高考立体几何复习三部曲—空间直角坐标系的应用

高考数学立体几何三部曲—空间之直角坐标系专项

一、积及坐标运算

1．两个向量的数量积

(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；

(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；

(3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.

2．向量的坐标运算

3、应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：

OP＝x OM＋y OA＋(1

OP＝x OA＋(1－x) OB

－x－y) OB

一、空间向量的简单应用

1．(课本习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是( ) A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥c

C．a∥c，a⊥b D．以上都不对

2．(2012·一模)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( ) A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}

C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}

3．(教材习题改编)下列命题：

①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0；

②若MB＝x MA＋y MB，则M、P、A、B共面；

③若p＝x a＋y b，则p与a，b共面．

其中正确的个数为( )

A．0 B．1

C．2 D．3

4．在四面体O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________(用a，b，c表示)．

5．013·月考)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是( )

A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)

B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)

C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)

D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)

6已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )

A.62

7

B.

63

7

C.60

7

D.

65

7

二、利用空间向量证明平行或垂直

[例] 已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，边长为2a，AD＝

DE＝2AB，F为CD的中点．

(1)求证：AF∥平面BCE；

(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.

8.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．

方法

利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．

(1)设直线l1的方向向量v1＝(a1，b1，c1)，l2的方向向量v2＝(a2，b2，c2)．

则l1∥l2⇔v1∥v2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．

l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.

(2)设直线l的方向向量为v＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔v⊥n⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.

l⊥α⇔v∥n⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)．

(3)设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2，α⊥β⇔n1⊥n2.

1.2012·模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，

∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝3，BC＝4.

(1)求证：BD⊥PC；

(2)设点E在棱PC上，PE＝λPC，若DE∥平面PAB，求λ的值．

2.如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CD＝∠

C1CB＝∠BCD＝60°.

(1)求证：C1C⊥BD；

(2)当CD

CC1

的值是多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明．

3.如图所示，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA ＝AD ＝2，E 、F 、G 分别是线段PA 、PD 、CD 的中点．求证：PB ∥平面EFG .

三、利用向量求空间角

1．两条异面直线所成的角的求法

设两条异面直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a ·b |

|a||b |

(其中φ为异面直线a ，b 所成的角)．

2．直线和平面所成角的求法

如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量

e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝

|e ·n |

|e ||n |

.

3．求二面角的大小

(1)如图1，AB 、CD 是二面角α－l －β的两个面与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB ，CD 〉．

(2)如图2、3，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n 1，n 2〉(或π－〈n 1，n 2〉)．

1．(教材习题改编)已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－1

2，

则l 与α所成的角为( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

2．(教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为( )

A ．45°

B ．135°

C ．45°或135°

D ．90°