阶跃信号和冲激信号

k
f (k) (0)
∫
δ ′(t −t0 ) f (t)dt = − f ′ (t0 ) −∞
∫
δ ′(t)dt = 0 , ∫−∞δ′ (t)dt =δ (t) −∞
∞ t
④ f (t)δ ′(t) = f (0)δ ′(t) − f ′(0)δ (t) ，
与 （ f (t)δ(t) = f (0)δ (t) 不 ） 同
t0 u(t + t0 )
t
t
X
第 5 页
可代Baidu Nhomakorabea电路中的开关， 可代替电路中的开关，故又称为开关函数
2
+
S(t = 0)
Us =1 V
1
+
P
− −
u(t)V
P
(a)
(b)
X
第 6 页
sin ωt
(a)
0
t0
t
sin(ωt)u(t −t0 ) (b)
0
t0
t
sin[ω(t −t0 )]u(t −t0 ) (c)
f (0)
∞
o
t
对于移位情况： 对于移位情况：
δ(t) f (t −t0) = f (t0 )δ(t)
∫
δ(t −t0 ) f (t)dt = f (t0 ) −∞
X
∞
第
2. 奇偶性
δ (t) = δ (−t)
14 页
X
第
3.冲激偶
s(t )
1
15 页
δ (t)
∞
(1)
τ 1 τ
−τ −τ o τ
X
第
定义2
1
10 页
p(t)
1 τ τ p(t) = u t + − u t − τ 2 2
τ
τ →0
−
τ
2
O
τ
2
t
面积1； 脉宽↓； 脉冲高度↑； 面积1 脉宽↓ 脉冲高度↑ 则窄脉冲集中于 t=0 处。 ★面积为1 面积为1 面积为 宽度为 三个特点： ★宽度为0 三个特点： 宽度为0
（5）冲激偶 δ ′(−t) = −δ ′(t)
∫
+∞
−∞
f (t)δ(t)dt = f (0)
∫
∫
δ′(t)dt = 0 −∞
−∞
t
∞
（2）奇偶性 δ (−t) = δ (t)
δ′(t)dt =δ(t) −∞
∞
（3）比例性 −∞ 1 δ(at) = δ (t) f (t)δ ′(t) = f (0)δ ′(t) − f ′(0)δ (t) a （6）卷积性质 （4）微积分性质 du(t) t f (t) ∗δ (t) = f (t) δ(t) = ∫−∞δ(τ )dτ = u(t) X dt
t < −t0 0 1 u(t +t0 ) = , t0 > 0 t > −t0 1 由宗量 (t ± t ) = 0 可 t = mt , 即 − t0 O 知 时 0 0 断点， ，函数有断点 间 m t0时 函数有断点，跳变点 为 宗量<0 函数值为 函数值为0 宗量>0 函数值为 函数值为1 宗量 宗量
§1.4 阶跃信号和冲激信号
北京邮电大学电子工程学院
第
本节介绍
函数本身有不连续点(跳变点) 函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积 分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异 分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异 函数。 函数。 主要内容： 主要内容： •单位斜变信号 单位斜变信号 •单位阶跃信号 单位阶跃信号 •单位冲激信号 单位冲激信号 •冲激偶信号 冲激偶信号
12 页
1．抽样性 ． 2．奇偶性 ． 3．冲激偶 ． 4．标度变换 ．
X
第
1.
抽样性(筛选性)
δ (t) f (t) = f (0)δ (t)
13 页
如果f(t)在 处连续， 如果 在t = 0处连续，且处处有界，则有 处连续 且处处有界，
f (t)
∞
∫
−∞
δ(t) f (t)dt = f (0)
0
意b 与c 的 同 注 ( ) () 不
t0
t
X
第
3．用单位阶跃信号描述其他信号
门函数： 门函数：也称窗函数
τ τ f (t) = ut + −ut − 2 2
1 f (t) Gτ (t) t
7 页
其他函数只要用门函数处理( 其他函数只要用门函数处理(乘以 门函数)，就只剩下门内的部分。 门函数) 就只剩下门内的部分。 符号函数： 符号函数：(Signum)
s′(t )
1
τ
t
O
t
τ →0
δ ′(t )
τ2
1
τ2
−τ −τ O 1 − 2 − 1
τ
t
O
t
τ
τ2
X
第
冲激偶的性质
①
16 页
∫
δ ′(t) f (t)dt = − f ′ (0) −∞
∞ (k )
∞
δ k 导 ： 对 (t)的 阶 数 ∫δ
时移， 时移，则： ②
−∞ ∞
(t) f (t)dt = (−1)
1 sgn t) = ( −1 t >0 t <0
−
τ O
2
τ
2
sgn(t )
O
t
1 sgn(t) = −u(−t) + u(t) = 2u(t) −1 u(t) = [sgn(t) + 1] 2
X
第
三．单位冲激（难点）
概念引出 定义1 定义1 定义2 定义2 冲激函数的性质
8 页
X
第
2 页
X
第
一．单位斜变信号
1． 定义
0 R(t) = t t <0 t ≥0
O
3 页
R(t)
1 1 t
2．有延迟的单位斜变信号
0 R(t −t0 ) = t − t0 t < t0 t ≥ t0
R(t − t0 )
1
O t0 t0 +1 t
由宗量t 由宗量 -t0=0 可知起始点为 t0 3．三角形脉冲
(k)
X
第
四.总结： R(t)，u(t)， δ(t) 之间的关系
R(t) 1
O
18 页
u(t) 1 t 1
O
δ(t)
∞
(1)
t
O
t
求 导
R(t) ↓ ↑ 积 u(t) ↓ ↑ 分 δ(t)
(-∞<t< ∞) ∞
X
第
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f (t)δ (t) = f (0)δ (t)
19 页
K R(t) f (t) = τ 0 0 ≤ t ≤τ 其它
f (t)
K O
τ
t
X
第
二．单位阶跃信号
1. 定义
0 u(t) = 1 1 0点 定 或 无 义 t >0 2 t <0
1
4 页
u(t)
O
u(t − t0 )
1
O
t
2. 有延迟的单位阶跃信号 t < t0 0 u(t −t0 ) = , t0 > 0 t > t0 1
穷 无 ★ 幅度 0 t =0 t ≠0
X
第
描述
1 τ τ δ(t) = lim p(t) = lim u t + − u t − τ→ 0 τ→ τ 0 2 2
δ(t)
∞
11 页
δ(t − t0 )
时移的冲激函数
(1)
t
∞
(1)
o
o
③ δ ′(−t) = −δ ′(t) , δ′(t0 − t) = −δ ′(t − t0) 所 δ ′(t)是 函 以 奇 数
X
第
4. 对δ(t)的标度变换
1 δ (at) = δ (t) a
17 页
冲激偶的标度变换
1 1 δ′(at ) = ⋅ δ′(t) a a
1 1 (k) δ (at) = ⋅ k δ (t) a a
∫
f (t)δ′(t)dt = − f ′(0)
定义1：狄拉克(Dirac)函数
+∞δ (t)dt =1 ∫ −∞ δ (t) = 0 (t ≠ 0)
9 页
∫
δ (t)dt = ∫0 δ (t)dt −∞
−
+∞
0+
函数值只在t 时不为零； 函数值只在 = 0时不为零； 时不为零 积分面积为1 积分面积为1；
δ t =0 时， (t) →∞，为无界函数。 为无界函数。
t0
t
若面积为k，则强度为k。 若面积为 ，则强度为 。 三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、 三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数 极限， 取τ→0极限，都可以认为是冲激函数。 极限 都可以认为是冲激函数。
X
第
冲激函数的性质
了 号 析 需 ， 们 造 δ 为 信 分 的 要 人 构 了 (t ) 函 ， 属 广 数 它 于 义 数 就 间 而 ， (t ) 可 当 时 连 信 处 函 。 时t 言 δ 以 作 域 续 号 ， 为 符 时 连 信 运 的 些 则 但 于 理 因 它 合 域 续 号 算 某 规 。 由 δ (t) 是 个 义 数 它 一 特 的 质 一 广 函 ， 有 些 殊 性 。