高考立体几何复习三部曲—空间直角坐标系的应用
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高考数学立体几何三部曲—空间之直角坐标系专项
一、积及坐标运算
1.两个向量的数量积
(1)a·b=|a||b|cos〈a,b〉;
(2)a⊥b⇔a·b=0(a,b为非零向量);
(3)|a|2=a2,|a|=x2+y2+z2.
2.向量的坐标运算
3、应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较:
OP=x OM+y OA+(1
OP=x OA+(1-x) OB
-x-y) OB
一、空间向量的简单应用
1.(课本习题改编)已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2)则下列结论正确的是( ) A.a∥c,b∥c B.a∥b,a⊥c
C.a∥c,a⊥b D.以上都不对
2.(2012·一模)若{a,b,c}为空间的一组基底,则下列各项中,能构成基底的一组向量是( ) A.{a,a+b,a-b} B.{b,a+b,a-b}
C.{c,a+b,a-b} D.{a+b,a-b,a+2b}
3.(教材习题改编)下列命题:
①若A、B、C、D是空间任意四点,则有AB+BC+CD+DA=0;
②若MB=x MA+y MB,则M、P、A、B共面;
③若p=x a+y b,则p与a,b共面.
其中正确的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
4.在四面体O-ABC中,OA=a,OB=b,OC=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则OE=________(用a,b,c表示).
5.013·月考)若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,能使l∥α的是( )
A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0)
B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)
C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)
D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)
6已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ等于( )
A.62
7
B.
63
7
C.60
7
D.
65
7
二、利用空间向量证明平行或垂直
[例] 已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,边长为2a,AD=
DE=2AB,F为CD的中点.
(1)求证:AF∥平面BCE;
(2)求证:平面BCE⊥平面CDE.
8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E、F分别是棱BC、DD1上的点,如果B1E⊥平面ABF,则CE与DF的和的值为________.
方法
利用直线的方向向量与平面的法向量,可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直.
(1)设直线l1的方向向量v1=(a1,b1,c1),l2的方向向量v2=(a2,b2,c2).
则l1∥l2⇔v1∥v2⇔(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)(k∈R).
l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.
(2)设直线l的方向向量为v=(a1,b1,c1),平面α的法向量为n=(a2,b2,c2),则l∥α⇔v⊥n⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.
l⊥α⇔v∥n⇔(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2).
(3)设平面α的法向量n1=(a1,b1,c1),β的法向量为n2=(a2,b2,c2),则α∥β⇔n1∥n2,α⊥β⇔n1⊥n2.
1.2012·模拟)如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,
∠ABC=90°,PD⊥平面ABCD,AD=1,AB=3,BC=4.
(1)求证:BD⊥PC;
(2)设点E在棱PC上,PE=λPC,若DE∥平面PAB,求λ的值.
2.如图所示,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CD=∠
C1CB=∠BCD=60°.
(1)求证:C1C⊥BD;
(2)当CD
CC1
的值是多少时,能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明.
3.如图所示,平面PAD ⊥平面ABCD ,ABCD 为正方形,△PAD 是直角三角形,且PA =AD =2,E 、F 、G 分别是线段PA 、PD 、CD 的中点.求证:PB ∥平面EFG .
三、利用向量求空间角
1.两条异面直线所成的角的求法
设两条异面直线a ,b 的方向向量为a ,b ,其夹角为θ,则cos φ=|cos θ|=|a ·b |
|a||b |
(其中φ为异面直线a ,b 所成的角).
2.直线和平面所成角的求法
如图所示,设直线l 的方向向量为e ,平面α的法向量为n ,直线l 与平面α所成的角为φ,两向量
e 与n 的夹角为θ,则有sin φ=|cos θ|=
|e ·n |
|e ||n |
.
3.求二面角的大小
(1)如图1,AB 、CD 是二面角α-l -β的两个面与棱l 垂直的直线,则二面角的大小θ=〈AB ,CD 〉.
(2)如图2、3,n 1,n 2分别是二面角α-l -β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ=〈n 1,n 2〉(或π-〈n 1,n 2〉).
1.(教材习题改编)已知向量m ,n 分别是直线l 和平面α的方向向量、法向量,若cos 〈m ,n 〉=-1
2,
则l 与α所成的角为( )
A .30°
B .60°
C .120°
D .150°
2.(教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m =(0,1,0),n =(0,1,1),则两平面所成的二面角的大小为( )
A .45°
B .135°
C .45°或135°
D .90°