b + m 2 <1，孑石，a 2<育2,
2 b + m
2> a + m
4.过双曲线
A .焦距相等
B . 实半轴长相等
C .虚半轴长相等
D
.
离心率相等 答案 A
2 2
解析因为0<k<9，所以方程
— = 25 9 - k x 2
1与 - 25 - k
七=1均表示焦点在 x 轴上的双曲线.双 9
答案 .3
解析 不妨设点
P 在双曲线C 的右支上，由双曲线定义知 |PF i |—|PF 2匸2a ,
又因为 |PF i | + |PF 2|= 6a ,所以 |PF i | = 4a , |PF 2|= 2a , 因为|PF I |>|PF 2|，所以/ PF 1F 2为最小内角，因此/
PF I F 2= 30 °在厶PF 1F 2中，由余弦定理
可知，|PF 2|2= |PF 『+ |F I F 2|2 — 2|PF 11 |F i F 2| cos30 ；即 4a 2 == 16a 2 + 4c 2— 8寸"3ac ，所以 c 2 — 2^3ac + 3a 2= 0,两边同除以a 2,得e 2 — 2 3e + 3 = 0,解得e = 3
2 2
16.已知双曲线 拿一*= 1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为 F i , F 2，点P 在双曲线的右支上，
且|PF i | = 4|PF 2|，则双曲线的离心率
e 的最大值为 _________ .
解析设/ F 1PF 2 = e,
由 |PF1|—|PF2
匸2a
, |PF 1|=
4|PF 2|
A -7
Q
C
•••旺（0,讨，二 cos 旺［—1,1），— 1 < — — §e 2<1，又 e>1，二 1<e < 3.
学崩错題警示題日条件琴虑不到位致韦
已知圆C 1： (x + 3)2 + y 2= 1和圆C 2： (x — 3)2 + y 2= 9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2外切，求 动圆圆心M 的轨迹方程.
［错解］
与别』卜切子冲和
B 两亘，3C,匕
/心
TP ：/二叽
同必
出Ai 二岸禹t 的F/JKCJ7ACJ
二
出JLI^C 11 即川C./一川二IKJ-
IACJ
二円二2*
8
|PF 1|= 3a , 2 |PF 2|= 3a ,
由余弦定理得 17a 2— 9 c 2 cos e= 2—=
8a 2
17
8 e 2. 拟据两風并切的茶伴J 旖
4X 2c ,所以 c = 2b , a = Q c 2 — b 2 = ^^3b ，所以 e = £= ^^ = 2^3.
X 2 V 2
12 .双曲线孑一疋=1(a>0 , b>0)的左、右焦点分别为 F 1和F 2,左、右顶点分别为 A 1和A 2,
2 2
a +
b 2— a
能力组
且AB 的方程为x = 2,当x = p 时,y A = p ,所以A 2，P .又因为双曲线左焦点 F 1的坐标为 一号,0 , p — 2 2+ p 2= 2p ,又|AF|= p ,所以，2p — p = 2a ,即(,2 — 1)X 2c = 2a ,所以:
—1 = ■ 2 + 1,选 B. 2 — 1 '
x2 — y 2= 1有相同渐近线的双曲线方程是 ( )
B.
2 2
15. 已
知双
曲线 字一法1(a>0, b>0)的左、 点P 在双曲线右支
上，
△ PF 1F 2内切圆的圆心为 垂线，垂足为 B ,则下列结论成立的是 ( )
A. |OA|>|OB|
B. |OA|v|OB|
过焦点F 2与x 轴垂直的直线和双曲线的一个交点为 双
曲线的离心率为 ___________ •
P ,若|PA i |是|F I F 2|和|A I F 2|的等比中项，则该
答案
解析
由题意可知 |PA I |2 = |F I F 2|X |A I F 2|,即
bj
a
2
+ (a + c)2 = 2c(a + c), 又 c 2= a 2+ b 2，贝U a 2
b 2,所以
c e=- a
13.双曲线C : 好过它们的公共焦点
2 2
孑—*= 1(a >0
,
F ，则双曲线
b>0)与抛物线 C 的离心率为
y 2 = 2px(p>0)相交于A , B 两点，公共弦 AB 恰 A. .2 C . 2 ,2 答案 B
B • 1+ .2 D • 2+ . 2
解析抛物线的焦点为 F p ,
0，且 c =p ,
所以p = 2c.根据对称性可知公共弦 AB 丄x 轴,
所以AF I | =
14•焦点为(0,6)且与双曲线 x 2 y 2
A-
12 2
Cy-
C.
24 答案
=1 24
2
—=1 12
2 2
B 工—^ = 1 12 24
2
2
D .N 乂
24 12 1
解析 设所求双曲线方程为
弓—y 2
= X 入疋0),因为焦点为 (0,6)，所以|3入=36,又焦点在y 轴 上，所以 X=- 12,选 B.
或利用排除法：因为焦点为
(0,6)，故排除
X 2
A 、D ，又 —y
右焦点分别为 F 1, F 2,点O 为双曲线的中心,
Q ,圆Q 与x 轴相切于点A ,过F 2作直线PQ 的 ,故选
2
= 1的渐近线为 y。