八年级第二学期 第一次 质量检测数学试题含答案
一、选择题
1．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6cm ，8cm ，则这个菱形的周长为（ ）
A ．5cm
B ．10cm
C ．14cm
D ．20cm 2．下列四组数中不能构成直角三角形的一组是（ ）
A ．1，2，6
B ．3，5，4
C ．5，12，13
D ．3，2，13
3．在ABC 中，90C ∠=?，30A ∠=?，12AB =，则AC =（ ） A ．6 B ．12 C ．62 D ．63 4．在△ABC 中，AB =10，BC =12，BC 边上的中线AD =8，则△ABC 边AB 上的高为（ ） A ．8
B ．9.6
C ．10
D ．12
5．如图，已知AB 是线段MN 上的两点，MN ＝12，MA ＝3，MB ＞3，以A 为中心顺时针旋转点M ，以点B 为中心顺时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，当△ABC 为直角三角形时AB 的长是（ ）
A ．3
B ．5
C ．4或5
D ．3或51
6．已知一个三角形的两边长分别是5和13，要使这个三角形是直角三角形，则这个三角形的第三条边可以是（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 7．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A ．1，2，3
B ．2，3，4
C ．3，4，6
D ．13，2
8．为了庆祝国庆，八年级（1）班的同学做了许多拉花装饰教室，小玲抬来一架2.5米长的梯子，准备将梯子架到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离是（ ） A ．0.6米
B ．0.7米
C ．0.8米
D ．0.9米
9．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，则AC 的长是（ ）
A．217B．25C．42D．7
10．有下列的判断：
①△ABC中，如果a2＋b2≠c2，那么△ABC不是直角三角形
②△ABC中，如果a2－b2＝c2，那么△ABC是直角三角形
③如果△ABC是直角三角形，那么a2＋b2＝c2
以下说法正确的是（）
A．①②B．②③C．①③D．②
二、填空题
11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm、3 dm和1 dm，A和B 是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是 dm．
12．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，依此规律，得到等腰直角三角形OA2018A2019，则点
A2019的坐标为________．
13．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形．如果AB＝13，EF＝7，那么AH等于_____．
14．已知Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3，∠ACB ＝90°，以AC 为一边在Rt △ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，则线段BD 的长为_____．
15．如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=4,AB=3,则CD=_________
16．如图，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，且AB =3，BC =5． ①线段OA 的取值范围是______________； ②若BD -AC =1，则AC ?BD = _________．
17．如图，在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，将矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为
MN ，连接CN ．若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，则2
2
MN BM 的值为
______________．
18．如图的实线部分是由Rt ABC ?经过两次折叠得到的.首先将Rt ABC ?沿高CH 折叠，使点B 落在斜边上的点B '处，再沿CM 折叠，使点A 落在CB '的延长线上的点A '处.若图中
90ACB ∠=?，15cm BC =，20cm AC =，则MB '的长为______.
19．如图所示，圆柱体底面圆的半径是
2
π
，高为1，若一只小虫从A 点出发沿着圆柱体的外侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路程是______
20．已知,在△ABC 中,BC=3,∠A=22.5°,将△ABC 翻折使得点B 与点A 重合,折痕与边AC 交于点P ,如果AP=4,那么AC 的长为_______
三、解答题
21．在等边ABC 中，点D 是线段BC 的中点，120,EDF DE ∠=?与线段AB 相交于点
,E DF 与射线AC 相交于点F ．
()1如图1，若DF AC ⊥，垂足为,4,F AB =求BE 的长；
()2如图2，将()1中的EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 仍与线段AC 相交于
点F ．求证：1
2
BE CF AB +=
．
()3如图3，将()2中的EDF ∠继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的
延长线交于点,F 作DN AC ⊥于点N ，若,DN FN =设,BE x CF y ==，写出y 关于x
的函数关系式．
22．如图，在△ABC中，AB＝30 cm，BC＝35 cm，∠B＝60°，有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动，动点N自B向C以2 cm/s的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发．
(1)经过多少秒，△BMN为等边三角形；
(2)经过多少秒，△BMN为直角三角形．
23．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；
（2）如图②，连接BE、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长；
（3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD2、CE2和BC2之间的数量关系，并加以说明．
24．如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC边上一动点，且不与点A点C重合，连接BD并延长，在BD延长线上取一点E，使AE＝AB，连接CE．
（1）若∠AED ＝20°，则∠DEC ＝ 度；
（2）若∠AED ＝a ，试探索∠AED 与∠AEC 有怎样的数量关系？并证明你的猜想； （3）如图2，过点A 作AF ⊥BE 于点F ，AF 的延长线与EC 的延长线交于点H ，求证：EH 2+CH 2＝2AE 2．
25．如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则优比为较大边与较小边的比），记为k . （1）命题：“等边三角形为优三角形，其优比为1”，是真命题还是假命题？ （2）已知ABC 为优三角形，AB c =，AC b =，BC a =，
①如图1，若90ACB ∠=?，b a ≥，6b =，求a 的值. ②如图2，若c b a ≥≥，求优比k 的取值范围.
（3）已知ABC 是优三角形，且120ABC ∠=?，4BC =，求ABC 的面积. 26．如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，2BC AC =.
(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =ABD ?的面积.
(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点
M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.
27．2ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .
（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G . ①求证：BE EF =;
②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.
28．已知n 组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…
（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；
（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．
29．如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AC ，BC 上的点，且满足DE ⊥EF ，垂足为点E ，连接DF ．
（1）求∠EDF= （填度数）；
（2）延长DE 交AB 于点G ，连接FG ，如图2，猜想AG ，GF ，FC 三者的数量关系，并给出证明；
（3）①若AB=6，G 是AB 的中点，求△BFG 的面积；
②设AG=a ，CF=b ，△BFG 的面积记为S ，试确定S 与a ，b 的关系，并说明理由．
30．已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．
（1）如图1，连接AF 、CE ．求证：四边形AFCE 为菱形． （2）如图1，求AF 的长．
（3）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，点P 的速度为每秒1cm ，设运动时间为t 秒．
①问在运动的过程中，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t 和点Q 的速度；若不可能，请说明理由．
②若点Q 的速度为每秒0.8cm ，当A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC ⊥BD ，12OA AC =，1
2
OB BD =，再利用勾股定理列式求出AB ，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解. 【详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，11
622
OA AC =
=?=3cm ， 11
8422
OB BD cm =
=?= 根据勾股定理得，2222345cm AB OA OB +=+= ，所以，这个菱形的周长=4×5=20cm. 故选：D. 【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记.
2．A
解析：A 【解析】
A. 12+22≠(6)2，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
B. 32+42=52，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C. 52+122=132，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D. 32+22=(13)2，能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选A.
3．D
解析：D 【分析】
根据直角三角形的性质求出BC ，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】
解：∵∠C=90°，∠A=30°， ∴BC=
1
2
AB=6， 由勾股定理得，AC=2263AB BC =-，
故选：D ． 【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
4．B
解析：B 【分析】
如图，作CE AB ⊥与E,利用勾股定理的逆定理证明AD BC ⊥,再利用面积法求出EC 即可. 【详解】
如图，作CE AB ⊥与E.
AD 是ABC ?的中线,BC =12, ∴BD=6,
10,8,6,AB AD BD === ∴ 222AB AD BD =+,
90,ADB ∴∠=
,AD BC ∴⊥
11
,22
ABC S BC AD AB CE ?== 128
9.6.10
CE ?∴=
= 故选B. 【点睛】
本题主要考查勾股定理的逆定理,三角形的面积等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会面积法求三角形的高.
5．C
解析：C 【分析】
设AB ＝x ，则BC ＝9－x ，根据三角形两边之和大于第三边，得到x 的取值范围，再利用分类讨论思想，根据勾股定理列方程，计算解答． 【详解】
解：∵在△ABC 中，AC ＝AM ＝3， 设AB ＝x ，BC ＝9－x ，
由三角形两边之和大于第三边得：
3939x x
x x
+-??
+-?＞＞， 解得3＜x ＜6，
①AC 为斜边，则32＝x 2＋（9－x ）2，即x 2－9x ＋36＝0，方程无解，即AC 为斜边不成立，
②若AB 为斜边，则x 2＝（9－x ）2＋32，解得x ＝5，满足3＜x ＜6， ③若BC 为斜边，则（9－x ）2＝32＋x 2，解得x ＝4，满足3＜x ＜6， ∴x ＝5或x ＝4； 故选C ． 【点睛】
本题考查三角形的三边关系，勾股定理等，分类讨论和方程思想是解答的关键．
6．D
解析：D 【分析】
此题要分两种情况：当5和13都是直角边时；当13
是斜边长时；分别利用勾股定理计算出第三边长即可求解． 【详解】
当5和13
当1312=； 故这个三角形的第三条边可以是12．
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了勾股定理，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
7．D
解析：D 【分析】
根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形． 【详解】
解：A 、12+22=5≠32，故不符合题意； B 、22+32=13≠42，故不符合题意； C 、32+42=25≠62，故不符合题意； D 、12
+
()2
3=4=22
，符合题意.
故选D. 【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，简便的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可．
8．B
解析：B 【解析】
试题解析：依题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理得：梯脚与墙角距离：222.5 2.4-=0.7（米）． 故选B ．
9．A
解析：A 【解析】
试题解析：作AD ⊥l 3于D ，作CE ⊥l 3于E ，
∵∠ABC=90°， ∴∠ABD+∠CBE=90° 又∠DAB+∠ABD=90° ∴∠BAD=∠CBE ，
{
BAD CBE AB BC
ADB BEC
∠=∠
=
∠=∠
，
∴△ABD≌△BCE
∴BE=AD=3
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC=25+9=34，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC=342=217
?.
故选A．
考点：1.勾股定理；2.全等三角形的性质；3.全等三角形的判定．
10．D
解析：D
【分析】
欲判断三角形是否为直角三角形，这里给出三边的长，需要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】
①c不一定是斜边，故错误；
②正确；
③若△ABC是直角三角形，c不是斜边，则a2＋b2≠c2，故错误，
所以正确的只有②，
故选D.
【点睛】
本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理的内容是解题的关键.
二、填空题
11．【解析】
试题分析：将台阶展开，如图，
331312,5,
AC BC
=?+?==222169,
AB AC BC
∴=+=13,
AB
∴=即蚂蚁爬行的最短线路为13.
dm
考点：平面展开：最短路径问题．
12．(21009，0)．
【分析】
根据等腰直角三角形的性质得到OA 1=1，OA 2=1
，OA 3
=2
，
OA 4=
3
，…OA 2019
=2018
，再利用1A 、2A 、3A …，每8个一循环，再回到y 轴的
正半轴的特点可得到点A 2019在x 轴的正半轴上，即可确定点A 2019的坐标． 【详解】
∵等腰直角三角形OA 1A 2的直角边OA 1在y 轴的正半轴上，且OA 1=A 1A 2=1，以OA 2为直角边作第二个等腰直角三角形OA 2A 3，以OA 3为直角边作第三个等腰直角三角形OA 3A 4，…，
∴OA 1=1，OA 2，OA 3=）2，…，OA 2019=）2018， ∵A 1、A 2、A 3、…，每8个一循环，再回到y 轴的正半轴， ∴2019÷8=252…3， ∴点A 2019在x 轴正半轴上．
∵OA 2019=）2018，
∴点A 2019的坐标为（
2018
,0）即(21009，0)．
故答案为：(21009，0)． 【点睛】
本题考查了规律型：点的坐标，等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形的两底角都等于45°；斜边等于直角边的2倍．也考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征． 13．【分析】
根据面积的差得出a+b 的值，再利用a-b=7，解得a ，b 的值代入即可． 【详解】
∵AB ＝13，EF ＝7，
∴大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，
∴四个直角三角形面积和为169﹣49＝120，设AE 为a ，DE 为b ，即1
41202
ab ?=， ∴2ab ＝120，a 2+b 2＝169，
∴（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝169+120＝289， ∴a +b ＝17， ∵a ﹣b ＝7， 解得：a ＝12，b ＝5， ∴AE ＝12，DE ＝5， ∴AH ＝12﹣7＝5． 故答案为：5． 【点睛】
此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab 的值．
14．7【分析】
分三种情形讨论：（1）如图1中，以点C 所在顶点为直角时；（2）如图2中，以点D 所
在顶点为直角时；（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时．
【详解】
（1）如图1中，以点C所在顶点为直角时．
∵AC=CD=4，BC=3，∴BD=CD+BC=7；
（2）如图2中，以点D所在顶点为直角时，作DE⊥BC与E，连接BD．
在Rt△BDE中DE=2，BE=5，∴BD2229
=+=；
DE BE
（3）如图3中，以点A所在顶点为直角时，作DE⊥BC于E，
在Rt△BDE中，DE=4．BE=7，∴BD2265
=+=．
DE BE
故答案为：7或29或65．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
15．
【解析】
【分析】
延长BC，AD交于E点，在直角三角形ABE和直角三角形CDE中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理即可解答.
【详解】
如图，延长AD、BC相交于E，
∵∠A=60°,∠B=∠ADC=90°,
∴∠E=30°
∴AE=2AB，CE=2CD
∵AB=3，AD=4,
∴AE=6, DE=2
设CD=x,则CE=2x ，DE=x
即x=2
x=
即CD=
故答案为：
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用，含30°角所对的直角边是斜边的一半的性质，本题中构建直角△ABE 和直角△CDE ，是解题的关键． 16．①1＜OA ＜4． ②67
2
． 【解析】
(1)由三角形边的性质 5-3<2OA <5+3, 1＜OA ＜4.
(2)过A 作AF BC ,F ⊥于过D 作DE BC ⊥于E,可知，ABF 全等DCE , 由题意知，22BD DE =+()2
BC CE +=2DE +()2
4CE +，
()()22
2225AC DE BC CE DE CE ∴=+-=+-， 2AC ∴+ 2BD
=2DE +()()2
2
245CE DE CE +++-=2(22)5018DE CE ++=+50=68， BD -AC =1，两边平方2AC ∴+ 2BD -2AC ?BD =1，
∴AC ?BD =
672
.
17．12 【解析】
如图，过点N 作NG ⊥BC 于点G ，连接CN ，根据轴对称的性质有： MA=MC ，NA=NC ，∠AMN=∠CMN.
因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，所以∠ANM=∠CMN. 所以∠AMN=∠ANM，所以AM=AN. 所以AM=AN=CM=CN.
因为△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，所以DN:CM=1:3. 设DN=x ，则CG=x ，AM=AN=CM=CN=3x ， 由勾股定理可得()
2
2322x x x -=，
所以MN 2=()
()2
2
22312x
x x x +-=，BM 2=()()
2
2
232x x
x -=.
所以22
2
212MN x BM x ==12. 枚本题应填12.
点睛：矩形中的折叠问题，其本质是轴对称问题，根据轴对称的性质，找到对应的线段和角，也就找到了相等的线段和角，矩形中的折叠一般会伴随着等腰三角形(也就是基本图形“平行线+角平分线→等腰三角形”)，所以常常会结合等腰三角形，勾股定理来列方程求解. 18．3 【分析】
根据题意利用折叠后图形全等，并利用等量替换和等腰三角形的性质进行综合分析求解. 【详解】
解：由题意可知','ACM A CM BCH B CH ??, ∵15cm BC =，20cm AC =，
∴'15,'20,BC B C cm AC A C cm ====''20155A B cm =-=， ∵90ACB ∠=?， ∴'A M
AB ⊥(等量替换)，CH AB ⊥（三线合一），
∴25,AB cm =
利用勾股定理假设MB '的长为m ，'257AM AM m ==-，则有2
2
2
(257)5m m +-=， 解得3m =， 所以MB '的长为3. 【点睛】
本题考查几何的翻折问题，熟练掌握并综合利用等量替换和等腰三角形的性质以及勾股定理分析是解题的关键.
195
【分析】
先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知． 【详解】
圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C 是边的中点，矩形的宽
即高等于圆柱的母线长．
∵AB=π?2
π
=2，CB=1． ∴AC=
22AB ＋BC = 222=5＋1，
故答案为：5. 【点睛】
圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
20．522,322++
【分析】
过B 作BF ⊥CA 于F ，构造直角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，即可得到AC 的长． 【详解】 分两种情况：
①当∠C 为锐角时，如图所示，过B 作BF ⊥AC 于F ，
由折叠可得，折痕PE 垂直平分AB ， ∴AP=BP=4， ∴∠BPC=2∠A=45°， ∴△BFP 是等腰直角三角形， ∴BF=DF=22 又∵BC=3，
∴Rt △BFC 中，221BC BF -=， ∴AC=AP+PF+CF=5+22
②当∠ACB 为钝角时，如图所示，过B 作BF ⊥AC 于F ，
同理可得，△BFP 是等腰直角三角形， ∴BF=FP=22 又∵BC=3，
∴Rt △BCF 中，221BC BF -=， ∴AC=AF-CF=3+22
故答案为：5+223+22 【点睛】
本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解决问题的关键是分两种情况画出图形进行求解．解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三、解答题
21．（1）BE ＝1；（2）见解析；（3）(23y x = 【分析】
（1）如图1，根据等边三角形的性质和四边形的内角和定理可得∠BED ＝90°，进而可得∠BDE =30°，然后根据30°角的直角三角形的性质即可求出结果；
（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，如图2，根据AAS 易证△MBD ≌△NCD ，则有BM ＝CN ，DM ＝DN ，进而可根据ASA 证明△EMD ≌△FND ，可得EM ＝FN ，再根据线段的和差即可推出结论；
（3）过点D 作DM ⊥AB 于M ，如图3，同（2）的方法和已知条件可得DM ＝DN ＝FN ＝EM ，然后根据线段的和差关系可得BE +CF ＝2DM ，BE ﹣CF ＝2BM ，在Rt △BMD 中，根据30°角的直角三角形的性质可得DM 3BM ，进而可得BE +CF 3（BE ﹣CF ），代入x 、y 后整理即得结果． 【详解】
解：（1）如图1，∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B ＝∠C ＝60°，BC ＝AC ＝AB ＝4． ∵点D 是线段BC 的中点， ∴BD ＝DC ＝
1
2
BC ＝2． ∵DF ⊥AC ，即∠AFD ＝90°，
∴∠AED ＝360°﹣60°﹣90°﹣120°＝90°， ∴∠BED ＝90°，∴∠BDE =30°， ∴BE ＝
1
2
BD ＝1；
（2）过点D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，如图2， 则有∠AMD ＝∠BMD ＝∠AND ＝∠CND ＝90°． ∵∠A ＝60°，
∴∠MDN ＝360°﹣60°﹣90°﹣90°＝120°． ∵∠EDF ＝120°， ∴∠MDE ＝∠NDF ． 在△MBD 和△NCD 中，
∵∠BMD ＝∠CND ，∠B ＝∠C ，BD =CD ， ∴△MBD ≌△NCD （AAS ）， ∴BM ＝CN ，DM ＝DN ． 在△EMD 和△FND 中，
∵∠EMD ＝∠FND ，DM ＝DN ，∠MDE ＝∠NDF ， ∴△EMD ≌△FND （ASA ）， ∴EM ＝FN ，
∴BE +CF ＝BM +EM +CN －FN ＝BM +CN ＝2BM ＝BD ＝
12BC ＝1
2
AB ；
（3）过点D 作DM ⊥AB 于M ，如图3，同（2）的方法可得：BM ＝CN ，DM ＝DN ，EM ＝FN ． ∵DN ＝FN ，
∴DM ＝DN ＝FN ＝EM ，
∴BE +CF ＝BM +EM +FN －CN ＝NF +EM ＝2DM =x +y ， BE ﹣CF ＝BM +EM ﹣（FN －CN ）＝BM +NC ＝2BM =x －y ， 在Rt △BMD 中，∵∠BDM =30°，∴BD =2BM ， ∴DM 22=3BD BM BM -，
∴)3x y x y +=-，整理，得(23y x =．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、四边形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
22．(1) 出发10s后，△BMN为等边三角形；(2)出发6s或15s后，△BMN为直角三角形．【分析】
（1）设时间为x，表示出AM=x、BN=2x、BM=30-x，根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；
（2）分两种情况：①∠BNM=90°时，即可知∠BMN=30°，依据BN=1
2
BM列方程求解可
得；②∠BMN=90°时，知∠BNM=30°，依据BM=1
2
BN列方程求解可得．
【详解】
解(1)设经过x秒，△BMN为等边三角形，则AM＝x，BN＝2x，
∴BM＝AB－AM＝30－x，
根据题意得30－x＝2x，
解得x＝10，
答：经过10秒，△BMN为等边三角形；
(2)经过x秒，△BMN是直角三角形，
①当∠BNM＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴∠BMN＝30°，
∴BN＝1
2
BM，即2x＝
1
2
(30－x)，
解得x＝6；
②当∠BMN＝90°时，∵∠B＝60°，
∴∠BNM＝30°，
∴BM＝1
2
BN，即30－x＝
1
2
×2x，
解得x＝15，