数学物理方法第九章

r2 r r r2 sin
r2 sin2 2
（1）球坐标系拉普拉斯方程的分离变量
1 (r2 u) 1 (sin u ) 1 2u 0
r2 r r r2 sin
r 2 sin2 2
令 u(r, ,) R(r)Y( ,)
4
Y r2
r
(r2
R) r
R
r2 sin
(sin
Y
)
R
r2 sin2
2Y
2
0
1
(r2
R )
1
(sin Y )
1
2Y l(l 1)
R r r Y sin
Y sin2 2
r2 RY 常数
1
(sin Y )
1
2Y l(l 1)Y 0
sin
sin2 2
球函数方程
r2 d 2R 2r dR l(l 1)R 0
dr 2来自百度文库
dr
+ + (μ - )R = 0
dρ2 ρ dρ
ρ2
1. 0 2. 0
Z C Dz Z Ce z De z
E F ln
R
E
m
F
m
x
m0 m 1, 2,3,L
贝塞耳方程
d 2 R 1 dR
m2
dx2 x dx (1 x2 )R 0
侧面的齐次边界条件
3. 0 Z C cos(vz) Dsin(vz)
dx
dx
7
d dx
[(1
x
2
)
d dx
]
[l
(l
1)
1
m2 x
2
]
0
l-阶勒让德方程 u 是轴对称的，对φ的转动不改变 u 。
(1
x
2
)
d 2 dx 2
2
x
d dx
l
(l
1)
0
m0
sin
d
d
sin
d
d
l(l
1) sin2
m2
0
0, 有限值
(1
x2
)
y
2xy
l(l
1)
1
m2 x2
欧拉形式方程
对欧拉形式方程作变量代换
t lnr
dR = dR dt = 1 dR , dr dt dr r dt
d2R dr 2
=
1 r2
d2R dt 2
dR dt
,
5
d 2 R dR dt 2 dt l(l 1)R 0
因式分解
d dt
l
1
d dt
l
R
0
解为：
R(r )
Cr l
d2Z
Z d 2
d
2
d 2
R
dz 2
0
2 d 2 R dR 2 d 2 Z R d 2 R d Z dz2
2
RZ
() Am cos m Bm sin m m2 m 0,1, 2,L
1 R
d2R
d2
1
R
dR
d
m2
2
Z Z
9
Z '' Z 0
d 2 R 1 dR
m2
1. 球坐标 1 (r2 v ) 1 (sin v ) 1 2v k2v 0
r2 r r r2 sin
r2 sin2 2
v(r, ,) R(r)Y (,)
Y r2
r
(r 2
R) r
R
r2 sin
(sin
Y
)
r2
R
sin2
2Y
2
k2RY
0
1
sin
(sin
Y
)
1
sin2
v2
上下低面的齐次边界条件
x v
虚宗量贝塞耳方程
d 2 R 1 dR
m2
(1 )R 0
dx2 x dx
x2
的可能数值 v 的可能数值
10
（二）波动方程的分离变量
utt a2u 0
令
r u(r ,
t)
r T (t )v(r
)
T ''v a2Tv 0
T '' a2T
v v
0
T '' v k2 a2T v
u
ra r0
有限值,
u(r, ,) u(r, , 2 ),
隐含着的周期边值条 件和球内约束条件
u 有限值, 0,
拉普拉斯算子：
直角坐标：
2 2 2 x2 y2 z2
柱坐标： 1 ( ) 1 2 ( )
2 2 z z
球坐标：
1 (r2 ) 1 (sin ) 1 2
D r l 1
式中：C和D为积分常数.
球函数方程，令 Y ( )()
d 2 0 d 2
d (sin d)
d 2 l(l 1) 0
sin d
d sin2 d 2
sin d (sin d) l(l 1)sin2 1 d 2
d
d
d 2
sin d (sin d) [l(l 1)sin2 ] 0 d d
2u
x2
2u y2
2u z 2
0,
x2 y2 z2 a2
u x2 y2 z2 a2 f (x, y, z)
坐标变换
x r cos cos
y
r
cos
sin
0ra
0 2
z r sin
0
1
r
2
r
r
2
u r
r2
1
sin
sin
u
r2
1
sin2
2u
2
0,
u f ( ,)
自然的周期边界条件： ( 2 ) ()
() Am cos m Bm sin m m2 m 0,1, 2,L
l-阶缔合勒让德方程 x cos
sin sin x sin2 (1 x2 )
x
x
x
(1 x2 ) d [(1 x2 ) d][l(l 1)(1 x2 ) m2] 0
y
0
y
x1
有限值
Θ(θ) = y(cosθ) = Plm (cosθ)
l = 0,1,2,L
m = 0,1,2,L,l
8
（2）柱坐标系拉普拉斯方程的分离变量
1
( u )
1
2u u ( )0
2 2 z z
令 u(,, z) R()()Z(z)
d 2 0 d 2
d 2 R Z dR RZ d 2
T '' a2k2T 0 振动方程 v k2v 0 亥姆霍兹方程
（三）输运方程的分离变量
ut a2u 0
令 u(rr, t) T(t)v(rr)
T 'v a2Tv 0
T' a2T
v v
0
T ' a2k2T 0 增长或衰变的方程
v k2v 0 亥姆霍兹方程
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（四）亥姆霍兹方程
2Y
2
l(l
1)Y
0
球函数方程
d (r2 dR) [k2r2 l(l 1)]R 0 l 阶球贝塞耳方程
dr dr
x kr
d
(x2
dR )
[
x2
l(l
1)]R
0
dx dx
12
d (x2 dR) [x2 l(l 1)]R 0 dx dx
R(r) x1/ 2 y( x)
R ' 1 x3/ 2 y x1/ 2 y ' 2
园球形和园柱形是两种常见的边界，本章考察拉 普拉斯方程在球坐标系和坐标系中分离变量法所导致 的常微分方程以及相应的本征值问题。
9.1 特殊函数的常微分方程
（一）直角坐标系内的拉普拉斯方程
u ( 2 2 2 )u 0 x2 y2 z2
正交曲线座标系中的拉普拉斯方程
球域内Laplace方程的边值问题