有限元基本理论及工程应用：第六章 非协调单元

m
m
Ｐh Vej Wej WS (6-1-2)
j 1
j 1
WS4
为各边界外力在位移 4
Niui、 Nivi 上做的功之和
i 1
i 1
不计算边界力在内自由度上的功！
有限元解：
由 方程组：
h P
0 ,
h P
0 (i 1 ~ n）;
ui
vi
h P
0 ( j 1 ~ m） (l 1 ~ 4）
这四项有如下特性：
（1）不影响节点处的位移值，故称 αl 为非节点自由度或单元的“内自由
度”。在计算单元变形能和单元体积力做功时计入这些位移；但在计算边界外力 做功（为了将边界力化为等效节点力）时不计这些位移。即在计算边界外力做功
时只计 Niui、Nivi 各项。
（2）补充这些项后，单元内的位移场是 ξ，η 的完全二次多项式。当实际 单元 e 为矩形时，单元内位移场将是 x、y 的完全二次多项式。
本章只讨论二阶问题，主要包括：非协调元的构造和分析方法， 非协调元的理论基础（显然不能再利用最小势能原理），收敛判别 方法。这些结论对四阶问题同样适用。
§6-1 Wilson 非协调元
η ４（-1,1）
３（1, 1）
1. 母体单元 形函数
母体单元ê：边长为２的正方形, 自然坐标：ξ、η 取四个角点为节点，在单元内的序号为１~4。
（3）协调性分析
y,v
沿单元的一边，例如节点１、
3
v2
u2
４
e
2
η ３
２所在的边，η ＝－１。u,v是
4
Ｍ
v1
ξ
ê
ξ的二次函数，完全被u1, v1,α1,
1
u1
１
Mˆ
２
和u2, v2,α3 所决定。但由于不 0
x,u
（ξ,-1）
同单元的α1~α4 彼此独立，故不
图 ６－3
能保证单元之间位移的协调性。
第六章 非协调单元
有一些单元，它们不满足协调条件，但仍可以收敛到真实解， 这类单元称为非协调单元，可以看成是对等参数单元的一种改进， 目的在于：在计算量增加不多的情况下，使单元的实际精度有 所改善。
对于四阶问题（例如板、壳），协调条件要求单元之间位移 和位移的一阶导数（转角）连续。实现上述协调条件不是件容易 的事，而且为此要增加相当大的计算量，因而人们在自编程序中 常常对非协调单元感兴趣。
能否保证收敛到真实解 ？
平面应力问题为例。设节点总数为n，单元总数为m。则总的自由度可区分为：
节点自由度 ui , vi （i 1 ~ n）
Vej , j 号单元的变形能
单元内自由度
(j １
)、２( j
)、３( j
)、４( j
)
（i
1
~
m）
Wej , j 号单元体积力做功
系统的总势能定义为
( l
j
)
( l
j
)
( l
j
)
(6-1-4)
在单元分析时可以先消去αl (j) （这一步骤称为静凝聚），只剩下ui, vi 进入总 体平衡方程。
４. 单元分析 静凝聚
单元的外自由度： 单元的内自由度：
uE u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4 T
uI 1 2 3 4 T
e
1 1
单元变形能
Ve
1 uE T
2
u I
k
u E u I
1 2
u E u I
T
k EE
k
IE
k EI k II
u E u I
由于 [k] 为对称阵，必有
kIE T kEI
(6-1-8)
Ve
1 2
(
uE
T
kI
uE
uI T k IE
4
v Ni ( ,)vi 3 (1 2 ) 4 (1 2 ) i 1
(x4, y4)
1 (x1, y1) x,u
0
(6-1-1)
图６－２
单元内的位移场精度有所改善，二次函数
同四节点等参元相比，单元内假定的位移场多了四项：
1(1 2 )、 2 (1 2 )、3 (1 2 )、 4 (1 2 )
形函数
Ni
( ,)
1 4
(1
i )(1 i) （i
1
~
4）
2. 实际单元 e
F： eˆ e
4
4
x Ni xi , y Ni yi
i 1
i 1
3. 单元内假设位移场
ê
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１（-1,-1）
２（1,-1）
图６-１
3 (x3, y3)
y,v
2
e
(x2, y2)
4
4
u Ni ( ,)ui 1 (1 2 ) 2 (1 2 ) i 1
det
J
dd
u E u I
T
rrEI
(6-1-10)
rrEI
11 1 1
N1 0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N3
N4 0
0 N4
(1 2 ) 0
(1 2 ) 0
0 (1 2 )
0 T (1 2 )
f f
x y
t
det
J
dd
(6-1-11)
（3）静凝聚
内自由度： uI 1 2 3 4 T
( l
j
)
(6-1-3)
求得的 ui, vi, αl (j) 以及由此求得的应力做为非协调单元的的有限元解。
在（6-1-3）中共有2n+4m个未知量。比四节点等参元多了４m个未知量。但 是α1 (j)、α2 (j)、α3 (j)、α4 (j) 仅属于第 j 号单元，故有
h P
Vej
Wej
0 (l 1 ~ 4）
0
y
0
y
u v
B
uuEI
x
几何矩阵
0
x
B
0
y
N1 0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N3
N4 0
0 N4
(1 2 ) 0
(1 2 ) 0
0 (1 2 )
0 (1 2 )
y x
(6-1-6)
（2） 单元刚度矩阵和体积力载荷向量
11
k BT EB tdxdy BT EBdet J tdd (6-1-7)
uE
uE T kEI
uI
uI T k II
uI )
1 2
uE
T
kI
uE
uI T k IE
uE
1 2
uI
T
k II
uI
体积力 f x , f y T 做功
(6-1-9)
We
e
u v
T
f f
x y
t
d
1 1 uT
1 1
v
fx fy
t
I for internal , E for external
（6-1-1）所定义的单元位 移场：
u v
N1 0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N3
N4 0
0 N4
(1 2 ) 0
(1 2 ) 0
0 (1 2 )
0 uE
(1
2
)
u
I
（1）几何矩阵 应变
x y
xy
x
略去（6-1-4）中的单元编号 j ，以（6-1-9），（6-1-10）代入，（变形能 对内部自由度取偏导）