高考数学(数列)第一轮复习

高考数学（数列）第一轮复习资料
知识点小结
1. 等差数列的定义与性质
() 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ⇔=+2
()()前项和n S a a n na
n n d n n =
+=+
-112
12
{}性质：是等差数列a n
（）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+
{}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232--
（）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则
；421
21
a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52a S an bn a b n n n ⇔=+ 0的二次函数）
{}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2 项，即：
当，，解不等式组可得达到最大值时的值。

a d a a S n n n n 11
000
0><≥≤⎧⎨⎩+
当，，由可得达到最小值时的值。

a d a a S n n n n 11000
<>≤≥⎧⎨
⎩+
{}
如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123
（由，∴a a a a a n n n n n ++=⇒==----12113331
()又·，∴S a a a
a 3132
22
33113
=
+===
()()∴·S a a n a a n n
n n n =
+=+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-121221312
18 ∴=n 27）
2. 等比数列的定义与性质 定义：
（为常数，），a a q q q a a q n n
n n +-=≠=1
110 等比中项：、、成等比数列，或x G y G xy G xy ⇒==±2
()
前项和：（要注意）n S na q a q q
q n n ==--≠⎧⎨⎪
⎩⎪
111111()()!
{}性质：是等比数列a n
（）若，则··1m n p q a a a a m n p q +=+= （），，……仍为等比数列2232S S S S S n n n n n -- 时应注意什么
求由n n a S .3 （时，，时，）n a S n a S S n n n ==≥=--12111 4.. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？ 例如：（1）求差（商）法
{}如：满足……a a a a n n n n 12121
2251122+++=+<>
解：n a a ==⨯+=11
22151411时，，∴
n a a a n n n ≥+++=-+<>--212121
2
215
212211时，……
<>-<>=121
2
2得：n n a
∴a n n =+2
1
∴a n n n n ==≥⎧⎨⎩+1412
21()
()
［练习］
{}数列满足，，求a S S a a a n n n n n +=
=++1115
3
4 （注意到代入得：
a S S S S n n n n n
+++=-=111
4 {}又，∴是等比数列，S S S n n n 144== n a S S n n n n ≥=-==--23411时，……· （2）叠乘法
{}例如：数列中，，
，求a a a a n
n a n n n n 1131
==++ 解：
a a a a a a n n a a n
n n n 213211122311
·……·……，∴-=-= 又，∴a a n
n 133
==
（3）等差型递推公式
由，，求，用迭加法a a f n a a a n n n -==-110()
n a a f a a f a a f n n n ≥-=-=-=⎫
⎬⎪
⎪
⎭
⎪⎪-22321321时，…………两边相加，得：()()()
a a f f f n n -=+++123()()()…… ∴……a a f f f n n =++++023()()() ［练习］
{}()数列，，，求a a a a n a n n n n n 111132==+≥-- ()
（）a n n
=
-12
31 （4）等比型递推公式
()
a ca d c d c c d n n =+≠≠≠-1010、为常数，，， ()可转化为等比数列，设a x c a x n n +=+-1 ()⇒=+--a ca c x n n 11
令，∴
()c x d x d
c -==-11
∴是首项为，为公比的等比数列a d c a d
c c n +
-⎧⎨⎩
⎫⎬⎭+-11
1
∴·a d c a d c c n n +
-=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪-1111
∴a a d c c d
c n n =+-⎛⎝
⎫⎭⎪
---1111
［练习］
{}数列满足，，求a a a a a n n n n 11934=+=+
（）a n n =-⎛⎝ ⎫
⎭
⎪
+-84311
（5）倒数法
例如：，，求a a a a a n n
n n 11122
==
++
由已知得：
122121
1
a a a a n n n n
+=
+=+
∴
111
2
1
a a n n +-
= ∴⎧⎨
⎩⎫⎬⎭
=1111
21a a n 为等差数列，，公差为
()()∴
=+-=+111121
2
1a n n n · ∴a n n =
+2
1
5.. 你熟悉求数列前n 项和的常用方法吗？ 例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。

{}如：是公差为的等差数列，求
a d a a n k k k n
1
1
1+=∑ 解：()()由
·11111011a a a a d d a a d k k k k k k ++=+=-⎛⎝ ⎫
⎭
⎪≠
∴11111111a a d a a k k k n
k
k k n
+=+=∑∑=-⎛⎝ ⎫
⎭⎪
=-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪++-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤
⎦⎥=
-⎛⎝ ⎫
⎭
⎪++11111111111223111d a a a a a a d a a n n n ……
［练习］ 求和：…………111211231123+
++++++++++n
（…………，）a S n n n ===-+21
1
（2）错位相减法：
{}{}{}若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项a b a b n n n n n
{}和，可由求，其中为的公比。

S qS S q b n n n n -
如：……S x x x nx n n =+++++<>-12341231
()x S x x x x n x nx n n n ·……=+++++-+<>-234122341
()<>-<>-=++++--121121：……x S x x x nx n n n ()()
x S x x nx x
n
n
n
≠=---
-11112
时，
()x S n n n n ==++++=
+112312
时，……
（3）倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。

S a a a a S a a a a n n n n n n =++++=++++⎫⎬⎪
⎭
⎪--121121…………相加
()()()21211S a a a a a a n n n n =++++++-………… ［练习］
已知，则f x x x f f f f f f f ()()()()()=+++⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪=
22
11212313414
（由f x f x x x x x x x x ()+⎛⎝ ⎫
⎭⎪=++
⎛⎝ ⎫⎭
⎪+⎛⎝ ⎫
⎭
⎪=+++=1111111112
2
2
2222 ∴原式=++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣
⎢⎤⎦⎥++⎛⎝ ⎫⎭
⎪⎡⎣
⎢⎤⎦
⎥f f f f f f f ()()()()1212313414
=
+++=12111312
） 6.. 你知道储蓄、贷款问题吗？
△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金p 元，每期利率为r ，n 期后，本利和为： ()()()()S p r p r p nr p n n n r n =++++++=+
+⎡⎣
⎢⎤
⎦
⎥112112…………等差问题 △若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归
还本息的借款种类）
若贷款（向银行借款）p 元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n 次还清。

如果每期利率为r （按复利），那么每期应还x 元，满足
()
()
()p r x r x r x r x n n n ()11111
2
+=+++++++--……
()()()=-+-+⎡⎣⎢⎢⎤⎦
⎥⎥=+-x r r x
r r n n
111111 ()
()
∴x pr r r n
n
=
++-111
p ——贷款数，r ——利率，n ——还款期数
试题选讲
1．已知数列{}n a 满足条件)1a )(1n (a )1n (n 1n -+=-+,且6a 2=,设n a b n n +=,那么数列{}n a 的通项公式是 n n 2a 2n -=
2、x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( D ) 条件
A.充分非必要
B.必要非充分
C.充要
D.既非充分又非必要
3、已知数列｛a n ｝的前n 项和S n =a n
－1(a 0,≠∈a R ),则数列｛a n ｝（ C ） A.一定是等差 B.一定是等比 C.或是等差或是等比 D.既非等差又非等比
4、弹子跳棋共有60颗大小的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体形球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩余的弹子有 （ B ）
A. 0颗
B.4颗
C.5颗
D.11颗
5、某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费，于2003年8月20号从银行贷款a 元，为还清这笔贷款，该家长从2004年起每年的8月20号便去银行偿还确定的金额，计划恰好
在贷款的m 年后还清，若银行按年利息为p 的复利计息（复利：即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息），则该学生家长每年的偿还金额是 （ D ）
A ．m a
B ．1)
1()1(1
1-++++m m p p ap C ．1)1(1-++m m p p ap D ．1)1()1(-++m m
p p ap 6、已知{}n a 为等比数列，3,21==q a ，又第m 项至第n 项的和为720)(n m <，则=m 3 ， =n 6
7、数列{}n a 对任意*
N n ∈都满足422++⋅=n n n a a a ，且0,4,273>==n a a a ， 则=11a 8
8、已知函数2
2
1)(x
x x f +=，那么++++++)41()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f 2 9、一个项数为偶数的等比数列，首项是1，且所有奇数项之和是85，所有偶数项之和是170，
则此数列共有___8 _项
10、在各项为正数的等比数列{}n a 中，已知424311a a a a ⋅=+，且前n 2项的和等于它的
前n 2项中偶数项之和的11倍，则数列{}n a 的通项公式=n a
2
1
10n - 11、已知数列{}n a 中，3,6011+=-=+n n a a a ，那么||||||3021a a a +++ 的值为 765 。

12、等差数列{}n a 中，01>a ，且13853a a =，则}{n S 中最大项为 20S 。

13、已知一个等差数列前五项的和是120，后五项的和是180，又各项之和是360，则此数列共有 12 项。

14、设3
31
)(+=x x f ，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得：
)13()12()11()0()10()11()12(f f f f f f f ++++++-+-+-
15、已知数列{}n a 的通项12)12(-⋅+=n n n a ，前n 项和为n S ，则n S = n n 2)12(1-+ 。

16、数列
,8
41,631,421,2112222++++前n 项的和等于 )2)(1(23
243+++-n n n 。

17、已知数列{}n a 是首项为1a ，公差为(02)d d π<<的等差数列，若数列{cos }n a 是等比数列，则其公比为（ B ）
.A 1 .B 1- .C 1± .D 2
18、已知在数列{}n a 中，n n n n a a qa a a 212,1221,1===+-+d (q R d q ，、∈>0)．
（1）若,1,2-==d q 求43,a a 并猜测2006a ；
（2）若{}12-n a 是等比数列，且{}n a 2是等差数列，求d q ,满足的条件． 解：（1）∴===-===,22,11,2,1342321a a a a a a 猜测22006=a ． （2）由n n n n a a qa a 212,122==+-(),,0d q d R q
+喂，得d qa a n n +=-+1212．
当0=d 时，显然1212-+=n n qa a ，{}12-n a 是等比数列．
当0≠d 时，因为,11=a 只有112=-n a 时，{}12-n a 才是等比数列． 由d qa a n n +=-+1212，得,1=+d q 即0,0≠=q d ，或1q d +=． 由d a a qa a n n n n +==---2212,122得)2(222≥+=-n qd qa a n n ． 当)2(,1222≥+==-n d a a q n n ，显然{}n a 2是等差数列， 当1≠q 时，q qa a ==12，
只有q a n =2时，{}n a 2才是等差数列．
由)(222d a q a n n +=+，得,1=+d q 即1,1=+=d q q ．
综上所述：1q d +=．
19.已知一个等差数列的前10项和是310，前20项和是1220，试求其前n 项和。

解：由题设： 31010=S 122020
=S 得： ⎩⎨⎧=+=+122019020310451011d a d a ⎩
⎨⎧==⇒64
1d a ∴ n n n n n S n +=⨯-+=2362
)
1(4。