通信网络基础1-4

路的一个端点在 fragment 内，而另一
个端点不在该 fragment 内。这里所谓 的链路和我们讨论的图的边的概念是
等效的。
下面我们讨论对于一个给定的图，如 何构造该图的最小重量生成树(MST)。
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3.. 生成树和最小重量生成树(6)
定理1： 给定一个fragment F，令 = （ i,j ）， i∈F, j∉ Ｆ是Ｆ的最小重量输出 链路，将Ｆ扩展一条链路 和一个顶点 ｊ，仍是一个fragment。 该定理告诉我们如何从 MST 的一个子树 生成一个完整的MST。 根据该定理可以有下列三种构造 MST 的
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2． 路径与回路(1)
定义：图的一些顶点和边的交替序列 =v0 e1v1 ...v k-1ekvk ， 且 边 ei 的 端 点 为 vi-1 和 vi ， i=1,2,3,…k，则称 为一条路径（Path），v0 中所有的 和vk分别为的起点和终点。如果 边均不相同，则称其为简单路径。以v0为起点， vk为终点的路径称为v0 - vk路径。
1.4.4 图论基础
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1.4.4 图论基础
图论是一个新的数学分支，在很多领域都得到了 广泛的应用。
在通信网络中，许多问题的描述都是基于图论的，
因此，我们下面对图论的一些基本概念进行讨论。
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1. 图的概念（1）
一般几何上将图定义成空间中一些点（顶点）和连接这 些点的线（边）的集合。 图论中将图定义为G = (V, E)，其中V表示顶点的集合， E表示边的集合。
通信网理论基础
电子信息工程学院 通信工程系 牛长流
cln@ncut.edu.cn
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课程内容
总学时为48学时，其中课程讲授40学时，实验8学时。
章节 第一章 第二章 第三章 第四章 内 容 总学时 6 8 12 10 授课学时 6 6 10 8 2 2 2 实验学时
通信网络概论及数 学基础 传输协议 排队模型 多址技术
有i < k，则选定链路（i,j）是具有最小重量的链 路。
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第2章：端到端的传输协议。主要讨论错误检测，自动请求重传协议， 组帧的主要问题以及网络层和运输层的端到端的协议。
第3章：网络的时延模型。主要介绍排队论的基本知识，它是后面章 节讨论的基础。
第4章：多址协议。本章以共享传输媒介的网络（如局域网和无线通 信网）为基础，讨论随机多址的基本问题、冲突分解方法及其性能改 进的方法。 第5章：路由算法。主要讨论最短路由算法、路由信息的广播等。 第6章：流量控制。主要讨论接入允许控制、窗口流量控制和闭环流 量控制等。 第7章：网络的拓扑设计。主要讨论根据用户的需求，如何最优设置 用户接入点和网络节点。
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1. 图的概念（5）
如果顶点v是边 e的一个端点，则称边e和顶点v
相关联(incident)；对于顶点u和v，若(u,v) ∈E，
则称 u 和 v 是邻接的（ adjacent ）。在图 1-16 中， 边e2，e4，e5都与顶点v4相关联，v4分别与v1，
v2，v3相邻接。
如 果 路 径 中 有 v0=vk ， 则 为回路(或环 Cycle)，回路中没有重复边时称为简单回路。
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2． 路径与回路(2)
例4： 在图1-18中，S={v1e1v2e3v3e6v4 } 是一路径， C={v1e1v2e3v3e6v4e4v1}是一回路。
若两条边有共同的顶点，则称这两条边是邻接
的。在图1-16中，边e1，e2，e3两两相邻接。
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1. 图的概念（6）
对图G = (V, E)和G’ = (V’, E’)来说，若有V’⊆V和E’⊆ E， 则称图 G’是图G的一个子图； 若V’ V或E’ E，则称图G’是图G的一个真子图。


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(3)分布式构造MST算法(2)
上述分布式算法要求MST是惟一的；如果不惟一，则可 能会引起闭环。
例如，有一个网络如图 1-23 所示。从三个顶点开始构造 MST ，则可能会出现三个顶 点同时加入（ 1,2 ）、（ 2,3 ） 和（ 3,1）三条链路，从而形 成一个闭环。这个例子中， 三条链路的重量是不可区分 的。
由于有回路，所以不是树。在图1-21中，图（b）和图
（c）都是图（a）的生成树。
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3. 生成树和最小重量生成树(2)
对于一个给定的图G = (V, E)，其生成树的
构造算法如下：

1)令n是V中的任意一个顶点，构造子图G’=(V’,E’)，其 中，V’={n}, E’=∅｛空集｝；
选择所有的顶点作为单 顶 点 的 fragment ， 在 所 有的链路中选择具有最 小重量且不会形成回路 （环）的链路添加到当 前的 fragment中。每次 迭代仅添加一条链路。
最终即可生成 MST ，如 图1-22(c)所示。
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(3)分布式构造MST算法(1)
假定网络中仅有惟一一个MST。
方法（以图1-22（a）为例）。
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(1) Prim-Dijkstra算法
选择任意一个顶点作为一个fragment，然后根据定理1， 每次选择一条具有最小重量的输出链路来扩展
fragment， 最终即可生成MST。
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(2) Kruskal算法
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1. 图的概念（3）
一般图G = (V, E)的顶点数用 n =(|V|)表示，边的
数目用 m=(|E| )表示。若 V和 E都是有限的， 则称图G是有限图，否则称为无限图。
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1. 图的概念（4）
在实际应用中，图中每条边可能有一个方向是很自然的（它反映 了信息或物质的流向）。当给图G的每一条边都规定一个方向，则 称该图为有向图。对有向图图G =(V, E)，有向边e用与其关联的顶 点（u，v）的有序对来表示，即e=(u,v)，它表示u为边e的起点，v 为边e的终点。 图1-17所示的有向图可表示如下： G = (V, E) ， V = { v1, v2, v3, v4 }, E = { (v1,v2), (v1,v3), (v1,v4), (v2,v3), (v2,v4), (v3,v4) }

2)如果V’=V 则停止。此时G’= (V’,E’)就是一个生成树。 否则进行第3）步；
3) 令 (i,j)∈E，其中 i∈V’, j∈V-V’ ，并采用下列方式更 新V’和E’： V’:=V’∪{j}，E’:=E’∪{(i, j)}，转到第2）步。

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3. 生成树和最小重量生成树(3)
Weight Spanning Tree）：是指边的重 量和最小的生成树。
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3. 生成树和最小重量生成树(5)
MST 的 任 一 个 子 树 称 为 一 个 树 枝 (fragment) 。 ( 注意：一个顶点本身就 是自己的一个树枝）。 输出链路（ Outgoing Arc ）是指该链
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2． 路径与回路(3)
定义：对图G=(V,E)来说，若G的两个顶点u，v之
间存在一条路径，则称u和v是连通的； 若图G的任意两个顶点都是连通的，则称图G是连 通的；否则是非连通的。 非连通的图可分解为若干连通的子图。
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2． 路径与回路(4)
从一个fragment 集Βιβλιοθήκη Baidu例如：该集就是图中的某一
个顶点）开始:

1).每个fragment决定它自己的最小重量输出链路，将该链路添加 到自身的fragment中，并通知该输出链路的另一个端点。 2).只要连接两个 fragment的链路的确是某个 fragment的最小重量 输出链路，则所有时间内，算法都维持着 MST的 fragment集，并 且不会形成回路（环） 3).继续算法，添加新的链路，直至没有新的输出链路，且只有一 个fragment（即MST）为止。
图1-19的无方向图中，图（a）中任意两个顶点之间都有路径，所 以该图是连通的；
图(b)中顶点3和其它顶点之间没有路径，所以该图是非连通的；
图（c）则是一个孤立的节点。
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2． 路径与回路(5)
对于有向图，若边去掉方向后是连通的，则称该图为连通的有向图。 若对于有向图的任意两个顶点u和v之间存在u到v的路径和v到u的路径时， 称该图为强连通的。 图1-20（a）的有向图是 一个连通的有向图，但 不是强连通的。因为顶 点2和顶点3之间不存在双向的路径； 图1-20（b）是一个强连通的图，该图中任意两个顶点之间都存在双向的 路径。
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3. 生成树和最小重量生成树(4)
一般而言，对于一个图可以有很多个生 成树。对于通信网络来说，利用生成树 来实现广播是比较经济的。但每一条边 的成本或时延通常是不相同的，这时就 要考虑树中各边的重量（成本或时延）。 通常我们用Wij表示边（i, j）的重量。 最 小 重 量 生 成 树 （ MST ， Minimum
图1-20 方向图 （a）连通的方向图 (b) 强连通的方向图
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生成树和最小重量生成树（1）
定义：不包括回路（环）的连通图，称为树。 定义：对于图G=(V,E)，包含了图G中所有顶点的树称 为生成树（Spanning Tree）。 在图1-21中，图（b）、（c）和（d）都是树。而图（a）
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3. 生成树和最小重量生成树(7)
定理2 如果图G中所有链路的重量是不同的，则
仅有惟一的一个MST。 在实际的网络中，对于具有相同重量的链路， 可以采用链路重量以及链路关联的两个顶点的 标号来共同区分链路。例如，有两条链路（ i, j ）
和（k，l）具有相同的重量，如果 i< j，k < l且
例如：如图1-16所示的图可以表示为：
V = { v1, v2, v3, v4 }, E = { e1, e2, e3, e4, e5, e6 }
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1. 图的概念（2）
我们也可以用边的两个顶点来表示边。如果边e的两个顶 点是u和v，那么e可写成 e=(u,v)，这里（u,v）表示u和v 的有序对。 如果有（u,v）和（v,u）同时存在，它表达了以u，v为端 点的一条无向边。 如果图中的所有边都是无向边，则 称该图为无向图。 可以这样来表示无向图1-16： G = (V, E) ， V = { v1, v2, v3, v4 }, E = {(v1,v2), (v1,v3), (v1,v4), (v2,v3), (v2,v4), (v3,v4)} 或：E = {(v2,v1), (v3,v1), (v4,v1), (v3,v2), (v4,v2), (v4,v3)}
该算法是从仅有一个顶点、0条边的子图开始， 以后每执行一次第3）步就增加一个顶点和一条
边。这就意味着最终生成的树有|V|个节点, |V| 1条链路。 通常对于一个连通图，其边的条数大于等于|V| -1。 如果一个图 G的边的数目等于|V|-1,则上述算法 将使用该图中所有的边，因而有G=G’，即此时 图G本身就是一颗树。
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内容
1.1 通信网络的基本构成
1.2 协议体系及分层的概念
1.3 通信网络的基本理论问题
1.4 通信网络中的数学基础
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1.4 通信网络中的数学基础
1.4.1 随机过程的基本概念
1.4.2 Poisson过程
1.4.3 马尔可夫链
3、唐宝民，江凌云，林建中等编著，通信网基础，
机械工业出版社：2004年
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本课程的考核方法及成绩评定标准
本课程采用考试与平时成绩相结合的考核形式，
其考核方法为：
平时及作业：10% 实验报告： 20% 期末考试： 70%
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第1章 通信网络概论
第五章
通信网络路由选择
合 计
12
48
10
40
2
8
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教材及教学参考资料
教材：李建东主编，信息网络理论基础，西安电子
科技大学出版社：2012年；
参考书： 1、周炯盘编著，通信网络理论基础，人民邮电出 版社：2012年； 2、杨武军等，现代通信网概论，西安电子科技大
学出版社：2004年；