高等数学 函数图形的描绘

将 a 代入 lim [ f (x) − (ax + b)] = 0 ，得
x→+∞
b = lim [ f (x) − ax].
x→ +∞
2009年7月3日星期五
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例 1 求曲线 f (x) = 2(x − 2)(x + 3) 的渐近线． x −1
提示：（1）水平渐近线公式
（补充题）
∵lim sin x = 1 ≠ ∞ x→0 x
∴ x = 0不是函数曲线的渐近线.
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曲线和坐标轴的交点；
由 f (x) =
1
− x2
e2
算出曲线上一些点的坐标；
2π
M 1 (0,
1 ), 2π
1 −1
M 2 (1,
e 2 ), 2π
M3 (2,
1 e−2 ) 2π
（6）根据上述讨论，描绘函数 f (x) 的图形．
综合上述讨论结果，可描绘函数 f (x) =
1
− x2
e2
2π
在[0, +∞) 上的图形， 最后，利用图形的对称性，
f ′′(x)
负 0正
递减 正正
递增 正
f (x) 的图形 凸 拐点 凹 间断 凹 极小值点 凹
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（4）讨论曲线的渐近线；
曲线有铅直渐近线 x = 1 ；斜渐近线 y = 1 x + 1 2
（5）由曲线方程计算曲线上一些点的坐标，特别是 曲线和坐标轴的交点；
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例 2 作出函数 f (x) =
1
− x2
e2
的图形．（课本
例 3）
2π
解：（1）函数定义域为(−∞, +∞)
（2）函数是偶函数，故函数图形关于 y 轴对称；
（3）确定函数的单调区间与极值，曲线的凹凸区
间与拐点；
f ′(x) = −
1
− x2
xe 2 ,
f ′′(x) =
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f (x) = 2(x − 2)(x + 3) 有两条渐进线，如下图 x −1
自学（练习课本 例 2）
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二、函数图形的描绘
描绘函数的图形可按下列步骤： （1）确定函数的定义域；
（2）确定函数的奇偶性、周期性； （3）确定函数的单调区间与极值，曲线的凹凸区间 与拐点； （4）讨论曲线的渐近线； （5）由曲线方程计算曲线上一些点的坐标，特别是 曲线和坐标轴的交点； （6）根据上述讨论，描绘函数 f (x) 的图形．
在中学数学中，我们学过用“五点法”来画函数的图形。 但“五点法”有着固有的局限性，不能准确地画出函数的图形
在高等数学中，我们学会了利用函数的导数来确定函 数的单调区间和极值点； 学会了利用函数的二阶导数来 确定函数的凹凸区间及拐点……
知道了这些知识后，我们就能较准确地描绘出函数 的图形。
为了更准确地描绘函数的图形，我们再来学习一个
lim f (x) = b 或 lim f (x) = b
x→−∞
x→+∞
（2）铅直渐近线公式
lim f (x) = ∞ 或 lim f (x) = ∞ ，
x→c−
x→c+
（3）斜渐近线公式
a = lim f (x) x x → +∞
（答案见下页）
b = lim [ f (x) − ax]. x→ +∞
（2）无奇偶性，无周期性；
（3）确定函数的单调区间与极值，曲线的凹凸区
间与拐点； f ′(x) = x2 (x − 3) , 2(x −1)3
f
′′(x)
=
3x (x − 1)4
令 f ′(x) = 0 ，得 x = 0 与 3，令 f ′′(x) = 0 ，得 x = 0 ， 点 x = 1处， f (x) 间断。
(−1, − 1), 8
(0, 0),
11 ( , ),
(2, 4),
24
(3, 27 ) 8
（6）根据上述讨论，描绘函数 f (x) 的图形．
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y
4 3 2
1
−2 −1 O 1 2 3 x
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内容小结
1. 曲线的渐近线
便可得到函数在 (−∞, 0] 上的图形。
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y
M1
−1
o
ϕ( x) =
1
− x2
e2
2π
M2 M31ຫໍສະໝຸດ 2x2009年7月3日星期五
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例 3 作出函数 f (x) = x3 的图形．（课本 例 4） 2(x −1)2
解：（1）函数定义域为 (−∞,1) ∪ (1, +∞)
概念 —— 渐近线， 然后，再来研究函数图形描绘的基
本步骤和技巧！
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第六节
第三章
函数图形的描绘
（Plot of Functional Graph）
水平渐近线 一、曲线的渐进线 铅直渐近线
斜渐近线
二、函数图形的描绘
三、小结与思考练习
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一、曲线的渐进线（Asymptote of Curve)
定义 如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该 点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近 线．
1. 水平渐近线（平行于x 轴的渐近线）
如果曲线 y = f (x) 的定义域是无限区间，且有
lim f (x) = b 或 lim f (x) = b
x
0
(0,1)
1
f ′(x)
0
负
f (x) 的单调性
单调减少
f ′′(x)
负
负
0
f (x) 的图形 极大值点 凸
拐点
(1, +∞)
负 单调减少
正 凹
（4）讨论曲线的渐近线； 因为 lim f (x) = 0 ，所以 y = 0 是曲线的水平渐近线．
x→∞
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（5）由曲线方程计算曲线上一些点的坐标，特别是
x→c−
x→c+
则称直线 x = c 为曲线 y = f (x) 的铅直渐近线。
例如，
y=
1
,
(x + 2)(x − 3)
有铅直渐近线两条:
x = −2, x = 3.
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3. 斜渐近线
如果曲线 y = f (x) 有
lim [ f (x) − (ax + b)] = 0 或 lim [ f (x) − (ax + b)] = 0 (a ≠ 0) ，
x→+∞
x→−∞
则称直线 y = ax + b 为曲线 y = f (x) 的斜渐近线。
下面来确定 a,b .
lim [ f ( x) − (ax + b)] = 0
x→ +∞
xl→im+∞⎡⎢⎣
f
(x) x
−a+bx⎤⎥⎦
=0
lim
x→ +∞
x
⎡ ⎢⎣
f
(x) x
−
a
+
b x
⎤ ⎥⎦
=
0
a = lim f (x) x x → +∞
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点 x = 0,1,3 把定义域分为 (−∞,0],[0,1),(1,3],[3, +∞) 四个区间，曲线在各部分区间内的单调性、凹凸性列 表讨论如下：
x
(−∞, 0) 0 (0,1) 1 (1,3) 3
(3, +∞)
f ′(x) 正 0 正
负0
正
f (x) 的单调性 递增 递增
水平渐近线 铅直渐近线 斜渐近线
2. 函数图形的描绘（主要步骤）
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课后练习 习题3-6 1（2）；2（1）
思考与练习
两坐标轴 x = 0， y = 0是否都是函数 f ( x) = sin x x
的渐近线？
解：∵lim sin x = 0
x→∞ x
∴ y = 0是曲线的渐近线.
x→−∞
x→+∞
则称直线 y = b 为曲线 y = f (x) 的水平渐近线。
例如， y = arctan x, 有水平渐近线两条:
y = π, y = −π.
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2. 铅直渐近线（垂直于x 轴的渐近线）
如果曲线 y = f (x) 有
lim f (x) = ∞ 或 lim f (x) = ∞ ，
2π
1
− x2
e2
(x2
− 1)
2π
在[0, +∞) 上，当 x = 0 时， f ′(x) = 0 ； 当 x = 1 时， f ′′(x) = 0 .
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用点 x = 1 把 [0, +∞) 分为 [0,1] 和[1, +∞) 两个区间， 曲线在这两个区间上的单调性、凹凸性列表讨论如下：