初三数学每日一练—直线与圆的位置关系2

初三数学每日一练—直线与圆的位置关系 2

【考点分析】

【考察内容】三角形内切圆的半径与三角形的关系、切线长定理

【考察题型】选择题3-6 分和非选择题6-9 分

知识点一：切线长定理

1. 切线长和切线长定理

（1）切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

知识点二：内切圆

1.内切圆的有关定义

（1）三角形的内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三个角平分线的交点；这个三角形叫做圆的外切三角形．（2）多边形的内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．

2.内切圆半径与三角形内心

直角三角形内切圆的半径与三边的关系

A

A A

D

c b

b c

O F

B a

C C a B B E C

设a、b、c 分别为△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，面积为S ，则内切圆半径为r =

s

，

p

其中p =

1 (a +b +c)

．若∠C = 90︒，则r =

1 (a +b -c)

．

2 2

【典型例题】

例1 在Rt △ABC 中，∠C=90 ，AC=6，BC=8，则△ABC 的内切圆半径r= .

【解析】如图所示，O 为△ABC 的内切圆，切点分别为D，E，F 连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，所以OD=OE=OF=r，在Rt 三角形中，AB= AC 2 +BC 2 = 62 + 82 = 10 .

∵S

△ABC

=S

△OAB

+S

△OBC

+S

△OAC

，∴

1

BC ⋅AC =

1

AB ⋅r +

1

BC ⋅r +

1

AC ⋅r

2 2 2 2

∴

1

BC ⋅AC =

1 (AB +BC +AC )⋅r

2 2

∴

1

⨯ 8 ⨯ 6 =

1

⨯(10 + 8 + 6)⋅r ，∴r=2.

2 2

例2. 如图所示，在矩形ABCD 中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC 分别与O 相切于E，F，G 三点，过点D 作O 的切线交BC 于点M，切点为N，则DM 的长为（）

A．

13

3

B．

9

2

C．

4 13

3

D. 2 5

3 【解析】

连接OE、OF、ON、OG，如图所示，设MN =x ，DN =y ，根据切线长定理可得，GM =MN =x ，ED =DN =y ，AE =AF = 5 -y ，FB =BG =y -1，CM = 6 -(x +y )，在Rt △DMC中，DM2=CD2+CM2，∴(x+y)2 =42+⎡⎣6-(x+y)⎤⎦2 ，解得x +y =13 ，即DM =

13

，故选A .

3

【练习巩固】

1、如图，O 为△ABC 的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点D 、E 分别为BC、AC 上的点，且DE 为O 的切线，则△CDE 的周长为（）

A．9 B．7 C．11 D．8

2、如图所示，在△ABC 中，内切圆I 和边BC，CA，AB 分别相切于点D，E，F，若∠FDE=70 ，求∠A 的度数.

【练习巩固参考答案】

1、【解析】

设AB，AC，BC 和圆得切点分别是P，N，M，CM=x，根据切线长定理得：CN=CM=x，

BM=BP=9-x，AN=AP=10-x，则有9-x+10-x=8，解得x=5.5，所以△CDE 的

周长= CD +CE +QF +DQ=2x=11 ，所以选 C.

2、【答案】

连接IE，IF 则∠A=180 -∠FIE = 180 -2∠FDE = 40 .

提示1：此题可以构造圆周角所对的弧，弧所对的圆心角，进一步根据切线的性质定理以及四边形的内角和求解；

提示2：本体考察了三角形的内切圆与内心，综合运用了圆周角定理以及切线的性质定理和四边形的内角和定理.